Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 47
Текст из файла (страница 47)
С другой стороны, если через А', В', С обозначить значения определителей А, В, С в точке М', то соз ).'=, соз р'= А' В' =У'А'+В'+С* ' =)'А'+В'+С* ' Р С' сов ч = ч- г' А'"+ В'+С' (знак берется во всех случаях один н тот же). Поэтому ! В (ч, Ч) ) ) А А' + ВВ' + СС' ! В( )! р'А'+в'+с Справа мы имеем непрерывную функцию четырех независимых пвременных и, о, й, о' в области (Ь))((Ь)е.
При и'=н, й=о пна обращается в У'А'+ В'+ С' и отличается от этрго выражения на величину и=а(гг, о, и', о'), которая ввиду равномерной непрерывности упомянутой функции, лишь только расстояние точек (и, о) и (й, о') достаточно мало, стаНовится произвольно малой независимо от положения точки (и', й). Тогда иэ (2) получается У'= Я)Аз+ В + СЧпВо+. Д; Фч * Так мы обозначаем четырехмерную область точек (и, е, н', е'), для Моторна (и, е) и (и', е') по отдельности принадлежат двумерной обаастн (д).
ГЛ. ХЧП. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ где а' бесконечно мало одновременно с диаметром Ь или, если угодно одновременно с диаметром Ж Применив этот результат к каждой и:- частей (8,) (1=1, 2, ..., и), на которые мы разлагаем поверхност) (8), мы придем к ряду равенств подобного же типа Т, = ~ ~ ")' А'+ Ви + Сч йг Ыв+ и, Ь„' здесь (Ь,.) есть соответствующая (8)) часть области (Ь). Суммируем ~Ч ', Т; = ~ ~ ) сА'+ В' + Сч ди ~Ь + а, ь Ф) где величина а = ~ч ~ а) Ьо очевидно, будет бесконечно малой одновременно с А. Таким образом, для ~'„ Т; при )) -» О действительно существует предел я=) ) $ А'-~-Р.~Т' ю и, (3) )А) который по определению и есть пло)падь поверхности. Если матрицу «возвести в квадрат» и составить определитель ! хйи+У„'+ г,'и х„'х' +У„'У,'+ гиги хиХ»+Учри+ гиги Хи +,Уи +ли то по известной теореме алгебры он окажется равным именно Аа+ +В'+Си.
Обычно полагают А+У« +хи =В~ хихи+Уиуи+лиг»=Р, х,'+у„'+ г," ,= 0 — это так называемые гауссоам коэффициенты поверхности, играющие важную роль в дифференциальной геометрии. В этих обозначениях Аа+Ви+Си=ВΠ— ВЯ, так что формула (3) может быть написана н так: Ю = ~ Я ВΠ— Р с(и )1ж А в к плОшАдь КРизой поввРхности Выраженяе Ф А'+Ва+С'йийе=УЕΠ— Е'г(иг(О где (х, у) изменяется в области (1)) на плоскости ху.
Переменные х и у играют роль параметров и и в. Полагая, как обычно, д» де д ' т д дх' ду' по матрице составляем определители А = — р, В = — о, С= 1, так что в рас- сматриваемом случае ~ ~ ~/ 1+ ч+, а лх,(„ (5) Вспоминая, что для острого угла ч нормали с осью е будет 1 г~1-;л -~ можно написать формулу для площади и так: '=И вЂ” ""-". <о> (5а) Наконец, если не требовать специально, чтобы угол т был острым, то '=И%% (56) М (Ср. формулу (7) п' 544 для длины дуги кривой, заданной яв- нымм уравнением у=*у(хЦ й Г Ы.
Еяатеагчаыц т, гм называют элементом площади в нриеолинеднах координатах. Мы ограничивались до сих пор случаем н е з а м к н у т о й г л а дк о й поверхности. Если поверхность не подходит под этот случай, но разлагается на конечное число незамкнутых гладких кусков, то ее плошадью назовем сумму площадей отдельных кусков. При этом легко показать„что так определенная плошадь на деле не зависит от того, как данная поверхность разложена на куски нужного типа. Если вся данная поверхность характеризуется параметрическими уравнениями, то плошадь ее в указанном общем случае по-прежнему выражается формулой (3) нли (3~).
Остановимся в заключение на том простейшем частном случае, когда поверхность (8) задается явным уравнением г=У(х, у), 258 1627 ГЛ. ХЧП, ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 627. Подход через вписаниыв многогранные повврхностн. Хотя мы н отказались от мысли положить в основу самого о п р еде л е н и я понятна площади кривой поверхности вписанные в нее многогранные поверхности, но сейчас мы вернемся к этому и покажем, по крайней мере, как можно строить вписанные многогранные поверхности, площади которых заведомо стремятся к площади данной кривой поверхности. Мы займемся, в основном, случаем, когда область (Ь) представляет собой п ря и о у го л ьн як со сторонами, параллельными координатным осям.
Выберем определенную с т ор о н у поверхности (8) и тем самым установим положительное направление обхода ее контура. Можно считать, что это направление соответствует положительному обходу контура прямоугольника (Ь). Мы знаем [62Ц, что при этих условиях направляющие косннусы нормали к поверхностй задаются формулзми А сов Х = Г' Ав+ Вв+ С' в В соэР= а! )'А'+ в'+с" л соэв= )/Ав + В'+ С с п о л о ж и т е л ь н ы и значением радикала, Разложим теперь прямоугольник (Ь) с помощью параллелей его сторонам на частичные прямоугольники, а затем каждый нз ннх диагональю разложим еще надва прямоугольных треугольника (рнс. 91, а).
