Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 36
Текст из файла (страница 36)
63 . Непосредственно к прямоугольнику ( Ь) = = [О, К; О, 2я] и к кругу (0) радиуса )с с центром в начале формулы ( 1 1), которая для этого случая принимает внд 0=Цгь(гбд, рп ь По сути дела мм дифференцируем интеграл (11) по области в точке (д, ч) !зйз!. 7 Г. м, Фиктенгьлмь т. гц так что абсолютная величина якобнана играет роль коэффициента искажения или коэффициента растяжения плоскости $т( (в данной ее точке) при преобразовании ее в плоскость ху. Это замечание указывает на глубокую аналогию между производной и якобианом [ср.
главу шестую!. 3~. Формула (11) показывает, что при безграничном уменьшении площади Ь также безгранично уменьшается и соответствующая ей плошадь 1). Отсюда уже легко установить, что преобразование областей, изученное в пь 603, обладает и следующим важным свойством: кривую (Л) с нлощадью нуль в области (а) оно аереводит в некоторую кривую (Е) в области (В), также ил(вещую площадь нуль. 4'.
Формула (11) выведена в предположении взаимно однозначного соответствия между областями (й) и (а), а также непрерывности функций (1), (2) и их частных производны(ь Однако на практике обычно приходится сталкиваться со случаями, когда эти предположения нарушаются в отдельных точках или вдоль отдельных кривых. Если упомянутые точки и кривые на обеих плоскостях могут быть заключены в произвольно малые по площади области ((1) и (3), то по выделении их формула уже становится применимой: 194 1607 Гл. хш.
двойные интвгРАлы применить нельзя. Но если выключить заштрихованные области (площади которых вместе с р и а стремятся к нулю), то к получающимся областям эту формулу применить можно; остается перейти к пределу. 607. Геометрический вывод. Формула (11) выведена нами с помощью хотя и простых, но формальных и не наглядных рассуждений. Мы считаем полезным привести другой вывод этой формулы, не вполне строгий, но зато совершенно прозрачный с геометрической стороны.
Этот вывод принадлежит М. В. Остроградскому. Рассмотрим снова преобразование плоскости Еп в плоскость ху, которое задается формулами (1). Выделим на плоскости Е«1 бесконечно а' ат Ф Рис. 68. малый прямоугольник П,П,ПАПА со сторонами Л и Ы~, параллельными осям Е и и (рис. 68, а). Изображением этого прямоугольника в плоскости. ху служит к р и вели пейн ы й четырехугольник Р,Р,РАРА (рис, 68, б); определим его площадь. Вершины прямоугольника имеют координаты П (Е «1) П (Е+ йЕ Ч), Па(Е+ Й, «~+сРЧ), П (Е, '6+с(«1); в таком случае соответствующие вершины криволинейного четырехугольника будут иметь такие координаты: Р, (х (Е, «1), у (Е, «1)), Р,(х(Е+с(Е, «1), у(Е+Л, я)), Ра (х (Е+ с(Е, «1 + ю(Ч), у (Е+ с(Е, «1+ с(Ч)), Ра(х(Е, «1+а«1), У(Е, «1+ И)) Если ограничиться членами первого порядка относительно Й, с(«1, то приближенно можно взять точки: Р (х, у), ° ~х+ д- (Е, у+ $ (Е), Ра (х+ р с(Е+ — а«, У+8-.аЕ+ ~ ач), РА (х+ — ~(«ь у+ — с(ч) ~ где х=х(Е, я), у=у(Е, и) и, вообще, все производные вычислены в точке (Е, я).
Так как проекции отрезков Р,РА и Р«РА на обе осн а а. зьмзнл пвгаманных в двойном ннтвггьлв 195 соответственно равны, то отрезки эти равны и параллельны, так что (с точностью до малых высшего порядка) четырехугольник РаллРь есть параллелограмм. Его площадь равна удвоенной площади треугольника Р,Р,Р, Из аналитической же геометрии иавестно, что удвоенная площаль треугольника, вершины которого находятся в точках (хи У,),(ха, Уа), (хь уа), равна абсолютной величине определителя х,— х, х,— х, Уа — Уа Уа — Уа Применяя эту формулу к нашему случаю, получим, что искомая плошаль (снова — с точностью до малых высшего порядка) равна абсо.лютной величине определителя 0(х, у) аа й'Ч.
Итак, площ. Р,ллРь='1 ' ) ~а%йЧ. . 11г(х, у) Разлагая фигуру (Ь) на плоскости аз прямыми, параллельными осям, на бесконечно малые прямоугольники (и пренебрегая «неправильными» элементами у контура), мы одновременно разложим и фигуру (Р) на плоскости,ху на криволинейные четырехугольники рассмотренного вида. Суммируя полученные выражения для площадей их, вновь приходим к формуле (11).
Приведенное рассуждение, таким образом, подчеркивает важную геометрическую идею: сущность формулы (11) состоит в том, что для определения площади фигуры (О) вта фигура разлагается не на У прямоугольные, а на криволинейные элементы с помощью сетки координатных линна В некоторых простых случаях эта идея позволяет находить выражение йг «элемента площади» в криволинейных координатах почти без вычислений. Например, в случае перехода к полярным координатам можно рас- ,а суждать так. Элементарному прямо- Рис.
