Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 30
Текст из файла (страница 30)
1 Рвш кннк. По формуле (6) у=) Ых) '$Г4х' — у'лу; внутренний интео о грал равен у !у х г)/3 я1 'г' 4х' — у' ау = -"- У'4х' — у'+ 2х' ассмо —. ~ = ( — + — ) х'> 2 2х (у=о (, 2 3) о 1 /г'3 н окончательно 1= — ( — + — ). 3(, 2 3)' Можно было бы вести вычисления н по формуле (6*), но в этом случае мы натолкнулнсь бы на более т р удн ы е кв адр а т у р ы. Подобное обстоятельство также следует учитывать прн выборе пути для вычнслення. В связн с трудностями, которые иной раз представляет расстановка пределов интегрирования в случае криволинейной областн, полезны следующне упражнения: 7) Переменить порядок ннтегрнровання в повторном ннтеграле [по формуле (9)): 4 Вх 1 з-ь г т — бу — уа (а) ~а'х ~ у(х, у)ау, (б) 1 ыу ~ у(х, у)ых, 3 — т "7 — бу — уа 1 3» тз — уа (в) ~Ых ( у(х, у)а~у, (г) ~лу ~ у(х, у)Ых, зх о считая У(х, у) непрерывной функцией, (а) Р к ш вняв. Область интегрирования определяется совместными неравенствами: 0 ( х ( 4, Зх' ~у ( 12х.
Отсюда прежде всего ясно, что крайними знамениями у будут 0 н 48. решая же последнне неравенства относительно х, прн фнкснрованном у найдем, ./у* что х меняется от —,у ло 1гг ВЗ р' 3 в Оба этн числа не выходят за пределы промежутка 10, 411 з д вычиснвнив двойного интвгвлла Еще проще усмотреть этот результат нэ рнс. 46, где изображена область, ограниченная прямой у= 12х и параболой У=Зх', которые пересекаются в точках с абсциссами О и 4. Отметим, что по оси х взят другой масштаб, чем по оси у. 48 1 8 Огллею. ~ 4(у )г фх. о У ю (б) У к л з а н и а.
Область интегрирования ограничена окружностью Я (х — 2)'+ (у+ 3)" =4'. 8 — 8+т'18+4х — ха ' Омвею. ) 41х ~ У4ГУ. -3 — У12+4х — ха (в) Р к ш е н и в. Область интегрирования определяется совместными неравенствами: О ~ х ( 1, 2х щу ( Зх, Рис. 46. откуда выясняются крайние значения для у: О и 3. Решая последние неравенства, видим, что — (х~ —. Но для у)2 У У предел — уже выходит из промежутка [О, 1], которым во всяком случае у ограничено изменение х. Следовательно, при О (у (2 переменная х изменяется от — до —, а при 2 ~У~3 — от — до 1. У У У 3 2' 3 Значительно проще этот результат получается геометрически, если сообразить, что область интегрирования есть треугольник, ограниченный прямыми у= Зх, у= 2х и х= 1 (сделать чертеж!).
Оювель Получзем сумму двух повторных интегралов: 1 з зУ 8 4(у ~ Ус4х+ [4)у ~ У4ух (Ср. 4) и 5) (в)). 1 л У з (г) Овеет. Получаем сумму трех повторных интегралов: [ ох ~ уеду+ ~ Фх(уеду+ ~ 4(х ~ уду. о о зги гл. хчт. двойные интегвллы 8) Записать,в виде одного повтормого интеграла выражение: 1 т а (а) ~иу )т у(х, у)йх+гт йу )г у(х, у)их, 1 Г ув в — ув в т з в ю-у (б) ~ Ну ~ У(х, у) их+ ~ Ыу ~ У(х, у) Фх.
Омвет. зтг з ю-» (а) ~йх ) Угу; (б) ~йх ~ Уйу. » (Рекомендуется во всех случаях делать чертежи.) 9) Показать, что употребительная формула интегрального исчисления Р = ) у (х) а'х, О выражающая плоШадь криволинейной трапеции, ограниченной осью х, ординатами х а, х=Ь и кривою у=у(х) (где у'Э О), является следствием очевидного равенства Р= г) ~ йх ау.
(Р1 У к а з а н и в. Воспользоваться формулой (6). 1О) Установить формулу ь ь ( Фх (У(х, у) Ыу= ( ау (у'(х, у) Нх, (1О) О у а а Рис. 47. где У(х, у) есть произвольная функпия, непрерывная в треугольнике (Л), ограниченном прямыми у=а, х=й„у=х. Указании. См.
