Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 39
Текст из файла (страница 39)
вшвннв. Вопрос сводится к вычислению интеграла, распространен- ного на эллин с в плоскости ху, в связи с чем целесообразно перейти к обобщенным полярным координатам, положив х=огсозВ, у=ЬгмпВ; якобиан преобразования при этом будет / = оЬг. 6111 В в. ЗАманА пкрпмкнных и двойном интягРАлв 2!1 Например, для случая (б) получим 3 ! = — ~ ~ ( — + —,— )»Сх»ру=2аЬс ~ (; + !С)) )у ц Ь' ип'В ! ~ г»гггс(В= а Аналогично найдем и для других случаев: а»Ь»» (а) У=яаЬЬ, (б) У= 2с 11) Найти объем трехосного эллипсонда „» в» а + +с а' Ь' с' Указаник.
Прибегнуть к обобщенным полярным координатам 4 Олыель — яаЬс. д 12) Вычислить интеграл С = '! ~ ху»ух !Су, (и) 2 С»= )' р ° 4р сов»Свщ»С»рраС= — о-, 3 ! ,! р»л+! Сов»л+» С яп»л!» С !Ср аС 3 — сов'"+' С мп'"+' С»СС = — ° 2 Г,, 2 ((4л+ 2)!Ц» л+1 ~ и+1 (8л+6)0 » В случае (в) тело состоит нз четырех симметричных частей, нз которых две расположены под плоскостью ху, а две — под нею. распространенный на петлю кривой в первом координатном угле.
(Ср. 608, 3) (г).1 а»»Ь» У к А запив то же. Оювет.— 840 с'» 13) Вычислить интегралы: (')В 1!! Г .!У!»" » а)( 1)~г»»» !А) !А) (и†натуральное), где (А) есть область, ограниченная осями координат и параболой )'х + угу = 1. Рвш вник. Параметрические уравнения кривой х сов'С, у ип'С (- --' 0-- С ~ — ), Естественно рассмотреть семейство парабол, подобно расположенных (относительно начала): х=р сов'С, у=ран'С (0(р ~1), Вводя р и С в качестве новых переменных, будем иметь у=4р сов'Сын*С, так что в ! [6!1 212 гд. хчй двойнын интнгвлды Последнее выражение может быть преобразовано к виду (2п+!)! (п+ 1) (2п + 2) (2л+ 3) ...
(4л+ 3) ' При л=! отсюда, в частности, получается решение задачи 3) п' 597. 14) Вычислить интеграл где (В) есть область, ограниченная осями координат н параболой 1 а+~ Ь Указания. Положить х=ар совет,у=Ьрз!п'8~0<р«=1, О<с< — ). где (П) есть область, ограниченная четырьмя параболами х'= лу, х' = Ьу, у'=рх, у' = 4х (О < а < Ь, 0 < р < о). Ряшяни к.
Прибегнув к замене переменных, указанной в 604, 4) ср. 608, 5)), преобразуем интеграл к виду ь ч е.=) ~ 3зйтЬЧ осе!Ч. а л Теперь легкое вычисление дает: Х— ып рЬ вЂ” мп рл а!п дЬ вЂ” з!п ла Аналогично угадывается подходящая система криволинейных координат и в следующих случаях: 16) Найти интеграл ! = ~ ) ху лх Иу, !л! если (А) есть четырехсторонник, ограниченный кривыми: (а) у=ах', у=Ьх', у'=рх, у'=ох! (б) у'=ахе, уа=ьха, у =ах, у =йх.
Указания. Ввести новые координаты 5, Ч, положив (а) у=!х', у'=чх; (б) у'=$ * у=3 '. 2 Отлет. К= — аЬ. 21 15) Найти интеграл ~ ~ х'з1пху !о! 61Ц 6 е замена пеэеменных в двойном ннтегэлле 2!3 Ответ. 6 6 8 8 5 (а) 1= — (и ' — 5 8)(46 — рз); (б) 7=- (Ь! — и)(.— — 8- ). 1 40 17) Пусть (Р) будет треугольник, определяемый неравенствами х~О, у)0, х-~-у(1. Предполагая р~1, д)1, непосредственно установить формулу 1иувилля [597, 16)]э ! ~ 1 ч (х -]- у) ху-! ут ' !(х иу = В (р, д) ~ у (и) изет ' !1и, !о! где Е(и) есть непрерывная функция в промежутке [О,!]. Доказаткльство.
П х=и(1 — о), у=ио или и =х+у, о= — ~ —. х+у' Этими формулами устанавливается взаимно однозначное соответствие между треугольником (Р) на плоскости ху н квадратом (а) = [0,1; 0,1] на плоскости ио. [Исключение составляет лишь точка х=О, у =О, которой отвечает отрезок оси о.] При этом Р (х, у) Заменяя переменные, получим, что двойной интеграл равен ,1 ! ~ э (и) ии!6 ' От г (1 — О)У ! ии йп или от ' (1 — о)У ! йо ~ о (и) ил!и-! с!и.
