Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 78
Текст из файла (страница 78)
У к А з А н н з. Разлагая в ряд Фурье функцию у(х), приведенную в правой части, при повторном интегрировании по частям учесть, что у'(О)=)"(к) =О. 1690 гд. х!х, Ряды ек ьи 14) Рассмотрим теперь примеры разложения функций, интегрируемых в несобственном смысле. Пусть требуется разложить по к о с и н у с а м в промежутке ( — к, я) четную функцию У(х) =1п 2 с<и —. х 2' На концах промежутка функция обращается в !ю, но сохраняет (абсолютную) интегрируемость, По формуле (19): 1п2 соя — ттх= 1п2+ — 1п ссвт П! =0 х 2 Г к (см.
492, !'), а для и) О (замена х на я — х). Для вычисления последнего интеграла представим подинтегральную функцию в виде суммы: а1п пх соа — а!п ! и+ -,— ) х Яп ! и — —,) х 2 1 2) ~ 2) + 2яп — х 2 2яп —,х 2 х яп— 2 а каждое из слагаел!ых, в силу тождества (26) п 660, заменим, соответственно, суммой: а л-! 1 жт 1 — + у стм!х или —,-(- у соа1х. 2 2 Окончательно и„= (и=1, 2, 3, ...), ( — 1)"' ' п и искомое разложение имеет вид; х 'Ю соа пх 1п2 сов —,= рты ( — 1)" ' — ' ( — к(х( л).
я=! Можно считать, что это равенство имеет место и при х= -г- к, если в этом случае обеим его частям приписать значение — оо. Если под знаком 1п вместо косинуса написать его абсолютную величину, то равенство будет справедливо для в се л вещественных значений х! 2 Г х 2 х а!п пх а„= — 1п 2 соа — соз пх !тх = — 1п 2 сов — ° ~ + 'л 2 ' в 2 я о х + — 1 1 ~ 2 ' япох ° яп— бх=( 1)Я-! пя х 2 а х яп пх соа— гтх пя . х о 2 % З. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИВ В РЯД ФУРЬЕ Заменяя в установленном равенстве х на я — х, придем к другому интересному разложению: х жч соз их — 1п2 з!и — = 2 .ьы и (0< х(2я).
я=! Относительно распространения втой формулы можно сделать те же замечания, что и выше. Приведем в заключение примеры разложения чсклеенныхт функций, которые в разных частях промежутка задаются разными аналитическими выражениями *. 15) Пусть О, если — я<хсО, у(х)= х, если 0( х ~ я. Разложить эту функцию в полный ряд Ф у р ь е, Имеем по формулам (1)т 1 1 Г .— а = — хг(х =— 2 ' 2я г 4' 1 Г 1 ипих!" 1 Г соз ия — 1 а„= — х соз их Ых = — х — ~ — — жп их ах = я и !о ия~ и'я т. е, 2 а,а=О, Аналбгично созия „, 1 й„= — — = ( — 1)" и и разложение будет таково: 2 ми2х 2 мп Зх — — стех+ пи х — — — — созЗх+ —— я 2 Оя 3 з!п4х у(х) =— 4 ( — я(х Ся). 16) Функции 1 для 0~я<А, (а) уг(х)= 0 для й (х ( я! х 1 — 2 й для 0(х~2й, 0 для 2й~х(я разложить в промежутке от 0 до я по'к о с и н у с ам. в Впрочем, здесь нет ничего принципиально нового по сравнению с уже изученными примерами: ведь, скажем, сумма ряда в 2) также может рассматриваться, как функция, «склеенная» из ряда линейных функций (ср.
рнс. 124). гл. х!к. вялы ив ньн 2 !" 2 пил?т а = — сов лх !(х = —— а — я я л 11Г/~ (а) — аз= — ! !?х= —, 2 ь 7'т(х)= — [ —,+ дтм — сових~ (0«х«Я), 2й ! 1 жт иплй [2 г л?т в 1 1 исключая, впрочем, точку х=д, где сумма ряда равнз —,. гв (б) — а = — !! — — ! ттх=— 2 ! — сов 2лй 2 з!пв лд а = — ! ! — —, с!и лх ттх =— гд) я 2лв?т я лв?т ув(х)= — ~ 2 +,) ( ) солях~ (0«х«я). в=! 1?) Доказать, что при 0(х< —, 2)'3 сов5х сов7х (а) с!и х — — + —— 5 7 сов1!х 11 2я прн х= —, 3' 2я при — сх« . 2Р 3 х при 0«х« —, з!и 5х ип 7х (б) ип х — —,.
