Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Сближая точки леления, будем иметь К(хьь«) — К (хь) К (е + 0) — К (е — О)»- О. Кроме того, точку сь можно выбирать так, чтобы и разность у (сь) — у (е) была по абсолютной величине большей некоторого постоянного положительного числа.
Тогда разность а — е не стремится к О, так что интеграл существовать не может. Если же К(с — 0)=К(с+0), но их общее значение отлично от К(с) [«устранимый разрыв»[и, то, наоборот, включим е в число точек деления; пусть с=ха. Если у(х) имеет, например, разрыв в точке х=е справ а, то, как и только что, составим две суммы а и ч, разнящиеся лишь выбором сь. в Сюда относится и случай, когда либо с=а и К(а+0) отлично от К(а), либо с=Ь и К(Ь вЂ” 0) отлично от К(Ь).
для а точка 1ь взята произвольно м е ж д у хь = с и хье„ а для 5 в качестве Еь взята с. Попрежнему имеем (29), и рассуждение завершается аналогично. Упражнения 3) и 4) проливают свет на тот замечательный факт, о котором говорилось в конце и' 576. 5) Пусть у(х) непрерывна, а е (х) имеет ограниченное изменение в промежутке [а, Ь). Опираясь на оценку (25), доказать непрерыеяосвь интеграла С т и л- тьеса у( )=[у(с) д~(г) а по переменному верхнему пределу х э точке х„где функция е(х) непрерывка.
Заключение сразу вытекает из неравенства хо+ ьх [1(хе+ Ах) — )(хс) (= ( $ Г" дд! ( тпах Г(х) ° Д д(х), а вквь если принять во внимание, что в точке х, должна быть непрерывна н вариация1[( я(х) [571, 9'[. а 6) Если 5 есть класс непрерывных в промежутке [а, Ь[ функций, а 61— нласс функций с ограниченным изменением в этом промежутке, то, как известно, каждая функция одного класса интегрируема по каждой функции другого класса. Доказать.
чво ни один, яи другой из этих классов яе мазаев быть расширен с сохранением упомянутого сеойсвэа. Это, ввиду 4), почти очевидно относительно класса й. Действительно, если функция у(х) имеет точку разрыва х„то она заведомо не интегрируема, например, по функции с ограниченным изменением Р(х — х,) [573), имеющей ту же точку разрыва. Пусть теперь е(х) в промежутке [а, Ь[ имеет б е с к о н е ч н о е полное изменение; в этом предположении построим такую непрерывную функцию У(х), для которой интеграл (30) не существует. Если разделить промежуток [а, Ь[ пополам, то хоть в одной из половин полное изменение функции я(х) тоже будет бесконечно; разделим эту половину снова пополам и т.
д. По этому методу определится некоторая точна с, в каждой о к р е ст ноет и которой а(х) не имеет ограниченного изменения. Для простоты пусть с=Ь. В таком случае легко построить последовательность возрастающих и стремящихся к Ь значений х = а„: а=аь(ас(...(ая(апет(...(ая Ь, так, чтобы ряд [ Е(агы) — я(а;) [ с=о р а сходился. Для этого ряда затем можно подобрать такую последовательность стрем ящихся к О чисел Ге~О (1=1, 2, 3,.,)> чтобы и ряд ~ Л ! 5(ас+ ) — й (аг)[ 1 о (31) 1!8 ГЛ, ХЧ, КРИВОЛИНЕВНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА [58Ф э а. интеГРАл стилтьесА ПО все же расходился [ср. 375, 4) и 7)]. Теперь определим функцн!о у(х), полагая $(а!)=у;э13п [й(а!„) — 8(а!)]э (1=0, 1, 2, ...), г (Ь)=0, а в промежутках (ас, а;+,) считая Д(х) линей ной: у(х)=У(а!)+ г+' ' (х — а!) (1=О, 1, 2, ...). а!е, — а! Очевидно, у(х) будет непрерывна. В то же время, ввиду расходимости ряда (31), ири и — оэ и и — 1 л — ! ап — — ~ у(а!) [Л(аеы) — д(а!)] = ~ уе! 8(ае+,) — п(а!) [ + оо, с-о !=о так что интеграл от Г по и действительно не существует.
Доказанное утверждение можно сформулировать и так: если интеграл Стилтьеса (30) для данной фунхции У существует по любой я из 01, то у необходимо принадлежит !тг аналогично, если этот интеграл по данной Функции й существует для любой у иэ 6, то д необходимо при- надлежит !3, 7) В первой теореме о предельном переходе под знаком интеграла С ги лтьеса [583, 1 ] мы поставили требование, чтобы последовательность функций ( уп (х) ) стремилась к предельной функиии у (х) р а в н о м е р н о. Можно, однако, заменить это требование более общим условием, что эти функции ограничены в их совокупности: ]уп(х) ] (М (М = сопят, а ( х ( Ь, и = 1, 2, 3, ...) [Только при этом нужно еще наперед предположить непрерывность предельной функции У(х).] При доказательстве достаточно рассмотреть случай, когда и(х) возрастает в строгом смысле [см.
за меч ание в п' 570]. Но для этого случая можно воспользоваться преобразованием, проведенным в и' 578 [см. (10)]: Ь (а)$у~(х) ди(х) =(Н) $ уа(й-'(о)) йи, а тч ь (э)]у(х) да(х) =(н) ] К(а '(о)) йо а еч и, имен дело уже с римановыми интегралами, просто применить теорему Ар це па [526]. 3) Укажем, в заключение, другую трактовку понятия интеграла С т ил ть ес а, связав его с понятием адаптивной функции от промежутка [ср. 348].
