Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Подстав»ли это вырзжение в формулу длв Ь„и переставляя интегрировании по х и по Г, получим: ! ! Г и Гг( — т Ь„=2 ~ — ~ — х+ 1) ап 2ллх г1х. ~1.1~~ 1 — т 'о Ллл обоснованив нашего права переставлять интегрировании заметим следующее. Выражение 1 -"-" '1 .
1 — Г» ' 1 ( ап2л»х теряет непрерывность как функция двух переменных лишь при 1=0», Но интеграл от зтого выражения по переменной Е сходится р а в н о и е р и о относительно х в (О, 1), ибо (при О (т(1) Г! ' — 1 1 ! ап2л»х ( ~ — — (1 — х) 1! (1и г! !гт ~ (з!П2лях!» (— !» < — ° — 2л», 1 — » (1пе( х 1 — » (1пт( По известной теореме (52Ц перестановка допустима. Продолжаем вычисление. Имеем: ! ! 1 ап2лвх ох=О, «ап2лих!тх= —— 2л» ' о а з, дополнения (интеграл Ф р у л л а н и, айб).
Таким образом, определение всех козффипиентов приводится к определению первого из них. Вспомним интегральное вырюкение валер о вой п остоян ной [535[! с-$(, ~ — )г— ' Тогда а,— — с= — ~~ ~ (е — и е-аяи) Но первый интеграл вычисляется непосредственно, он равен О; второй же 1 равен — 1и 2я (снова — интеграл Ф р у л л а н и), Окончательно получаем: Ь, = — (С+ 1п2я), 1 откуда затем Рл = — (С + 1п 2пя). 1 Ля Итак, искомое разложение имеет вид! 1п Г (х) = 1п )' 2я + 7 — с<ж 2яях+ — (С+ 1и 2лк) нп 2лях 1 1 2я ля я ! (О ( х < 1).
ф 3. Дополнения 692, Ряды с убывающими коэффициентами. До сих пор мы исходили из наперед ааданной функции и разлагали ее в ряд фурье, пользуясь установленными для этого достаточными условиями. В немногих простых случаях удается, наоборот, по заданному тригонометрическому ряду установить, что он сходится к некоторой абсолютно интегрируемой функции и является ее рядом Фурье Мы изложим относящиеся сюда исследования Юнгз [%.
Н. Уонпд[. Речь будет идти о рядах вида: (5) ~~ д„з[п чх, (С) 2 ~уз+ ~~ !Т„СОЗ тх, ч ! я 1 причем мы раз навсегда предположим, что коэффициенты !у„положительны и стремятся к нулю, монотонно убывая. Как мы внаем [см. конец и' 430[, в любом замкнутом промежутке, не содержащем точек 2хн(А=О, +-1, ...), оба ряда сходятся равномерно. Обозначим сумму ряда (С) через У(х), а сумму ряда (8) через 3(х); обе функции имеют период 2и и непрерывны повсюду, исключая точек вида 2хн. В этих исключительных точках ряд (С) может ГЛ. Х!Х.
РЯДЫ ФУРЬЕ и расходиться*. Так как функция у четна, а д нечетна, то достаточно ограничиться промежутком [О, я[. 1 . Если функция г (или д) абсолютно интегрируелга, то ряд (С) [или (о)) представляет собой ее ряд Фурье*в. (а) Умножив разложение функции я на з[птх (т =1, 2, 3, ...): я(х) юп 1пх =,з р,, з1п чх ' 51п тх~ л=1 мы получим р а в н о м е р н о сходящийся в промежутке [О, я) ряд.
Действительно, так как 1 г 11 л 1 [ соз —,х — соз 1 и+ — ) х 2 [, 2 [ з[п чх= х 2 Мп то ~~з!Пчхз[птх ~ ( — =тн, ! [а[нюх[ шх х х 1 мп— 2 и сюда приложйм признак Дир ихле [429). ~МЫ использовали здесь элементарные неравенства [з1П [=- ( ~О), з1пх) — х, ~0(я~2).~ В таком случае ряд можно почленно проинтегрировать от 0 до я, и мы получим: у = — 1 я(х) з[п тх йх. 2 г а (б) Переходя к функции г, умножим ее разложение на 1 — соз тхз У(х)(1 — созтх)= 1 2 = — ре (1 — соз тх) +;)~ у, соз чх (1 — соз тх). л=1 * Если ряд ~и ',о„сходится, то оба ряда (С) и (8) сходятся равномерно 1 к непрерывным функциям, для которых и служат рядами Ф у р ь е [6Щ Все дальнейшее представляет интерес лишь в случае, если упомянутый ряд расходится.
чч Эта теорема есть частный случай одной общей н очень трудно доказываемой теоремы [см. 750, 751[; мы предпочли для рялов рассматриваемого простого типа здесь же исчерпать этот вопрос. 692) аз. дополнвния Этот ряд также будет по признаку кирилле равномерно сходящимся в промежутке [О, и!. Чтобы убедиться в этом, достаточно ззметить, что 1 в>п (л+ — 2) х —,„+ ~, созэх= «=> 2эп2 х и потому в 1 %> 1 — сов юх 2 — (1 — соз тх) + лт~ соз тх (1 — соз тх) ( х «> 2 Использовано неравенство: 1 — соз х ( — е . ~ 1,1 2 Интегрируя почленно от О до я, находим; «ть — «у = — У(х) бх — — У(х) соз т х Юх. 2 Г 2 Г о =>,з,з,...> Перейдем здесь к пределу при т — +со.
