Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 40
Текст из файла (страница 40)
у) г ( ) !У(х у)! — У(л у). очевидно, ~+(х, у)= Д(х, у), если 1(х, у))0, 0 в противном случае, 1 —,1(х, у), если 1 (х, у) ( О, У (х,у)= [ [ 0 в противном случзе. Из интегрируемости функции 1,1(х, у)~ вытекает сходимость интегралов для функций 1+ (х, у) ( (,1'(х, у) ~ и 1' (х, у) (1У(х, у) (, а следовательно, и для функции 1(х, у)=У+(х, у) — 1 (х, у).
Весьма замечателен тот факт, что и обратно: из сходилгости интеграла от функции Г (х, у), распространенного на неограни * Мы все время сохраняем за /1 его значение, как наименьшего расстояния точек .кривой (К) ог начала. 217 6Щ а а. нвсовстввнныв двойныв ннтяггалы ченную область (Р), вытекает сходимость интеграла и для ),) (х, у)~. Этому предложению нет аналога в теории простых несобственных интегралов: мы внаем (476), что там могли существовать и неабсолютно сходящиеся интегралы.
Доказательство мы дадим в следующем и. ') ~ ~ У(х, у) ~ ах Иу. ))ч Лопустим противное. Взяв последовательность областеп 1(Р„)), так, чтобы они, расширяясь, постепенно охватывали всю область (Р), будем иметь Иш ~ ~ ~,г (х, у) ~ йх Иу = + оо. л ьо)е ) и (6) Не умаляя общности, мы можем допустить, что при каждом ана чении и выполняется неравенство )г(х, у)~йхау)3 ~~ !,) (х, у)!Ихйу+2т 1~ и+» )Рц) Этого можно достигнуть, разрежая (в случае надобности) последовательность ((Р„)~, т.
е. извлекая из нее частичную последовательность и наново нумеруя ее. Обозначая через (р„) разность областей (Р„+,) и (Р„), очевидно, будем иметь ~~ )у(х, у))йхс(у)2 ~ ~ )ф(х, у))йхь(у+2т Но ~у(х, у) ! =у+ (х, у)+у (х, у), так что $5 Мх уНйхйу=3$У (х у)б у+33 У (х З')йхбу. )р ) )ел) Иусть из двух интегралов справа ббльшим будет, например, первый.
Тогда $ $ у+ (х, у) Их Ыу ) ( ~ / у(х, у) ~ Лх Иу+ и. )ви) )еь) 613. Теорема об абсолютной сходимости несобственного двойного интеграла. Каждый сходяиаийся интеграл ) ),) (х, у)йхйу (5) )е) необходимо и абсолютно сходится, т. е. одновременно с ним сходится я интеграл 218 (В<в гл. хвь двойныз интвгэллы Зйяеняя двойной интеграл слева достаточно блиакой к нему нижней суммой Дарбу, сохраним неравенствоч ~~»', аи<пр<о > ~ ~ ~ У'(х, у) ~ <тх <(у+ л. Можно в этой сумме оставить лишь те слагаемые, которым отвечают и<„) О; обозначив с о в о к у и н о с т ь соответствующих элементов <с> (р'„~) через (р,), получим, тем более, $ $ У(х, у) <(х <(у = <~л< = ~ $У (х, у)<(хну ) $ $ ~У(х, 1)! уФ+и.
~~ л< <н„< Обозначим через (Р„) область, составленную нз (Р„) и (р ); так как (( у(х, у)<(хну.= — (( ~,у(х, у)«(х<(у, < л< <Р„< то, складывая почленно это неравенство с предыдущим, найдем ')~ У(х, у)<т'хну >и. Область (» ), а с нею и (Р,), можно деформировать так, чтобы иа последней получилась связная область (Р'), и притом по площади столь мало равнящаяся от (Р„), что все же сохраняется неравенство ~ ~ .1(х, у) Их <уу ) и. <ил< Этого легко достигнуть, соеииняя оторванные части области узкими «коридорами» с произвольно малой обшей площадью.
