Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Практически важны те случаи, когда (а) функция г (х) в точке хь непрерывна, либо (б) Д(х) имеет в этой точке с обеих сторон разве лишь разрывы первого рода (или скачки), так что оба предела У(хь+ О) и г'(хь — О) существуют. :Элгггми случаями мы впредь ограничимся и раз навсегда полагаем: в случае (а): Юь=,г'(хь), в случае (б): Ю =~( ' )+~( ' о= (084 434 гл.
хсх. аяды экоьи В различении случаев (а) и (б) нет надобности, если в точке х„ где налицо разрыв первого рода, выполняется равенство У(хо+ О) + У(х, — О) ~ (хо)= Имея это в виду, сформулируем теперь Признан Дини. ((3. !с1п!) Рнд Фур о е функс4исс ~'(х) в точке хо схоептсн к сумлсе 8о, если лрп некотором Ь~О пнтеарал л суя!ествует. )1ействительио, при этом предположении существует н интеграл ! т (с) ! „, с Если переписать выражение (8) в виде 1 2 — — — о!и (л+ — ) ! с!г, яп— о 2 то непосредственно по основной лемме ясно, что оно при н-ь со 1 — т 2 стремится к нулю, так как функция —, а с нею и т(О т (с) 1 нп — С 2 абсолютно интегрируема.
Этим и завершается доказательство. В развернутом виде интеграл Дини может быть написан в случае (а): !У(хо+С)+У(хо — С) — 2У(хо) ~,( ' ! У(хо + С).+У(х, — С) — У(хо+ О) — У(хе — О) в случае (б): ' ' С так: Точки, где это условие соблюдено, иногда называют регулярными. Отметим, что так как (а) !пп с (хо'+ !) =У(хо) нли (б) 1пп с (хо + !) =У(хо + О), с-+о с +о смотря по случаю, то при указанном выборе числа Юо всегда будет 1нп со(!)=О. (10) с -~о 684) а т.
газложвнив вгнкций в гяд ьгььв Очевидно, достаточно предположить существование п о р о з н ь интегралов (смотря по случаю) ~ о«(хо+ Г) ое(хо)! о ее ! у(хо Г) у(хо) ! о ь нля ~У(х +Г) — У(х +О)/ й( ~у(х,— Г) — у(х,— О)| йо Отсюда можно получить ряд частных признаков, используя различные известные признаки существования интегралов.
Например, ограничиваясь' случаем (а), укажем 1«ркзнак Лияиоица (11. О. 1лрьсЬИа). Ряд Фурье функции Ях) сходится в точке х„где она непрерывна, к сумме К(хе), если для достаточно малых 1 выиолняетея яеравенетво 1У(хо = 1) — ~(хо) ~ «. (У, где Е и а — положительные постоянные (а~1).
В случае и=1 имеем попросту у(хо -о- Г) — у(хо) ~ ! так что интегралы (11) существуют как собственные 14801. Если же и(1, то ! у(хо Г) — у(хо) ~» й и так как справа стоит интегрируемая функция, то интегралы (11) все же существуют, хотя бы как несобственные 1482).
В частности, условие Лип шица при а=1 заведомо будет выполнено, если для функции У(х) в точке хо существует конечная производная у'(хо) нли, по крайней мере, конечные односторонние производные У ( ) 1. о«(~о+ ) ©(~о) ге ( ) 1. ©(~о ~) — ©(~о) котя бы н различные между собой («угловая точкае). Таким образом, в точке х„где функция У(х) дифференцируема пли, по крайней мере, имеет обе конечные односторонние производные, ряд Фурье сходится, причем сумма его равна У(хь). Легко перефразировать признак Л и п ш и ц а и для случая (б).
Как частное следствие отсюда, укажем и здесь, что в точке х, 1686 ГЛ. Х!Х. РЯДЫ ФУРЬЕ 685. Вторая основная лемма. Для построения дальнейших признаков мы будем нуждаться еще в одном вспомогательном утверждении, впервые установленном Д и р и х л е: Если функция я«) монотонно возрастает, оставаясь ограниченной, в промежутке 10, (т), где 11,»0, то В '1 й«) — ра= — 2д(+о) о Док»з»тильство. Прежде всего, рассматриваемый интеграл может быть представлен в виде суммы двух интегралов: я(+ О) а-+ (и«) д(+ О)] а. Если первый из них с помощью подстановки р(=г преобразовать к виду р» я(+ 0) — аг, (1 З) * Функция У(х) называется кусочяо-дифференцируемой в промежутке (в, Ь], если этот промежуток разлагается на конечное число частичных промежутков, внутри которых функция дифференцируема, а на концах не только имеет предельные значения, но и односторонние производные, прн условии замены на этих концах значений функций упомянутыми предельными значениями.
