Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 52
Текст из файла (страница 52)
а д а )П вЂ” а) Если а ( Р, то И'(а) = 4яРР, так что в ну ш р и однородного сферического слоя его потенциал нос шоянен. Напротив, при а) Р будет 4яР'Р т. е. ношенциал, созданный сферическим слоем во внешнем пристроившее, не изменимся, если всю массу его сосредошочишв в центре. Для случая а=Р н е с обе т в е н н ы й интеграл, выражающий потенцнав, вмеет значение йг(Р) =4яРР. Как видим, прн переходе точки через сферическую поверхность потенциал сохраняет непрерывность. $4. Поверхностные интегралы второго типа 634.
Определение поверхностного интеграла второго типа Это новое интегральное образование строится по образцу криволинейного интеграла второго типа. Там мы исходили из направленной (орнентированной) кривой И разложив ее на элементы, каждый такой элемент, соответственно направленный, проектировали на координатную ось. Проекция получалась тоже направленной, и мы брали ее длину со знаком плюс нли минус в зависимости от того,'совпадало лн ее направление с направлением оси пли нет. Аналогичным образом рассмотрим теперь д в у с т о р о н н ю ю поверхность (Я, гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какуюлпбо ва двух ее сторон; как мы видели [620), вто равносилвно выбору на поверхности определенной ориентации. Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением г=г(х, у), гл. хчн.
поввгхностиые интвгаллы (8) (8а) " (8) выберем в каждом элементе (8,) по точке М;(хп уп г,). Затем вычислим значение функции У(М,)=У(хь уп г;) и умножим его на п л о щ а д ь О, п р о е к ц и и на плоскость ху элемента (8;), снабженную знаком по указанному выше правилу. Составим, наконец, сумму (тоже, своего рода, интегральную сумму) е = '~~ ~(М;) 0; = '5', г'(хп уь г;) Оп Конечный предел втой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей (8,) к нулю называют нов ер х ноет и им пнтегралом (второго тина) от г (М) Ых Ыу =~(х, у, г) бх бу, распространенным на в ы бр а и ну и с т о р о ну поверхности (8), и обозначают символом !=(()1(М)йхйу=(„У(х, у, г)бхбу, (В) ай (2) (здесь Мха напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость ху).
Впрочем, в этом символе не содержится как раз указания на то, какую именно сторону поверхности имеют в виду, так что это указание приходится делать всякий раз особо. Из самого определения причем точка (х, у) изменяется в области (0) на плоскости ху, ограниченной кусочно-гладким контуром. Тогда выбор возможен между верхней и нижней сторонами поверхности.
В первом случае замкнутой кривой на поверхности приписывается направление п р отив часовой стрелки, если смотреть сверху, во втором— обратное на правление. Если поверхность разбита на элементы и каждый такой, соответственно ориентированный, элемент спроектировать на плоскость ху, то направление обхода контура проектируемой фигуры определит и направление обхода контура проекции.
Это направление будет совпадать с вращением против часовой стрелки, т. е. отвечать ориентации самой плоскости ху, если фиксирована была верхняя сторона поверхности (8); в этом случае мы площадь проекции будем брать со знаком плюс. В случае нижней стороны вращение будет обратным, и площадь проекции будем брать со знаком минус 1стр.
6101. Пусть теперь в точках данной поверхности (8) определена некоторая функция у(М)= г'(х, у, г). Разложив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на элементы 6391 а с повн»хностныа интег»злы вто»ого тнпл 2вт следует, что при замене рассматриваемой стороны поверхности проти- воположной стороной интеграл меняет знак. Если поверхность (8) не имеет указанного специального вида, то определение поверхностного интеграла строится совершенно так же, лишь плошади сгг проекций приходится брать не все с одними и теми же, а возможно и с разными знаками, если одни элементы поверх- ности оказываются лежащими, так сказать, д в е р х у, а другие — с н и з у (рнс.
95). Если элемент лежит на цилиндрической части поверхности, с образующими, параллельнымн оси «, то проекцией его служит направляющая цилиндрической поверхности; мы будем предполагать, что вта кривая имеет нулевую площадь, и в таком случае о знаке ее говорить не приходится. Однако здесь может встретиться .и такой случай, когда элемент лежит частью сверху, частью снизу, либо Л~+ когда элемент не проектируется на плоскость ху взаимно однозначно. Так как на леле роль подобных «неправильных» элементов ничтожна, то слагаемых, отвечающих этим элементам, мы в интеграль- ную сумму включать не будем. Ниже мы убедимся в том, что это <оглашение не вносит никаких осложнений ни в вычисление, ни в использование поверхностных интегралов.
Если вместо плоскости ху проектировать элементы поверхности на плоскость у«или «х, то получим дза других поверхностных интеграла второго типа: ') ') у (х, у, «) ау а«или ~ ') у (х, у, «) сГ«с(х. (2») нп сп В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов: ~ ~ рйуй«+ ЯЫ«4х+гс Юх Ыу, рп где Р, 9 Я суть функции от (х, у, «), определенные в точках по- верхности (о). Еше раз подчеркнем, что во всех случаях поверх- рость (Я предполагается двусторонней н что интеграл рас- пространяется на определенную ее сторону. 63б. Простейшие частные случаи. 1'.
