Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 49
Текст из файла (страница 49)
3= — я. 3 12) Если в аадаче о винтовом движении кривой положить с=О, так что поступательное движение отсутствует, то получится яоверхиоеаь врищеният х= р(и)созе, у= р(и) апе, г=ф(и) (а(и ~3, 0 < о <2я). Тогда У Еа — Е =ф() ~'[Т ()]'+[ф ()]', и площадь этой поверхности выразится формулой 3=2я ~ ~р(и) ]/ [ч'(и)]а+ [ф'(и)]эйи, а Эта формула обобщает результат задачи 8), но не потребовала ввелення несобственных интегралов.
[Ср. 344, (21).] 18) Оправдать выведенную в 346 [(25)] формулу для площади части цилиндрической наверх ности, исходя из общей формулы (3"). 14) Иногда бывает удобно задавать поверхность в полярных или сфери- ческих координатах г, 9, т, которые с обыкновенными прямоугольными коор- динатами связаны известнйми формулами: х=гаауажв, у=гав рап9, г=гсоэф (гэО, О~Т(я, 0(9(2 ). При этом предполагается, что полярный радиус-вектор г задан в виде функ= ции от углов ч и 9: (иолярное уравнение поверхности).
Найти выражение площади кривой по- верхности для этого случая. ГЛ. ХЧН. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Рвшкник. Воспользуемся н здесь формулой (9), исходя из полярного уравнения сферы: г=2гссоза. Имеем 8 = Ц 4Ло гщ 9совч !ОТ ИО, !г! где область (О) интегрирования по Т и 0 ограничена кривою (А соло 9+ В мпо 0) г(поа = соло р, Если свести дело к определению площади той части поверхности, которая лежит в первом октанте, то при любом 0 между 0 и — угол Т изменяется от О до угла во=то(0), для которого ! о 1 А соз' 0+ В зщо 0 Очевидно, з Ео 8=1б10о ~ л!0~ мпрсовТ!(Оь Но 1 ., 1 г! и а соз Т г(т = — Б!и во =— 2 2 1+ А соево О+ В гщо 9 и окончательно 8=8Ло а!О 4агто (А+ 1) сов' 9.+ (В+ 1) г1п'9 у' (А+ 1) (8+ ц Любопытно, что зта площадь совпадает с площадью зллипса, имеющего полуосями хорды )гС и ЕС (см.
рисунок). 1У) Доказать, что площадь поверхности (х' + у' + г')о = а'хо + Ьоуо + 1" г" совпадает с площадью поверхности эллипсоида х' у' г' о+ Ьо+ о если взять Рт Та ар а= —, Ь= —, с=в о Дока злтвльств о. В сферических координатах уравнение поверхности: г' = ао г(по а соло 0 + ро г1по Т ипо 0 + 1о соло а, и по формуле (9) площадь ее равна 8! —— 8 ~ ~ Г"(аосоаоО+Роа1поО) ап~у+Тосоао<ращ<р!Оуа!О. 6291 6 6. плошадь квивой поверхности С другой стороны, если исходить из обычного параметрического представления зллипсоида: х=азрпусозе, у=Ьипрзрпо, л=ссозр (О ~ в ( я; О ~ 6 ( 2я), то определители матрицы производных окажутся равными А=сЬмп'рсозз, В=асйп'рипа, С=аозщвсоз р, и по формуле (3) площадь поверхности эллипсоида выразится так: 3 3 5=8 ~ ~ р' (с'Ь'соз'6+с'а'ып'6) зрп'у+а'Ь'соз'З мптараз.
Мы видим, что выражения для Ю, и 8 действительно отождествляются, если положить сЬ=а', со=6', аЬ=1' -или что н требовалось доказать. 18) Определим теперь площадь поверхности трехосного зллипсоида: х' у' —,+ — + —,=1 (а)Ь~с)О). аз Ьт сев Переписав для первого октанта уравнение поверхности в явном виде: / ха уз л=е уаг 1 — — — У р' з Ьт э будем иметь: х ат р= — е х" у' 1 — — — -— а' Ь" так что Положим для краткости е' 1 — — =а' а т — В тогда искомая площадь выразится, по формуле (5), интегралом 211 % т.
площадь кРиВОЙ поверхности если положить А= — (А~1). С другой же, (и' — 1) зги ~ а' ') зРу !') Ьг (из — аз) (из — Ьз) ( ыпз т /Р аз Ьз нпз р -( ' ''- Ьг а' — Ьз ып'в 1 — Ьз еюзт у'аз языпзр) -( У' ! — Азапза 1 — Ьз 1 а мп т " )' ! — Азып так что интеграл под знаком двойной подстановки представится в виде а У 1 — ~ ' 'з ,.
з Ьр з1п' р ф' 1 — А' зш' т Интегрируя в первом члене по частям, последовательно преобразуем вто выражение так: сгн*. зр — асрнт ф' 1 — Аз а!пав — А'а, ййр— ,) )г 1 — Аз зшз р 1 — Ьзг ит — а с1н т )Г 1 — Аз яшз у— 3 $Г1 — Азз!пз, 1 и 1 — А'а' ип' — — г(т= — а с1дй ° Ьг 1 — Аз мп' т «1) 1 — аз Г СЗт — — — 1 р' 1 — Аз Ынзу ит а ) Ьг 1 Азашз, Затеи объединяем оба внеинтегральных члена: аз — Е!П' — а срн а ° Ьг 1 — Аз ап' р = а з(п зр ав т У 1 — А' апз О (аз + Ьз созз в — 1) в)п р а а Сзм т) Г 1 — Аз зрпз р Двойная подстановка по р от р=агсып а до О дает для зтого выражения такой результат: фг(1 — а')(1 — Ьз).