Пусть для каждой части [а, Ь] данного промежутка [а, Ь] определено число П([а, Ь]), причем, если промежуток [а, 51 точкой 7 разложен на части [а, 7] н [7, р], то и сг'([а, Ь]) = П ([а, 7]) + сг([7, Ь]). Тогда 0([а, Р]) есть аддитивная функция от переменного иром е жутка [а, Ь]. Предположим, что кроме нее для промежутка [а, Ь] а Напомним, что э!Впх есть + 1, 0 или — 1 в зависимости от того, будет ли л )0,=0 или ( О.
Во всех случаях я а)йп л = ] л ]. задана и фу нк ни я точки у(х), Разложим теперь, как обычно, промежуток [а, Ь[ точками а ха(х~ (...(хл ! (хл Ь на части [х), хан[ (1=0, 1, ..., л — 1), в каждой части произвольно выберем по точке б! и, наконец, составим сумму и — 1 л= Я У(3!) 6 ([хь х; )[). !=о (32) Предел атойсуммыприА=вах(хы! — х!) Ои есть интеграл Стилтьеса, который естественно — учитывая процесс его построения — обозначить так: $у(х) 0(ах).
а (ЗЗ) Если определить вторую функцию точки д(х), положив д(х)=0([а, х[) для х)а, д(а)=0, то, ввиду а д д и т и в н о с т и функции )х, во всех случаях гт([а, 'Р[) =К (Р) — а(а), (34) так что сумма (32) сведется к обыкновенной стилтьесовой сумме л — 1 а= ~ ~у(ч!) [Е(х)+,) — я(х!)[, ! =- О а прелел (33) — к обыкновенному интегралу С т и л т ь е с а а (ч) $ у(х) л)а(х).
а Обратно, если существует последний интеграл, то, определив функцию от промежутка равенством (34) (причем легко проверить, что она окажется алдитианой), можно свести обыкновенный интеграл С т и л т ь е с а к интегралу (ЗЗ). 686. Сведение криволинейного интеграла второго типа к интегралу Стнлтьеса. После того как читатель освоился с интегралом Стнлтьеса, полезно теперь вернуться к рассмотрению криволинейного интеграла второго тнпэ [546[: ~(х, у) г(х [или $ у (х, у) г(у1. )Ав) !АВ) (35) Представим себе, что кривая (АВ) задана параметрически уравнех=р(Г)* у=ф(1) и описывается именно в направлении от А к В, когда М монотонно изменяется от а до р. Пусть для определенности а<" р.
Тогда точкач А! (1=0, 1,..., Л),взятым на кривой для образования интегральной суммы, будут отвечать возрастающие значения параметра Й и=!ас )а( ° ()гч .)ы( (г — р !20 Гл, хч, кРиВОлинейные интегРАлы, интегРАл стилтьесл [589 121 а ь. интеГРАл стилтьесь а выбранной на дуге АсА;+, точке Мс — значение 1=тс, 1; ( с, --1;„, (1=0, 1, ..., и — 1). Сама же интегральная сумма, например, для первого из интегралов, напишется в виде о = ~ч~~~(ср (тс), ф (с;)) ьу (1с). Непосредственно ясно, что она представляет собою стилтьесову сумму, так что криволинейный интеграл второго типа п о с а м о м у о п р е д е л е н и ю отождествляется с частным случаем интеграла Сти лтьес а: а ') У(х, у)йх=(з))Уй(1),ф(Т))йу(1). слв> й Аналогично и У(х, у)йу=(в) ~~(р(Е),ф(1))йф(1), слв1 й Отсюда с легкостью получаются очень общие условия существовзния криволинейного интеграла (35); достаточно предположить функцию г(х,у) непрерывной, а функцию су(1) ]или ф(1), смотря по случаю] имеющей ограниченное изменение ]675, 1 ].
В частности, если кривая АВ спрямляема [572], а функции Р(х, у) и О(х, у) непрерывны, то существует интеграл ] Рйх+Ойу=(РЬ(т), ф(1))йу(1)+~ Яй(1). ф(1))йф(1). <АВ1 й й Теперь, если учесть сказанное в 579 о вычислении интегралов Стилтьеса ]особенно, см. 2'], то можно наново получить формулы (4), (5) или (6) п' 547, и даже при более общих предположениях, чем раньше. Далее, легко обобщить теперь окончательный результат п' 561с площадь фигуры ()г), ограниченной непрерывной спрямляемой кривой, выражается любой из формул (9), (10) или (11) указанного п'. При этом ничего не придется менять в рассуждениях, ибо лемма п' 660 (и замечание к ней) непосредственно обобщается на случай с и р я м л я е и о й кривой; см.
также 572, заключительное замечание. Наконец, н вся теория независимости криволинейного интегралз от пути ]Ц 3] также непосредственно распространяется на случзй интегралов, взятых по любым спрямляемым путям. ГЛАВА ШЕСТНАДЦАТАЯ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 9 1. Определение и простейшие свойства двойного интеграла 686. Задача об объеме цилиндрического бруса. Наподобие того, как задача о плошади криволинейной трапеции привела нас к понятию простого определенного интеграла (294), аналогичная задача об объеме л цилиндрического бруса приведет нас к новому понятию — двойного (определенного) интеграла. Рассмотрим тело (Р), которое сверху ограничено поверхностью в=у(х, у), с боков — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси л, наконец, снизу — плоской фигурой (Р) на плоскости ху (рис. ЗЗ).
Требуется найти Ф объем )г тела '". Рис. 33. Для решения этой задачи мы прибег- нем к обычному в интегральном исчислении приему, состоящему в разложении искомой величины на элементарные части, приближенному подсчету каждой части, суммированию и последующему предельному переходу. С этой целью разложим область (Р) сетью кривых на части (Р,), (Р,), ..., (Р„) и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков, которые имеют своими основаниями эти частичные области и в совокупности .составляют данное тело.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