При этом по предполо- жению о — О, а также стремится к нулю и последний интеграл— по основной лемме пч 682. Таким образом, получаем сначала «>в= — ~ !'(х) Ых, 2 а затем и вообще о = — у(х) соз тхс!х, 2 Г чем и завершается доказательство. 2'. Если ряд (2) сходится, то оба ряда (С) и (8) олределяют абсолютно интегрируемые функции (и, следовательно, являются их рядами Фур ь е). ~~~~> в,. «! — и'х' ! — — = — тпх( — тя. 2 1 з 1 2х 4 4 и ГЛ. ХИ. РЯДЫ ФУРЬЕ Так как рассуждения для обоих рядов однотипны, то мы ограничимся случаем ряда (С).
Полагая 1 (~.=т7 +7+" +9 будем иметь последовательно: 1) ~~ ч)ч ч=! счев, 1 = — !7о + г — = — 7о + сл (3) 2 ч~о ч 2 ч=! мы переставили здесь два суммирования [393[ и использовали очевидные равенства: 1 1 вооб!це 7 п п+ Пусть теперь и и — (Х( —. и+1 и' Для этих значений х представим У(х) в виде: л ОЭ т (Х) = .2ч7О + ~~ Дч СОЗ ЧХ + ~~~~~ ч7ч СОЗ ЧХ. ч ! ч л+! Первая сумма оценивается по абсолютной величине числом Ял. Для оценки второй применим к выражению !7„соз чх Х л+! лемму Абеля [383[.
Так как о!и (п+!ч+ — )х — ечп (и-(- —,21х 1 . ! соз чх Х 1 2 ми — х 2 то ! ч и+лч !7ч соз чх~( ~"+' ~ — !4ч! ( — ч7л л (и+!) ч7 . ч л+! 2 л'е п(п+1) 2 7о+ а~оп(п+ л=! л-! 1 1 = 2 '7о+ л'.ч ('ч Х и (и+ П ч=! л СО Х," 1 и (п+ 1) 1 мп — х 2 а а дополнвння ьа же оценка в пределе сохраняется и для всей второй суммы, так что окончательно ~У(х) (( О„+(я+1) 7„(„+ (х~ — „).
В таком случае (см. (3) и (2)] % оч е е) !7"(х)!Нх= ~л ~ !7(х)!ч(х( а е ! а н+! (с7л+(л+ ) Чл) =и ~ 2 47!+2!ч !', а=! так что функция 7 (х) действительно а б с о л ю т н о интегрируема. Остается применить 1'. Как мы увидим ниже (7321, сходимость ряда (2) является одновременно и необходимой для того, чтобы ряд (5) был рядом Фурье, так что в отношении ряда (8) полученный результат дальнейшему улучшению не подлежит. Иначе обстоит дело с рядом (С): днесь упомянутое условие отнюдь не необходимо. Мы приведем для итого случая еше и другое достаточное условие, которое не покры. вается прежним. 3'.
Если и разности Ь!7„= !7„— о„+! монотонно убывают с возрастанием ч, то функция 7(х) неотрицательна и интегрируема (а ряд (С) является ее рядом Фурье1. Подвергнем частичную сумму л Се(х)= 2 47ь+ ,~' ч7„соа чх (х:гО) ! ! преобразованию Абеля (3831. Учитывая (1), найдем: л †! С„(х)= ~ ~> Ь!7 жп !ч+ — )х+ 2 ми — х (,=а Полученную сумму мы снова подвергнем преобразованию А б е л я. Если длЯ кРзткости положить Ь!7„— Ь!7„ьч=Ь'Р„и Учесть, что и + ! ) х 1 с ! и ( т + ! ) ч а 2 Б!и — х гл. х1х. ояды отоьв то С„(х) приведется к виду: П вЂ” 2 С„(х) = —, '~ Иу„(! — соз ч+!х)+ 1 4яп' 2-х„о 5!и л+-'- х ! — сочох, ! 2 ! +Д7.1 ! +)..
4 а!пч — х 2 2 а!и — х 2 Так как последние два члена стремятся к нулю при л-~+ оо, то, переходя к пределу, получим для !'(Х) разложение по н е о тр н ц а т е л ь н ы м и непрерывным функциям; т~ ач 1 — с1м(ч+1) х =о 4 яп' — х (коэффициенты Ао)„неотрицательны по предположению). Отпода ясно, что и функция Д(х) неотр ицате льна. Для доказательства интегрируемости этой функции воспользуемся следствием из п' 318 и замечанием к нему, перефразированным для рядов. Можно написать." ч =12 !! 4 Я!П" — Х если только сходится этот ряд. Так как 4яп' —,Х я-о 22!и —,х о о! 2=1 то непосредственно получаем: 1 — СОВ(ч+1) Х „11, х= 2 (ч -1- 4 яп' — х 2 [ср.
309, 5) (б)], так что ~ 2 (х) Ых = -2 ~, (ч т 1) ~ '7" о о Остается лишь убедиться в сходимости ряда справа. Мы видели в 376, 3), что если ряд ~ч, а„ (4) а а. дОпОЛНВНИЯ с монотонно убывающими положительными членами сходится, то необходимо выполняется условие ча„-ь О. Отсюда следует, далее, что ряд ~Ч~~ (ч + 1) (а„— а,,) = ~', (ч+ 1) Ьа, .-а «=0 сходится и имеет ту же сумму, что и ряд (4): это видно из тождества «« — 1 и — ! Я (ч+1)(а„— а„+1)= Я а„— ла„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