69. угольнику со сторонами аг и йВ в плоскости гВ на плоскости ху отвечает фугура„ ограниченная дугами окружностей радиусов г и г +йг и двумя лучами, исходящими нз начала под углами В и В +йВ к оси х (рис. 69). Принимая при- 7' 190 [000 гл. хун двойныв интнгвдлы ближенно эту фигуру за прямоугольник со сторонами с(г и г с(0, сразу получаем искомое выражение гдгЫ0 элемента площади. 008.
Примеры, Вычислить площади фигур, ограниченных кривымит (а) (х'+у')' = 2а' (х' — у') (лемниската), (б) (х'+у')'=2ах', (в) (х'+у')' = а' (х'+у'). Рвшзнив. Наличие двучлена х'+у' во всех случаях наталкивает на мысль перейти к полярным координатам, полагая х=гсоз6, у=гнпз и вычисляя искомую площадь по формуле Р = Гт)ГГ лГ 00. (ю (!4) Рис. 70. оио не меняет вида при замене хна — х илиу на — у). Поэтому достаточно определить площадь части (Р) фигуры, содержащейся в первом координатном гле, а затем учетверить ее. олярным уравнением лемнискаты служит г' = 2а' с~к 26, причем (если ограничиться первым координатным углом) 6 надлежит изменять лишь от 0 до — ввиду того, что соз26 должен быть положительным.
Таким образом, область (й) на плоскости г6, отвечающая (Р), ограничена кривой г = л)Г 2 соз 26 (образ лемнискаты), отрезком оси г (который отвечает отрезку оси х) и отрез- (а) Вид лемнискаты над знаком (рнс. 70). Кривая симметрична относительно координатных осей (зто легко усмотреть и из уравнения кривой, ибо В В. замена переменных в двойном ннтегэаде 197 я ком оси 6 от 6=0 до 6= — (образ одной лишь начальной точки — с нару- 4 шепнем взаимной однозначности соответствия) ". Имеем «т тс«вы а' Р = 1 ФВ 1 г втг = ав 1 соз 2В аб = —, так что вся искомая площадь есть 2ав.
(б) Полезно наперед составить себе общее представление о виде кривой. Крквая симметрична относительно оси х (уравнение не меняется от замены у на — у), расположена вправо от осиу (х неможет быть отрицательным); пересекает ось х при х=О и х=2а. К тому же кривая ограничена: из самого уравнения ясно, что х' (2«хв, так что х~2а, а так как и ув~2ахв, то и )у! (2«. Эскиз кривой дан на Рис. 71. рис. 71. Полярное уравнение кривой будет: г=2а сщв В, где 6 изменяется от— 2 я до —. Ввиду симметрии можно написать 2' в в 2 2« сова В 2 Р=2 ~ Ю ~ гсВг=4«в ~ соав646= — «ав 5 8 о Ь ь (в) Кривая симметрична относительно обеих осей. Хотя начальнзя точка х=у=О формально спринадлежитв кривой, нбо удовлетворяет уравнению, но эта точка является изолированной; действительно, прн х»у»0 легко получаем из уравнения кривой (2хв)в»2«'хв, откуда х» —, так что вблизи начала точек кривой нет "в.
Исключим начало из рассмотрения. Летйо видеть, что кривая ограничена: при х» у, очевидно, х' ( 2а хв, х' < 2«' и т. д. Кривая имеет примерно вид, изображенный на рнс. 72. «См, по этому поводу замечание 4' в и' 406. ««В этом, разумеется, можно было бы убедиться и с помощью критерия и 236. 198 Гл. хчк днойныи интиггалы Полярное уравнение кривой: г' = а' (ссм' О+ а!п' 6).
Учитывая симметрию, имеем Э атс »В+»1»»В 3 О=4~ 30 $ гй =2а»~ (соз'О+яп'0)30= 0 3 = 4а' яп» 0 ав = — яа'. 4 2) Показать, что формула(14) непосредственно приводит к уже известной формуле для вычисления площади сектора в полярных координатах 1333)1 И=,";,6, 1 2 ) а +Г ху »» с. =х'+у', х' с»' х'у с' ' рвшвник. Втех случаях, когда в уравнении кривой фигух' у' рирует двучлен †, + †,,реномендуется вводить собобщенные» полярные координаты, которые с декартовыми связаны формулами э =аг О, у=Ьгэ(ив. Рис.
72. Геометрический смысл этого преобразования сводится к сжатию плоскости к координатным осям с последующим переходом к полярным координатам. Якобиан преобразования равен а0г. (а) Кривая ограничена; симметрична относительно начала (ибо ее,.уравнение не изменяет вида йри о д н о в р е м е н н о й занене х на — х и у на — у); две симметричные петли лежат одна в первом координатном угле, а другая — в третьем (ху ~ 0); начало есть единственная точка пересечения с осями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