Рис. 47; воспользоваться формулой (9), т. е. приравнять оба повторных интеграла, к которым приводится двойной интеграл по области (Л). Доказанная формула обычно связывается с именем Д и р и х л е; она имеет различные приложения, особенно — в теории так называемых йнюегральных уравнений Воль те р р а (О. Чойевтэ). 11) С помошыо формулы (!О) легко доказать, что » (л » а, ~ (т,— с)» — у(г) а= ~ (х — т)» — у(г) лд 1 а — 1 а а в к вычисление двойного интеголлл Последовательное применение втой формулы приводит к результату: х !« — ! г! « а, ~ а„,... ~ у(т) бт= — „,, ~(х — ту- у(т)бт, 1 который выше [311, 13)) был установлен другим путем. 12) Вычислить интеграл у= ) ) ху 'уч '!тхау, «шо,у о х+у ! в предположении, что р~ ! и о)1'.
Имеем по формуле (3) ! ! — х ! у= ху-! !тх уч-! !ту = — ху ' (1 — х)ч !гх = В (р, д + 1). 1 Г 1 ч 3) Окончательно, Г(р) Г(о) .1 хл-|У -! ИхаУ=Г(р+Ч+!). о,у о х+у» ! Эта формула принадлежит Ди р и л л е. 13) Аналогично вычисляется б о л е е о б щи й интеграа у*= 1 ) хл 'уч-'(1 — х — у)"-! г(хо!у, хшб, ужо х+уЫ в предположении, что р ) 1, о ) 1, г «1 «. Сначала, как и выше, ! т-« 1= ~ хл ' г(х ~ уч ' (1 — х — у)' ' бу.
Затем внутренний интеграл преобразуем подстановкой у=(1 — х) г в ре- зультате! ! ! у=~ ху ! (1 — х)ч+ ' о!х ~~ч (1 — г)г ! !тс =во,д~. )в!И, ! Г (р) Г (4) Г (г) 14) Вычислить интеграл, представляющий дальнейшее обобщение предыдущего: (' хл 'уч '(1 — х — у)' ' !(х!Чу (ох + ву + 7)У+от« «шо, уэ«о х+у ! (где а, Р~О, 7)0 и, кроме того, р~ 1, о ~1, г~1).
в Это ограничение мы устанавливаем здесь лишь для того, чтобы избегнуть обращения подинтегральной функции в бесконечность; впоследствии (617, 14)) оно будет ослаблено. гл. хтп двойные интеггллы Переходя к повторному интегралу, получаем 1 ! — л гТ= ~х~ 'ях У ( У~ Иу, (ах + агу + Т)л~ ~+г о а затем, после подстановки у=(1 — х)й изменяем пор ядо к интегрирований: Для вычисления внутреннего интеграла воспользуемся уже известным ре.
зультатом ]534, 2)]. Тогда ! Г(р)Г(у-]-г) 1 [' тч '(1 — г) Г (р+ р -]- г) (а -]- т)л ] (РГ 1 т)чег д и, снова прибегая к тому же результату, окончательно: Г(р)Г(д+г) 1 Г(д)Г(г) Г(р+я+г) (а+1) Г(~)+«) (р+Т)чт" Г (р) Г (о) Г (г) 1 Г (р + а + Г.) (а + Т)Л (Е + 1)т Т~ ' 15) Пусть функпии у(х, у), п(х, у) непрерывны в ограниченной замкнутой области (В), причем наименьшее и наибольшее значения функции и пусть будут ш и М; пусть а(и) означает функцию, непрерывную для ю~ «=и=-М. Обозначим через ф(и) интеграл У(х, у) ахг(у, мшлши распространенный на ту часть области (0), в которой выполняется указанное внизу неравенство а.
Тогда имеет место формула Кптплана (Е. Сага!ап) м ,г (х, у) у (и (х, у)) ах Ну = ~ у (и) дф (и), юшл ИВ где интеграл справа понимается в смысле С т и л т ь е с а. Так как непрерывную функцию У всегда можно рассматривать как разность двух положительных непрерывных функций, то при доказательстве втой формулы мы можем просто считать функцию Г положительной. Разложив произвольно промежуток ]ю, М] на части: ш = и, < и, « ... и; < игы « ...
и„= М, "Мы предполагаем, что уравнение п(х, у)=и выражает замкнутую кривую, так что упоминаемзя в тексте часть области ограничена двумя такими кривыми. 16! з х вычисления двойного интегвллл соответственно этому разложим и предложенный интеграл (обозначим его через !): л — ! л — ! у= ~я~~ г) )г у.р(К)!(хоу= ~ у(н((ге, Чу)) )г ) у(х, у) г(х Лу. г=-о я! 'л «гы г=о "г-л ягы )иы воспользовались здесь обобщенной теоремой о среднем значении; ($г, че) есть некоторая точка области, где и; » я» я!го так что, полагая 6((гя, Че) =я;", будем иметь и!»иа»и!но Йтак, окойчательно, «вЂ ! у= Х т (ач) [Ф (я!ты) — Ф (а!)). г-о В сумме справа узнаем сумму Стилтьеса. Переходя к пределу при п!ах ди! О, установим требуемый результат! у= (з) ) т (и) ггф (а).