Отсюда уже ясно, что интеграл (5) сходиться не может, вопреки предположению; это противоречие н доказывает теорему. Заметим, что принципиальная разница между одномерным и двумерным случаями связана именно с заключительной частью проведенного рассуждения. Несвязную линейную область, состоящую из отдельных промежутков, уже нельзя произвольно малой деформацией превратить в связную (т. е. в цельный промежуток). ь Здесь (рал) суть элементарные части, на которые разбита область (р ), а м<П вЂ” соответствующие точные нижние границы функции у+(х, у).
614) а а. нвсовстввнныв двойныв ннтегаалы 219 Доказанная теорема вместе с замечаниями предыдущего и' сводит вопрос о сходимости и вычислении несобственного интеграла от произвольной функции к такому же вопросу для положительной (неотрицательной) функпии. Последним вопросом мы в последующем и' преимущественно н займемся.
614. Приведение двойного интеграла к повторному. Ограничимся сначала предположением, что функция у(х, у) неотрицательна. Если эта функция задана в неограниченной области любой формы, то, полагая ее дополнительно вне этой области равной нулю, всегда можно свести дело к случаю неограниченной же прямоугольной области. Пусть, скажем, речь идет о бесконечном в одном направлении прямоугольнике (а, Ь, "с,+по) (а, Ь, с — конечные числа, причем Ь)а). Будем предполагать, что в каждом конечном прямоугольнике [а, Ь; с, с() (при любом Ы >с) существуют как двойной интеграл, так и простой интеграл по у — оба в собственном смысле, так что (664) имеет место формула У с(х Ыу = ') г)х ~ ~ бу. (7) 1а,мс.
а~ а с Желая установить подобную же формулу для бесконечного прямоугольника, т. е. для случая И=+со, предположим, что сходится повторный интеграл а са )=1г(х1Угу. а Так как при любом 0)с имеем увхг(у(1, !а. а; с, а1 то по сказанному в 612 отсюда уже следует сходнмость двойного интеграла уйхау= йш ~ ~ Упхс(у, (8) 1а, а; с. +с»1 'а 1», а; с, ж который, очевидно, не превосходит Е Остается лишь доказать, что на деле двойной интеграл равен Е Если интеграл ~ г пу представляет собой функцию от х, инте» грируемую в собственном смысле, следовательно, ограниченную некоторой постоянной Л, то и подавно ~,у(х, у)Иу =.Е.
с [ви гл. ххь двойныв интзггллы В таком случае по теореме П п' 620 Ь и 1= йш ~ с(х)1с(у. а +ос о с Сопоставляя это с (7) н (8), приходим к требуемому результату. Установленный факт, сохраняет силу и в том случае, если интеграл 1 сходится, как несобственный. Пусть, например, Ь является единственной особой точкой для функции ~УЫу от х. Тогда по с доказанному, при 0 т~(Ь вЂ” а, Хйх с1у = ~ ~(х ~,г с~у, (9) [а.
Ь вЂ” са с, +со! и обе части равенства прн я-~.0 стремятся к 1. Принимая же во внимание, что 1» ) ') 1йхг)у ~ ~ ~ уЫхФу, ~о. Ь; с, +оо] !а. Ь вЂ” Ч; с,+оо1 снова заключаем о равенстве двойного и повторного интегралов по прямоугольнику [а, Ь; с, + со[. Заметим, что если бы несобственный повторный интеграл имел бесконечное значение, то, как видно из предыдущих двух соотношений, таково же было бы и значение двойного интеграла, Итак, имеем подобно (7) + со У~ХНУ=~Ь(Х ~ УЬ(У, (10) $а.
