Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Действительно, если бы упомянутая функция и (х, у), не сводясь к постоянной, достигала, скажем, наибольшего своего значейня во в н у т р е н н е й точке (х„у,), то легко бы было бы придти к противоречию с формулой (7). Теперь мы может усилить и результат в 5), предположив, что функция и непрерывна в замкнутой области (!)) и гармонична лишь в ну т р и области. И здесь достаточно установить, что функция и тождественно равна О, если обращается в нуль на контуре. А это вытекает из того соображения, что в противном случае она достигла бы своего наиболыпего или наименьшего значения внутри области вопреки сделанному выше замечанию.
182 ГЛ. Хчк ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ й 4, Замена переменных в двойном интеграле 603. Преобразование плосынх областей, Предположнм, что нам даны две плоскости, отнесенные одна — к прямоугольным осям х ну, а другая — к таким же осям 1 и Т1. Рассмотрим в этих плоскостях две замкнутые области: область (О) на плоскости ху и область (Ь) на плоскости 1~.
Каждая из этих областей может быть и неограниченной, в частности может охватывать и всю плоскость. Контур или границу области (если область не охватывает всей плоскости) мы будем предполагать простой кусочно-гладкой кривой; обозначим его символом (8) для области (О) и символом (Е) для области (а) (рнс. 61). Рис. 61. Допустим, что в области (Ь) дана система непрерывных функций: х=х(1, 4), У=у(1 1) (1) которая каждой точке (1, т1) области (Ь) относит одну определенную точку (х, у) области (О), причем ни одна точка (х, у) нз (О) не будет пропущена, так что каждая такая точка отнесена хоть одной точке (1, т1) из (Ь).
Если различным точкам (ч, и) отвечают различ- ные же точки (х, у) (что мы впредь и будем предполагать), так что каждая точка (х, у) отнесена лишь одной точке (В, Т1), то формулы (1) однозначно разрешимы относительно 1 и ~. Переменные с, и в свою очередь являются одноапачными функцнями от х; у в области (О). 1=6(х, у), (1а) Т1=ч1(х, у). Таким обрааом, между областями (О) и (Ь) устанавливается взаимно однозначное илн одно-однозначное соответствие. Говорят также, что фор- мулы (1) осуществляют преобразование области (Ь) в область (О), а формулы (1а) дают обратнов преобразование области (О) в об- ласть (Ь).
Если названные области заполняют соответствующие плоскости, то мы имеем дело с преобразованием одной плоскости в другую. Наконец, если обе плоскости совпадают, т. е. если точки (х, у) и ($, т)) рассматриваются как точки одной и той же плоскости, то налицо преобразование плоскости в салгое себя. Мы будем предполагать, далее, что фунюпги (1) и (1а) не только непрерывны, но и имеют непрерывные частные производные(первого порядка).
Тогда, как известно (п' 203, (4)1, Р(х, у) Р(6, 1) Р(Е, Ч) Р(х, у) так что оба функциональных определителя отличны от нуля и, по непрерывности, сохраняют постоянный знак. Ив того факта, что определитель дх дх а~ дч ду ду дс д1 Р(х, у) Р(1, ч) = (2) отличен от нуля в области (Ь), уже следует, что внутренней точке ($м тм) области (Ь) отвечает в силу формул (1) внутренняя же точка (хм уа) области (Р), ибо — по теореме о существовании неявных функций (п' 2081 — этими формулами в целой окрестности точки (х„у,) переменные 6 и т) определяются как однозначные функции от х и у. Аналогично, в н у т р е н н е й точке области (Р) отвечает всегда внутренняя точка области (Л). Отсюда уже ясно, что точкам контура (1,) отвечают именно точки контура (Я), и обратно.
Если взять в области (Ь) простую кусочно-гладкую кривую (Л), то с помощью преобразования (1) она перейдет в подобную же кривую Я в области (Р). )(ействительно, пусть уравнения кривой (Л) булуг: $=$(1), и= 4(1) (а~г~р или а)(~р), (з) причем (ограничиваясь г л ад к им куском кривой) можно функции $(г), т)(1) считать имеющими непрерывные производные не обращающиеся одновременно в нуль.
Подставляя эти функции в формулы преобразования (1), мы получим параметрические уравнения соответствующей кривой (Е): х=х(ч(г), т)(г))=х(г), у=у(е(г), 4(г)) у(1). (4) Легко. видеть, что эти функции также имеют непрерывные производные: х'(1)= — Г(1)+ — 4 (С), у'(1)= — Г(()+Д'4'(Ф), (б) 9)3) ад. замена пвввмвнных в двойном интвггалв 1аз 184 гл.
хщ. двойные интегеллы которые к тому же не могут одновременно обратиться в нуль, так что особых точек на кривой (т'.) нет. Действительно, в противном случае, ввиду неравенства нулю определителя ' , из (б) следо- О(х, у) О(Е ч) ' зало бы, что одновременно с'= 0 и я"' — О, что невозможно. Если точка (с, т1) на плоскости (т1 описывает з а и к н у т ы й к о н т у р (Л), скажем, в положительном направлении, то соответствующая точка (х, у) опишет также некоторый замкнутый же контур (т.) на плоскости ху, но направление его может оказаться как положительным, так и отрицательным.