Можно представить себе кусочно-дифференцируемую функцию как бы «склеенной» из нескольких функций, дифференцируемых (а следовательно, и непрерывных) з замкнутых частйчных промежутках с тем лишь, что в «точках стыка» (равно как и на концах а и Ь основного промежутка) ее значения устанавливаются особо. разрыва первого рода для сходамости ряда Фурье достаточно предположить существование конечных пределов: у(хь+Г) у(х«+О) у(х» — г) — у(х,— О) 1-+О причем на этот раз суммой ряда будет 2 Упомянутые пределы в некотором смысле уподобляются одностоРонним пРоизводным, лишь значение Г(хь) фУнкции в точке х,заменяется, соответственно, ее предельными значениями справа или слева от этой точки.
1-1аиболее часто на практике приходится иметь дело с функциями г(х), имеющими период 2к н дифференцируемыми или же кусочно-диффереицируемы ми.* Как видим, для таких функций ряд Фурье всегда сходится к самой функции у(х), за исключением «точек стыка» различных функций, где суммой ряда будет у(х,+О)+у(х, -О) 2 % 3.
РАЗЛОЖВНИВ ФУНКЦИЙ В РЯД ФУРЪВ то сразу ясно, что при р-Р+оо он стремится к — ° д(+0), ибо +// г 2' Таким образом, весь вопрос сводится к доказательству того, что второй из интегралов (13) стремится к нулю. По произвольно заданному а) 0 найдется такое В) О (можно считать В~А), что 0 = л (1) — д (+ 0) ч, а для О (1 ~ 3. Разобьем теперь упомянутый только что интеграл на два: а А К интегралу Е, применим формулу Бонне 1306); мы получим, что В ра 1,=(д(3) — д(+-О)) ~ "— "~~ /тг=(а(3) — д(+О)) ~ — ''/1ж ч рч Но первый множитель (а, а второй равномерно ограничен прн всех значениях р.
действительно, из сходимостн несобственного интегрзла — пл следует, что непрерывная (при л--0) функция от л а/и а а А имеющая при з-Р+со конечный предел, будет ограничена при всех значениях ьч Д вЂ” .//= /), так что (( — /* =() — ~ ~2/. Рч Итак, для интеграла /г имеем независимо от р оценку !11! <26 . (14) Что же касается интеграла 4, то прн р-ьсо (и фиксиро ванном 3) он стремится к нулю по лемме и'682, так как множитель при [666 гл.
х|х. гяды ьл'ьв а1п рГ есть интегрируемая в собственном смысле функция (ведь 1= В1). Этим и завершается доказательство. 686. Признак Дирихле — Жордвнв. Обратимся теперь к выводу нового признака сходимости рядов фурье, основанного на другой идее. Лризнак Дирахле — Жордана. Ряд Фурье функцгги У(х) в точке хэ сходится к сумме Я„если в некотором промежутке [хэ — Ь, хэ+Й] с центром в этой точке функция имеет ограниченное изменение.
Мы видели в п' 683, что поведение частичной суммы в„(хэ) при и -ь ео определяется поведением интеграла р„(3) [см. (7)], где за 6, в частности, можно взять и то число 1г, о котором была речь выше. Перепишем интеграл рл(1г) в виде рл (й) = — ~ У(хэ+ 1)+ге(хэ — Г)] ' йй э1п1 Е ь 2 д Сумма в квадратных скобках, по предположению, есть функция 1 — с 2 с ограниченным изменением; частное же — представляет собой воза!и— 2 растаюшую функцию.
Таким образом, и произведение их имеет ограниченное иамеиение и, следовательно, представляется в виде разности двух монотонно возрастающих функций. Поскольку лемма предыдущего п' приложима к каждой из них в отдельности, она приложима н к их разности, и мы сразу получаем, что !ипрл(1г) — — — [У(ха+ О)+У(хэ — О)] — У( л+ )+У( ' л со Этим все доказано, ибо в точке непрерывности полученное выражение само собою обращается в У(хэ). Нужно сказать, что первоначально сформулированные самим Д и р и х л е условия разложимости функции в ряд Ф у р ь е носили более частный характер.