Учитывая двойную подстановку и для Интегралов, окончательно получим формуву 8=2ааЬ( ф" 1 — аз фг 1 — Ьз+ — Р(р, А)+аЕ(р, А) ~= а =2ас'+ ( сзР(рь А)+(аз — с') Е(р, А) ), 2яЬ у' аз — сз данную впервые Лежандром. Здесь Ь' аз — с' а ЬгЬ' — с' =агсмп, А=-— и ' Ь Ьгаз сз' 19) Г а у с с ввел для поверхностей понятие яоляой кривизны в данной точке, совершенно аналогичное понятию к р и в из н ы для плоских кривых (ЯО). а Этим мы, паконеп, уничтожаем ту неопределенность прн р=Оз котоРан отмечалась выше.
гл. хчп, поввэхностнып интегвллы Пусть дана поверхность и на ней точка. Возьмем любую часть (о) поверх- ности, окружающую зту точку, и рассмотрим всю совокупность нормалей в разйичных точках (3). Описав вокруг начала сферу радиусом единица, ста- нем проводить из начала лучи, параллельные упомянутым нормалям; они выре- жут на поверхности сферы некоторую ее часть (Е). Площадь ее т; есть мера телесного угла, заполненного всеми проведенными лучами; зто — аналог угла а, о котором была речь в определенни, данном в п 250.
Предел отношения— ч Е при стягивании (3) в данную точку и называется полкой кривиз- нойй поверхности в этой точке. Поставим себе задачей вычислить его. Предположим, что поверхность задана уравнением в=у(х, у), причем функция у имеет непрерывные производные первого и второго порядков де ду деу две д,у р= — а= — г= — в=в =дх~ =ду ~ дхю дхду~ — дув (1О) то Р (х', у') 1 Л(п'й) =(1+р +й)' Если учесть еще (10), то окончательно получим Л (х', у') гг — з' Л(х, у) (1+ра+а')' ' В таком случае по формуле замены переменных: Х= (гт — зв~ дхду (1+ р'+ ое)ч )соач1 ' (о) Дифференцируя как Я, так и Е по области (Л) [593), легко получить теперь, что Е (гг — з'! |а- т 7%~лкгг' Это м есть искомое выражение для полной кривизны. и, кроме того, определитель Л(р ч) Л(х,у) отличен от нуля (в рассматриваемой точке и вблизи нее).
По формуле (бб) имеем '=Цм -Ц%% где (Р) — проекция (Я), а (Р') — проекция (Е) на плоскость ху, угол же ч для соответствующих точек (х,у, л) и (х', у', л) обеих поверхностей один и тот же. Преобразуем второй интеграл к переменным х, у. Так как, очевидно, х' = сов Х =— р у' = соз и =— У1+р'+й' ' У1+р'+й' 62Щ З Э. ПЛОШАДЬ КРИВОЙ ПОВВРХНОСТИ 20) Формула (бб) может быть весьма просто получена, если исходить— для случая явного заданяя поверхности (8) — иэ другого определения площади кривой поверхности.
Разложим поверхность (3) на частя (51) (1 = 1, 2, ..., и); в соответствии с этим ее проекция (В) на плоскость ху разложится на части (111). В некоторой точке (МВ площадки (ЗД проведем к поверхности кзсательную плоскость и спроектируем площадку (Вг) на эту плоскость пар алле льна оси л„Обозначая через Тг площадь полученной плоской фигуры, очевидно, будем иметь Вг= Те !сосчг(, если тч есть угол нормали к поверхности в точке Мг с осью г. Если под площадью 3 поверхности разумеюь предел суммы площадей именно эмих плоских фигур, то сразу придем к результату В = 11 ш ~~)~ Тг = В ш л~г )совчг) д ~ )созт( ' поскольку написанная сумма явно представляет собой интегральную сумму для последнего интеграла.
Подчеркнем,что измененное определениеплощадикрнвойповерхности,хотя и весьма просто приводит здесь к окончательной формуле, имеет существенный недостаток: оно формально связано с выбором координатного триедра (проектярование параллельно оси г)) и приложимо лишь к частному типу поверхностей. 21) Пусть от параметрического задания х = х (и, и), у =у (и, о), г = г (и, и) ((и, о) из (й)) гладкой поверхности (8) с помощью формул э и=(1(и"', о*), о=)с(и", ов) ((иэ, оэ) нз (Дс)) мы переходим к другому ее представлению х = ха (и", о*), у =уэ (иь, ов), г = г* (и", о"), в котором она также не имеет особенностей.
Легко показать не п осредст в е н н о, что формула (3) для площади (8) поверхности преобразуется при атом в аналогичную же формулу Я= 1( ~ )1 Аэс+В*'+Сэ'див дпэ 11 (все величины, относящнесн к новому представлению, мы отмечаем звездочками). Действительно, полагая Р(и, о) В(и", оэ)' имеем по известному свойству функциональных определителей Аэ=А1, В*=В1, Сь=С1. э Функции У и (е предполагаются непрерывными вместе со свонмн частимми производными. 274 ГЛ. ХЧП. ПОЗЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ~ )ГА'+ В'+-С! А!и !Гв = Ц ~ )САл + Вл + Сл ° ! / ! а ли !Гви = Ф'! ~УА +Вил.( Салли«гви, что и требовалось доказать.
9 3. Поверхностные интегралы первого типа 630. Определение поверхностного интеграла первого типа. Поверхностные интегралы первого типа представляют собой такое же естественное обобщение двойных интегралов, каким криволинейные интегралы первого типа являются по отношению к простым определенным интегралам. Строится это обобщение так. Пусть в точках некоторой двусторонней гладкой (или кусочно-гладкой) поверхности (8), ограниченной кусочно-гладким контуром, определена функция У(М)=У(х, у, г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