т Если дчя функции ф(и) существует непрерывная (или хотя бы абсолютно интегрируемая) производная ф'(и), то интеграл С т и л т ь е с а заменяется обыкновенным: !'= '1 т (и) ф' (и) аи. 16) Для примера покажем, как по методу К а талана, из элементарной формулы Ди р их ле [см.
12)[ может быть выведена более общая формула, принадлежащая Л и у виллю (А 1.юяш!1е). Возьмем, в частности, у(х, у)=ху 'уч ', н(х, у)=х+у, а за область (Р) выберем треугольник х~о, у~о, х+у»1. Тогда по формуле Дирихле при О»и»1 ф (и)= г) )г ху 'уч ! !у«ау=ил+ч )г ~ ху гуч-! Дх!ту= «Ж у~о «'»О, ужо «+У « «+у 1 Г(Р) Г(О) Е(р + + 1) нл и, воспользовавшись преобразованием Ката лана, будем иметь .- (*!- ! -,'ы*"', ~~(ч" Г(р -[- ~ -[- 1) «~о, у=о «ч-у-! ! Т (р) Т (а) ( = х( +ч) ) 7(") о Это и есть формула Лиул иллн.
17) Найти объем тела, ограниченного (а) плоскостями х=о, у=о, л=о, цилиндром ха+у!=!с' и гиперболическим параболоидом л=ху (в первом октанте); 6 Г, аг. Фвлтчвгольц, т. Вн гл. хчи двойнын инткп лды (бйу (б) плоскостями х=О, = х'+у+ 1; (в) плоскостями у=1, болондом г=х'+У ' (г) плоскостями у = О, х' з' о+ з а' у=О, я=О, х+2у=! и поверхностью заа е=О, параболическим цилиндром у=х' и пара- Ь з=О, у= — х н эллиптическим цилиндром а о .(а~-~ Ь 1 3 ! — эу <г! г=(а ~ [*ч-„!-Пю — —,; 1 о 1 1 88 (в) У= ~ ах ~ (х'+у') оу = —; -! ха ь а ах С с —,, аЬс (.) 1 = 1 Ух ~ — ~' а 3 ' о — т ао -хз ь а Ол!оею.
(а) У= ) !Ух — а ь — — та~- ха а (Хх + ну + Ь) йу = аЬЬ = РЬ, Рис. 48. (если Р есть площадь эллипса; результат геометрически очевиден); х тгФ вЂ” го г ага б) У= — !ту у' !ух= — у' 3~ г' — у' !(у= —; 4а 1 о аа с ях !а! э д (в) У= ~ !ух 1 — !(у=па!п О 1п —. ,)ху р г' аа 18) То же для тела, ограниченного; х' у' (а) зллиптическим цилиндром †, + †, = 1 и плоскостями я=О и г= И аж Хх + ну+ й (Ь ) 0); (б) цилиндрами аз=у', х'+у'=г' и плоскостью з=О; (в) частью поверхности хув = а', вырезанной нз нее плоскостями з=р, э=~у (0(р< -с у), х=г, х=з (Осг сз), проекцией этой частй на плоскость ху и проектирующим ци,линдром.
188 з з, вычисление двойного интегвалл 19) Найти объем И тела, вырезанного цилиндром х'+у'=2нх из параболонда врашения у'+ л'=4ах. Рв шв низ. Имеем: за тгзях-лг И=4 ~ г(х ~ )г 4ах — у'г(у. Полагая Ь'=4ах в известной формуле Ь' ргЬ' — у' гГу = — агсз(п — + — Ь'Ь' — у', 2 Ь 2 вычислим первообразную функцию))г 4ах — у', а с ее помощью найдем внутренний интеграл: тгз ы~ — лг рг4ох — у агу = 2ах агсип — — — + — р' 4о — х ° г 1 х х 2 4а 2 Путем интегрирования по частим получим далее: за та 1хаГх' 2н ~ х агсап —,— — ггх=— гтх 4а 2 ~ у" 4а' — х' о = — 12а' згсип — — — т '4ат — х'1 ~ Наконец, ~ х Ьг4аз хаагх аг 1г' 4 2) 3 о К=4 ( — — + — аа) = аг(2я+ — ) 20) Найти объем )г тела, вырезанного цилиндром х'+у'= ггх из сферы х'+у'+л'=Яз (рис. 48) *. Ряшки и к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