Именно, он установил следующее предложение: Признак Дирихле. Если функция У(х) периода 2я кусочно- монотонна в промежутке [ — я, я] * и имеет в нем не более, чем конечное число точек разрыва, то ее ряд Ф у р ь е сходится ь Под этим разумеется возможность разложить промежуток [ — ч, ч] на конечное число частичных промежутков, внутри которых по отдельности функция монотонна. а х элзложзние охнкций в эяд ои ьв тс сумме г (хл) в каждой точке непрерывности и к сумме (х'+ )+У(х' — 0) в гсаждой точке разрыва.
2 С тех пор высказанные здесь условия известны под именем «условий Днрихле», Так как функция, удовлетворяющая этим условиям, очевидно, имеет ограниченное нзменение в любом конечном промежутке, то этот признак формзльно перекрывается предыдущим признаком. Иаложенных признаков вполне достаточно для удовлетворения практических потребностей знализа и его приложений. Другие предложенные признзкн представляют, главным образом, теоретический интерес; на нях мы не имеем возможности останавливаться. Коснемся в заключение вопроса о взаимоотношении признаков Ди ни н Дирихле — Жорда на. Можно показать, что они несравнимы ы между собой, т.
е. не вытекают один нз другого. Рассмотрим сначзла функцию У(х), которая в промежутке [ — я, к) опреде- ляется так е: У(х)= при х~О, 1 1и— 2ч г (0)=0. Эта функция непрерывна н кусочно-монотонна и, аначнт, удовлетворяет условиям Днрнхле. В то же время интеграл Дини, относящийся к точке х=О: | ~УК)+У( — т) — 2У(0) ~, )' ес ~ С!п— с 2я а о явно расходится прн любом Ь)0. С другой стороны, если в промежутке [ — в, я] определнть функцию равенствами *: У(х) =х соз —" прн х~О, 2х У(0) =О, то в точке х=О заведомо выполняется условие Лившица: [у(х) — у(О))((х(, а следовательно н условие Лини.
Однако на этот раз функция у(х)ни в какой окрестности точки х=О не имеет ограниченного изменения [667). * На остальную'часть числовой осн функция распространяется по закону периодичности: у(х+ 2ч) =У(х) 440 1487 гл. хпц яяды вг ьв 687. Случай непериодической функции. Вся построенная выше теория исходила из предположения, что заданная функция определена для всех вещественных значений х и притом имеет период 2~с. Между тем, чаше всего приходится иметь дело с н е п е р и о д ической функцией с(х), иной раз даже заданной только в промежутке ( — я, я). Чтобы иметь право применить к такой функции изложенную теорию, введем взамен нее вспомогательную функцию с *(х), определенную следующим образом.
В промежутке [ — и, я1 мы отождествляем у'в с у: У" (х) =У(х) ( — п(х ( я), (15) затем полагаем с *( — я)=с *(к), а на остальные вещественные значения х распространяем функцию Г"в(х) по закону периодичности. К построенной таким образом функции с *(х) с периодом 2я можно уже применять доказанные теоремы рааложения. Однако если речь идет о точке хм лежащей строго между — я и то 'при проверке условий этих теорем нзм пришлось бы иметь дело ввиду (15) лишь с фактически заданной функцией У(х).
По той же причине и коэффициенты разложения можно вычислять по формулам (1), не переходя к функции с ~(х). Короче говоря, все доказанное висле непосредственно переносится на заданную функцссю с (х), минуя вспомогательную функцию С *(х). Особого внимания, однако, требуют концы промежутка х=-с-ш При проверке для функции с *(х) условий какой-либо из теорем пп' 684, 686, скажем в точке х=к, нам пришлось бы иметь дело как со значениями вспомогательной функции Г е (х) слева от х= я, где они совпадают с соответственными значениями данной функции с(х), так и со значениями с*(х) справа от х=я, где они совпадают улке со значениями с(х) справа от х= — я. Поэтому, если бы мы пожелали перефразировать для случаев точек х=-+.я, например, признзк Дирихле — Жорда на, то нам в обоих случаях следовало бы потребовать, чтобы с (х) имела ограниченное изменение как слева от х=я, так и справа от х= — я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