Вопрос этот зависит, как мы увидим ниже [606, 1'), от знака якобиана (2). Задание пары значений переменных с и т1 из области (Ь) однозначно определяет некоторую точку в области (О) на плоскости ху (и обратно). Это дает основание и числа с, т, называть координатами елочек области (О). По сути дела, уравнения (1)* дают нам параметрическое представление плоской фигуры (О), являющееся частным случаем параметрического представления поверхностей, о котором уже была речь [228). Как и там, кривую, составленную из точек области (О), у которых одна из координат сохраняет постоянное значение, называют координатной линией Например, полагая в (1) т1=т1ь, мы получим пар яме три ч еское представление координатной линии: х=х6 Ъ), у=у6 тв) (роль параметра здесь играет $). Неявное уравнение той же линии получим, полагая т1=ть во втором из уравнений (1а): т1(х, У)=чь.
В связи с тем, что координатные линии, вообще говоря, будут к р и в ы и и, числа с, ть характеризующие положение точки на плоскости ху, и в этом случае (как и в случае кривой поверхности) называют криволинейными координатами точки. Придавая координате т1 различные (возможные для нее) постоянные значения, мы получим целое семейство координатных линий на плоскости ху. Фиксируя значение координаты 1, мы получим другое семейство координатных линий..При наличии взаимно однозначного соответствия между рассматриваемыми облзстями различные линии одного и того же семейства не пересекаются между собой, и через любую точку области (О) проходит по одной линии из каждого семейства. Вся сетка координатных линий на плоскости ху является изображением сетки прямых с=соней и т1= соней на плоскости ~т1(рис.
61). 604. Примеры. 1) Простейшим и важнейшим примером криволинейных координат являются полярные координаты г, З. Они имеют наглядное геомет- ь Если присоединить к мим еще уравяенне в=0. еи1 0 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДппйНОМ ИНТЕГРАЛЕ 185 рическое истолкование, как полярный радиус-вектор и полярный угол, но могут быть введены и формально, с помощью известных соотношений: х=гсоэз, ~ (Г~О).
у =г а(п 0 Если значения г и 0 откладывать по двум взаим|4о перпендикулярным осям, считая, акажем, г — абсциссой, а 0 — ординатой (при правой ориентации осей), то каждой точке полуплоскости г ~ О по указанным формулам отвечает о д и а У определенная точка на плоскости ху. Читателю наверное приходилось иметь дело с относящимися к этому случаю координатными линиями: прямым г = сонэк отвечают круги радиуса г с центром в начале, а прямым 0 = сонат.
отвечают лучи, исходящие из начала под углом 0 к оси х (рис. 62). П х Однако в даннои случае формулы преобразования, вообще, не будут однозначно разрешимы: изменение величины угла 0 на 20я (где д — целое) не отразится ва значениях х и у. Для того чтобы получить все точки плоскости ху, достаточно огрзничиться значениями г О, 0<0 <2я, Рис. 62. Каждой точке (х, у), отличной от начала, отвечает одно значение г ) О и одно значение 0 в указанных пределах. Но неустранимое нарушение однозначности соответствия связано с началом координат: точке х =у= О отвечает на плоскости гз вся ось 0 (или, если угодно, отрезок ее от В =О до 0 =2ч), Рассмотрим на плоскости гз замкнутый прямоугольник (О, )с; О, 2я) илн чару (рис.
63); легко видеть, что на плоскости ху ему отвечает замкнутый круг, описанный вокруг начала В О радиусом )с = ОА. Но весь ко4пур этого круга отвечает у одной лишь стороне аВ упомяу нутого прямоугольника; сторо- нам оа и 01 (обеим)) отвечает А один и тот же радиус ОА круга; х наконец, всей стороне ау ответу част лишь точка О. Здесь явно не соблюдены указанные в пре- Р дыдущем п условия! ла а г Однако если сдвинуть сторону ау на малую величину Р = 44', а сторону ТВ на а = ВВ', то новому прямоугольнику ыар'т' буде~ отвечать на плоскости ху фигура О'АВ'С', полученная из круга удалением малого круга радиуса р и сектора с центральным углом а, с соблюдением уже всех требований. При перемещении точки на плоскости гз по отрезкам ар', В'тй 1'а', а'а соответствующая точка на плоскости ху опишет по порядку нейолную окружность АВ' (радиуса Р), отрезок В С',непоаную окружность С О' (радиуса р) и отрезок О'А.
Заметим попутно, что положительному обходу на плоскости гз отвечает положительный же обход на плоскости ху, Якоб пан в хлнмож случае равен Р (х, у) ) с4м  — г а|п В ~ Э(г, 0) 1юпВ г сов э ом солрзияех (если мскзючмхь начало) шьазжмлепьный знак. гл. хтд двойные ннтегвдлы 2) Рассмотрим преобразование плоскости в самое себя, определяемое формулами Е х=, „у= —, (Е и ч не равны одновременно нулю). Если совместить оси х и Е, у и ть то преобразование это имеет наглядное геометрическое истолкование.
Так как 1 х у +У =Ео+ оо то ясно, что соответствующие точки лежат всегда на одном луче из начала, причем их расстояния от начала в произведении дают единицу. Рис. 64. Преобразование это называется инверсией. Оно однозначно обратимо: х у х'+у' ' ~ х'-1-у' (снова х н у. не равны одновременно нулю). Координатными линиями будут окружности, проходящие через начало: х -1-у — — х=О, х +у — — У=О, о о 1 о о Ео чо (ЕоФ~) .(,.ФО) центры которых лежат, соответственно, иа осях х и у (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