Так км! первый множитель как раз и есть В(д, р)=В(р, д), то требуемый результат установлен. 18) С помощью той же замены переменных можно доказать и более общую формулу: хл 'уч 1 ч(х+у) + + йхйу= л мо, ужо я+у~! т (и) иу+е ' йи ~ (ли+ т)У (ри [ т)т э (где р, ~у)1; о, 5)0, 7)0; ч(и) непрерывна). При этом надлежит вос- пользоваться известным результатом. "534, 2), э Выше она была выведена из формулы Д и р и х л е, которая является ее частным случаем (при Т= 1). [612 2!4 гл, хт!. двойные интегвллы 19) К формуле Л и у в ил ля приводятся формула ! 1 ! [У(аЗ) (1 — в)! 'ОЯ(1 — 6)Я ! !Га !([)=В(р, л) [У(о)(1 — о)и т-' йо, если применить подстановку 1 — х — у 1 1 — у Ф причем х)0, у= О, х+у(1.
Якооиан У=— 20) Доказать с помощью вамены переменных тождество (прн любом г = сопя!.) 1' ~ ссм (2я яп у яп 8) ив йЕ= ~ ~ соз(я яп А ) их [ср. 595, 7)]. 1(о к а з а т я л ь с т в о. Замена переменных в двойном интеграле по формулам и + о и†о в=в 2 ' 2 приводит его к виду — ~ ~ [соз(ясози)соз(ясазо)+ 1 Г 2 ], !2! + яп (я соз и) зю (г соз о)] йи й~, где (д) есть косо поставленный квадрат, нзобраРис. 76. женный на рис, 76. Но интеграл от второго сла- гаемого равен нулю (подстановка и = я — и'), а интеграл от первого слагаемого, распространенный на квадрат (Л), непосредственно приводится к уд в ое п но м у подобному же интегралу, взятому по квалрату 10, —; О, — ~. Отсюда уже легко получить требуемый результат. й 5.
Несобственные двойные интегралы 612. Интегралы, распространенные на неограниченную область. Понятие двойного интеграла обобщается на случай не о гр аниченной, т. е. простирающейся в бесконечность области, или на случай неограниченной функции, подобно тому как вто сделано в главе тринадцатой по отношению к простым интегралам. Остановимсн сначала на случае неограниченной области (Р). Примером такой области может служить вся плоскость или часть ее, лежащая в н е некоторого круга или другой ограниченной плоской з Впрочем, точка х =О, у = 1 здесь требует оговорок.
215 612) я а. нвсовственныв двойныв ннтвгвллы фигуры, какой-либо угол и т. п. Что касается границы этой области, то она предполагается имеющей площадь 0 (например, состоящей из кусочно-гладких кривых) в каждой ограниченной своей части. Пусть в области (Р) задана некоторая функция Дх, у), которую будем предполагать интегрируемой в обычном смысле слова в каждой ограниченной и квадрируемой части области (Р). Проведя вспомогательную кривую (К ) (тоже с площадью 0), отсечен от области (Р) ограниченную и с в я аную ее часть (Р'), в которой интеграл (1) по предположению существует.
Станем теперь удалять кривую (К) всеми ее точками в бесконечность, так, чтобы наименьшее расстояние )с от начала до точек этой кривой возрастало до бесконечности. Тогда 'отсекаемая ею переменная область (Р') постепенно будет охватывать все точки области (Р): каждая точка из (Р) будет принадлежать (Р') при догхаточно большом )с. Предел (конечный или бесконечный) интеграла (1) при й-ь оо называют (несобственным) интегралом от функции У(х,у) в неограниченной области (Р) и обозначают символом ~ ) У(х, у) йх йу = 1нп ~ ~ У(х, у) йх йу. (2) (Р1 Л а1Р1 В случае существования к о н е ч н о г о предела интеграл (2) называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.
функция, для которой интеграл (2) сходится, называется интегрируемой (в несобственном смысле) в области (Р). В случае положительной функции 1(х, у) достаточно, рассмотрев какую-нибудь определенную последовательность удаляющихся в бесконечность кривых (Кг) (Кя)~ ' (Кл) н отсекаемых ими областей (Р1), (Ря), ..., (Р„),..., предположить существование конечной границы 1= аир Я ~ У(х, у) йх йу ~, л (ар 1 няобы отсюда уже вытекала сходимость интеграла (2; Действительно, какую бы область (Р') ни отделить кривой (К') от (Р), при достаточно большом и эта область целиком будет содержаться в (Р„), так что '~ (У"(х, у)йхйу(~ ~ У(х, у)йхйу 1т1 1Рл) 216 гл. ххь двойныв интвгвалы и, тем более, ( У) У ОЯ1 С другой стороны, по заданному я)0 можно найти такое и„ чтобы было ,1'(х, у) бх бу > 1 — я.
Фа,1 При достаточно большом )ся, в свою очередь, облзсть (Р') охватит (Р„), следовательно, и подавно ~ ~,г (х, у) Ых Ыу ) 1 — а. (4) 1Р) Неравенства (3) и (4) в совокупности доказывают, что число 1 удовлетворяет определению двойного интеграла. С помощью этого соображения легко доказывается теорема о сравнении интегралов, аналогичная теореме по 474. 1ьалее, если сохранить относительно функции 1(х, у) прежние предположения, то из сходилгости интеграла от ~ 1(х, у) ~, распространенного на неограниченную область (Р), вытекает сходциость подобного же интеграла длн функции 1(х, у), Лля доказательства этого рассмотрим две неотрицательные функции: !Лх у)1+У(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