Ь; с, +со~ Уськь(у= ) с1х ~ Угу, (11) (о, +чв с, +он причем из существования повторного интеграла справа уже вытекает существование двойного интеграла. равенство сохраняется даже в том случае, когда интеграл справа равен +оо. Обратимся, наконец, к рассмотрению прямоугольника [а, + оо; с, +со), простирающегося в бесконечность по двум взаимно перпендикулярным направлениям. И здесь будем предполагать, что в каждом конечном прямоугольнике [а, Ь; с, Ф[ (при любых Ь >а и Ы >с) существуют в собственном смысле двойной интеграл и простой интеграл по у. Лля рассматриваемого случая также может быть установлена формула Б Б.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 61Е) в предположении, что повторный интеграл справа сходится. Это легко получается из (10) переходом к пределу при Ь-»+Оо, наподобие того, как выше мы (10) получили из (9). И здесь двойной интеграл оказывается равным +оп, если таково значение повторного интеграла. Скажем теперь несколько слов относительно случая, когда функция г(х, у) меняет знак; ограничимся для определенности формулой (10). В конечном прямоугольнике 1а, Ь; с, Ы1 (при о)с) мы сохраняем прежние предположения, но, наряду со сходимостью повторного интеграла от самой функции: Ь +со ~лх ~ ~(х, у)лу, Ь а мы на этот раз допустим сходимость повторного интеграла и от ее абсолютной величины: Тогда подобные же повторные интегралы будут существовать и для функций 1+(х, у) и г (х, у), упомянутых в конце пь 612.
Применяя к этим нео тр и па тель н ы м функциям порознь доказанную формулу (10) и вычитая результаты, убедимся в справедливости этой формулы и для данной функции ~(х, у). 616. Интегралы от неограниченных функций. Пусть функция г (х, у) задана в ограниченной области (Р), но сама оказывается неограниченной в окрестности отдельных точек М„МЬ,...; в любой части области (Р), не содержащей этих точек, мы предполагаем функцию интегрируемой в собственном смысле слова. Выделим теперь особые точки М„М„..., окружив их кривыми (Ь,), (Ьэ),...
Если удалить из области (Р) ограниченные этими кривыми окрестности особых точек, то мы получим область (Р'), для которой по предположению интеграл ') ~,у(х, у)пхну 1Р) (1») * Вместо этого можно было бы предположить стремящимися к нулю диаметры всех областей, ограниченных контурами (Е). сходится. Станем «стягивать» кривые (Ь,), (Ьэ),... в указанные точки так, чтобы наибольшее из расстояний точек этих контуров (Ь) до соответствующих точек М вЂ” обозначим его через р — стремилось к нулю э. Заметим, что при этом и площади рассматриваемых окрестностей (меньшие чем ярэ) также будут стремиться к нулю.
222 [615 ГЛ. ХЧЬ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Инрпеграл (несобсрпвенный) от неограниченной функции У(х, у) по области (Р) определяется как предел интеграла (1«) при р О: ~ ~ У(х, у) с[х бу = 11ш ~ ~ У(х, у) бх р[у. (2*) (Р) Р-О<Р,> Особые точки могут лежать и вдоль некоторых особых линий, которые мы всегда будем предполагать имеющими площаль О. В этом случае приходится окружать эти линии «сжимающимися» к ним окрестностями, и принципиально здесь нет ничего нового. Однако точная характеристикз подразумевающегося здесь предельного процесса требует еще некоторых пояснений.
Пусть особая линия (/) окружена окрестностью с контуром (я). Если взять точку А на (й), то иэ расстояний этой точки от рааличиых точек В на Я существует н а и м е н ь ш е е, рл, с другой стороны, если изменять положение А на (я), то из зсехврл найдется наибольшее, р. Это число в некотором смысле и характеризует степень удаленности контура (я) от кривой (1), и предельный процесс направляется условием: р — О. (При наличии нескольких кривых под р разумеется наибольшее из подобных чисел.) Здесь также можно доказать, что вместе с р стремится к нулю и площадь рассматриваемой окрестности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