Возвратимся вновь к интегралу (2) для случая, когда поверхность (о) задана явным уравнением «=«(х, у) ((х, у) из (0)), Гл. Хун. позвРхностныв ннтвгРАлы причем функция «непрерывна вместе со своими чзстными производ да дг ными р=- и д= —. х ду' Если интеграл (2) берется по верхней стороне поверхности то в интегральной сумме (1) все Р, положительны. Подставляя в эт) сумму вместо «) его значение «(хэ у,), приведем ее к виду а= ~~~ ~У'(хэ у), «(х„у))) Р), в котором легко узнать интегральную сумму для обыкновенног( двойного интеграла ~ 1) (х, у> «(х, )))) (тх(ту. Переходя к пределу, установим равенство ) 1У(х, у, «) Ых Ыу = 1 1У(х, у, «(х, у)) Ых ду, (3 (з) (о) причем существование одного из этих интегралов влечет за собо) существование другого.
В частности, оба интеграла наверное суше ствуют, если функция ) непрерывна. Если интеграл распространить на н и ж н ю ю сторону поверх ности (8), то будем иметь, очевидно, ~~У(х, у, «)Ых((у= — (~У(х, у, «(х, у))ЫХЫу. (3" 3 А м в ч А н н в. Можно было бы во всех случаях сохранить фор мулу (3), если только двойной интеграл справа считать распростра пенным на надлежаще ориентированную область(0) 1см.610' Покажем теперь (для рассматриваемого случая), что поверхностны) интеграл второго типа приводится и к поверхностному интегралу пер ного типа.
Рассмотрим снова сумму (1), в предположении, что фикси рована верхняя сторона поверхности, так что все Р)~~ О. По фор муле (2) п' 626 ~[а ~у где у есть острый угол между нормалью к поверхности и осью а Применив теорему о среднем значении, получим и, 8,= — ' или Р)=3, сову~*, сов 4 вдесь «1 означает угол с осью «нормали к поверхности в некоторо) .(отнюдь не произвольно выбираемой) точке элемента (Ю!).
Подставляя в ц это значение Р!, получим а = ч ', бах!, ун г!) соз «!'8!. Эту сумму естественно сопоставить с суммой а = ~ч~ ~у(х!, у„г!) соз «!ОР где «; отвечзет уже произвольно выбранной точке (х„уь г,); послед.ыяя сумма является, очевидно, интегральной суммой длв поверхностного интеграла первого типа ~ $у (х, у, г) соз «!(Ю. Ввиду непрерывности функции 1 соз «= г'1+ Ф+ 4' если поверхность (8) разложить на достаточно малые элементы, то колебание этого косинуса в пределзх отдельного элемента станет меньше л!обого наперед заданного числа а > О. Предполагая функцию г ограниченной: !у)(Л4, оценим равность обеих сумм а и а: !а — а(( 5 !у(хь уг, г!) ! ! сов «! — соз «! )8!<, МЯЛ; 1-1 яаким образом, а — а О.
Ясно, что для обеих сумм предел сущеСтвует одновременно н притом один и тот же. Так мы приходим и равенству ~ ')у"(х, у, г) !тх !ту = ~ ) г"(х, у, г) соз « !(8, (4) причем из существования одного нз интегралов вытекает существование другого. Мы видим снова, что, в частности, оба интеграла существуют в предположении непрерывности функции Г.
Заменяя верхнюю сторону поверхности н и ж н е й, мы тем самым меняем внак левой части равенства (4). Если одновременно с тем под «разуметь угол с осью г нормали, направленной ни из же, то косинус, а с ним и интеграл справа, также изменит знак, так что равенство сохранится. 2ц. Если (8) есть часть цилиндрической поверхности с образу!ощимн, параллельными оси г, направляющая которой иа плоскости ху имеет 1О Г. М, Этттеигольц, т. ГН 'ййй! а с НОВВРхностныи интВГРллы ВТОРОГО типа 289 [бй 290 ГЛ. ХУП. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРВЛЫ нулевую площздь, то все ее элементы име)от нулевые проекции, таз что в этом случае ( ~ У(х, у, «) йх йу = О.
(б' (е) Очевидно, здесь также имеет место формула (4): так как соз »=О то и правая часть этой формулы будет нулем. 636. Общий случай. Обратимся к общему случаю простой незамк нутой гладкой поверхности. В интегральную сумму а'= ~~' ) (х), ун «1) Ро как мы условились, не включены слагаемые, отвечающие «неправиль ным» элементам, которые либо лежат на поверхности частью сверху а частью — снизу, либо не допускают взаимно однозначной проекци) на плоскость ху. На это обстоятельство условно указывает штри) у знака суммы.
Разумея вообще под ч угол, составленный с осью «нормальк к поверхности, направленной е соответствпп с выбрпнной старо ной поверхнос)пп, мы будем иметь всегда равенство, верное вплот) до знака (т)» имеет тот же смысл, что и выше): Р) = 31 соз и Таким образом, а' = ~ У(х), уо «1) соз»1«81. Эту сумму сопоставим с суммой а'= ~я~', Г (Хн УО «,) СОЕ »1 81 (), отвечает выбранной точке). Как и выше, легко убеждаемся в том что (6 Иш (а' — а') = О. Ясли к сумме а' присоединить еще сумму е"='~, 'Дх), уп «,) соя »18п соответствующую отброшенным «неправильным» элементам, то полу чится полностью интегральная сумма а для поверхностного интеграл первого типа г) ~у(х, у, «) соз «й8. - (з) Можно доказать (мы предпочитаем сделать это ниже, в 637], чт~ при стремлении к нулю диаметров всех элементов (81) сумма ве О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