Таким образом мы осуществим т р н а н г у л я пи ю области (Ь). Пусть одним из элементарных треугольников будет ~ лввшвтв с вершинами в точках ю,(и„о,), т,(и,+й, и,), т,(им и,+л), х ю' где И н й — числа одного знака. На поверхности (3) им отвечают точки Рис. 91. Мо (Хо Ув~ Ло)в Мв (Хвв Уп «в)~ Мо (Хов Увв Лв)в определяющие в пространстве некоторый ~МвМ,Мв (рнс.
91, б). Из всех таких треугольников составится многогранная поверхность (Е), впйсанная в (3)," ее мы я будем рассматривать. Если обход контура каждого такого треугольника производить именно в направлении М,М,М,М„что отвечает положнтель- номУ обходУ контУРа тРеУгольника г1 мою,ш„ то этим опРеделитсЯ стоРона многогранной поверхности (Е), в согласии с условиями, установленными в п 622. Если ~1М,М,М, спроектировать на плоскость ху, то получится т~ Логвг,ввв с вершинамн в точках Д)о(хв Уо) ЛГв(х Ув)* ДГв(х Ув).
Площадь этого последнего треугольника по величине н по з н а к у (с учетом его ориентапни1) выразится, как известно нз аналитической геометрии, опре- 11хв хо Ув Уо~ "У 21Х вЂ” х Ув — У По формуле конечных приращений х,— хо=х(ив+я, о,) — х(и„оо)=х„'(ив+ЕЛ, о,) ° д= =!х,'( )+ 1 Ь 628) ь х площадь квивой повевхностн где величина а, произвольно мала вместе с И, н е з а в и с и м о о т п о л о- жеиия точки (и, о)в.
Точно так же уа уа=(уа+за) Иа х,— х,=(х'+та) И, у,— у,=(у'+а,).И, где все производные вычислены при и=и„о=о„а буквой а со значками здесь (и впредь) обозначаются величины, произвольно малые вместе с И и И, независимо от положения точки (и„о), Теперь величннаа„у может быть переписана в виде гь ( ~х,', + в, у,', + а, ⻠— — — ИИ, ~ — ИИ (С+ а,) =(С+ за) Ь, (6) 2 ~х„'+а у'+за 2 где Ь есть площадь,lт алаювала. Аналогично получим и для проекций на лругне координатные плоскости: а а=(А+аа) ° Ь, аав — — (В+вт) ° Ь. (ба) ПЛОщадЬ а СаМОГО т'ЬМ,М,Ма ВЫЧИСЛНтея тЕПЕрЬ ПО фОрМуЛЕ и для иее аегко получить выражение а=(У Аа+В +С +,).Ь.
Нетрудно сообразить, что отношения ввл а лаз а ' а выразят направляющие косинусы нормали к плоскости треугольника Гт МаМаМа в с о от нет с твин с его ориентацией. Ввиду (6), (6а) и (7), они при И н И О стремятся к направляющим косинусам (5) нормали к поверхности, и притом равномерно для в с ех г р аней.
Очевидно также, что при указанном предельном переходе и диаметр ы всех граней поверхности (Е) равномерно стремятся к нулю, что н требовалось доказать. Наконец, суммируя равенства вида (7), легко усмотреть, что площадь многогранной поверхности (т>) К=~ У А*+Ва+Са. в+~а,.Ь прм И и И вЂ” О стремится именно к плошади (3) кривой поверхности, Эти построения естественно распространяются на случай, когда область (И) составлена из прямоугольников. Триангуляция же произвольной области потребовала бы довольно кропотливых (хотя и вполне элементарных) соображений; на этом мы останавливаться не будем. 629. Особые случая определеняи площади. Пусть снова задана гладкая поверхность без кратных точек.
Она имеет площадь (8), выражаемую формулой (3) или (За), Представим себе, что на поверхности ($) выделена неквторая ее часть (з), ограниченная кусочно-гладкой кривой (т); ей в области ° Мы испольеуем здесь р а в н о м е р н у ю непрерывность производной х' Аналогичные соображения приложимы и в дальнейшем. Яа ГЛ. ХЧП. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ННТЕГРЛЛЫ [6% (Ь) отвечает часть ее (Ь), ограниченная также кусочно-гладкой кривой (Х). Площадь части (3') поверхности, полученной выделением фигуры (а), и площадь самой фигуры (а), очевидно, будут равны, соответственно, 3' = ~ ~ 1/Еб — гч««1и «Го, з = ~ ~ ]г Всл — Га аи ао. Р — бч Н) Если фигура (а) на поверхности будет теперь с т я г и в а т ь с я в т о ч к у или в линию, то это же будет происходить к с плоской фигурой (з), и площадь ее 3 будет стремиться к нулю. С нею будет стремиться к нулю и в, так что Вш3'=3.
(8) Представим себе теперь, что та же поверхность задана иным представлением: х=хз(и', о*), у=у" (из, е«), л=л*(ич, оэ), при котором в отдельной точке нли вдоль отдельной линии появляется «особенностьа(в частности, обращаются з бесконечность производные фигурирующих в этом представлении Функций). Выделив эту ~очку илн линию с помощью ее окрестности (з), площадь (3') остающейся части выразим, как обычно: 3' = ~ ~ ]ГЕ*0« — Р'"' «Гиэ аоэ, 1а«> — <а«1 если звездочкой отмечать все величины, относящиеся ко второму представлению. Но мы уже знаем [см. (8)], что — при стягивании (з) в упомянутую точку или линию — 3' должна стремиться к 3; следовательно, для получения 3 мы можем перейти к пределу з предшествующей формуле, стягивая в точку илн в линию область Зэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