+ —— ' 5- 7' ап 11х 11' 2Р3 яв О у'З я 2я при — «х«вЂ” 3 3' 2я (я — х) при — «х «я, 2)' 3 13) Пусть функция у(х) определена равенствами: у( )яя сов х для 0 «х«вЂ” 2' — созх для — «х«я. 2 Разложить ее по косинусам. я я 4уЗ я 2я О при — «х«вЂ” 3 3' 6 з. разложение окнкций в ряд озвье Отваля л 1 19) Доказать, что сумма ряда — (сгн х + а!п х) + т я Ът 1 2 2я+ 1 [соз (4!г+ 1) х — ип (4я + 1) х— а=о — сов(40+ 3) х — нп (43+ 3) х) ( +2) и ( — 1)"' — для х = ягя или 2 (в=0,.+ 1,.+ 2, ...). 20) Вокруг трех вершин правильного шестиугольника (через одну) радиусами, равными стороне а шестиугольника; описаны окружности; из их внешних дуг составляется трилистник (рис. 132).
Написать полярное уравнение трилистника, если за полюс принят центр шестиугольнйка, а полярная Рис. 132. ось проведена через центр одного из кругов, У к а з а н и к. г =У(6) ( — я ~ 0 ~ я), где ч е т н а я функция у (6) определяется равенствами: 2а созв для 0(6~ —, 1(0) = 2а сов (6 — — ~ для — ~ 6 (я. Разложить зту функцию п о к о с и н у с а и. Ожаель я 1 1 1 1 = г = — + — соз 36 — — соз 66 + — соз 96 — .. бргел 2 2 4 5 7 3 !О ( — я (0 ( я). 21) Использовав уже известные разложения, доказать, что 1 %~ ( — 1)" сов (а) х з1п х = 1 — — сов х + 2 г ( — ~х(я) «=2 1 %Ч (б) хсозх= — — з!их+2 у ( — 1)" мплх ( — ясхся); 2 л' — ! я 3 1 . с~ ( — !)" (В) япх1п2соа — = — 8!пх+ 7 „8!плх 2 4 а~! ла — 1 ( — я(х(я); а 2 х 1 ! %т ( — 1)ел (г) созх1п2ож — = — — — созх+ у с<них ( — я <х(я).
2 2 4 л~> л' — 1 равна яз!пх дая гля(х~же+ —, яссах для жя+ — (х((в+1)я 2' 2 ГЛ. Х!Х. РЯДЫ ФУРЬЕ 22) Если заданная в промежутке [О, 2я] функция у(х) удовлетворяет условию (а) у (2я — х) =у (х) или (б) у'(2«« — х) = — у (х), то в первом случае все Ь„ = О, а во втором — все а„ = О. Доказать это [либо йсходя из формул (1), либо опираясь на четность или нечетность периодически продолженной функции]. 3» м в ч ли ни.
Теперь ясно, что особенности разложения в промежутке я — х х [О, 2я] функций — и !п2яп — [2) и 14)] можно было бы предвидеть так 2 2 как я — (2я — х) я — х 2 2 2я — х . х 1и 2 в!п 2 2 ' =1п2яп —. 23) Доказать, что если в промежутке [ — я, я) функции у(х) удовлетво- ряет условию (а) у(х+я) =у(х) или (б) г(х+я)= — т (х), то а первом случае а,,=Ь«я « =О, а во втором а„„=Ь„=О. 24) Ограничиваясь функциями, заданными в промежутке [О, я], доказать, что условие (а) у(я — х) =у(х) влечет равенства а, , =0 (при разложении по к о- с и н у с а и) или Ь, =0 (при разложении йо с и н у с а м); (б) У(я — х)= — г(х)влечет равенства а, =0 (при разложениипоко- с и н с а м) или Ь,, =0 (при разложении йо с и н у с а и).
В' ам вч ли и к. На этом основании можно было бы предвидеть особен- ности разложений по синусам функций — — — и — в 4), функций яп2ех и 4 2 4 яп(2е — !) х по косинусам в !2), а также разложений в 13), 17) и 13), 25) Подражая рассуждениям и' 689 установить, что функцию у(х), задан- ную лишь в промежутке ~0, — 1, можно в нем с обычными оговорками рвзло- 2!' жить по косинусам или посинусам одних лишь четных кратных или одних и с ч е т н ы х кратных х. Вывести формулы для коэффициентов, приложить ' их к примерам. 26) Пусть задана функция у(х), имеющая период 2я, на, Ь вЂ” еекозф- фицненты Ф у р ь е. Требуется выразить через них коэффициенты Ф у р ь е а, ь «смещенной» функции у(х+ и) (л = сонат), Используя замечание в 681 насчет интеграла от периодической функции имеем: « «+л а = — ~ г (х + Л) «Ух = — ~ У (х) «(х = а«, 1 Г ! « †«+л « «+Л вЂ” 1 ! ам= — ~ у(х+И)совех4х= — ~ у(х)сове(х — Л) «(х= « — «-1-л ~-л +л 1 1 =савел ° — 3 Ху(х)совтх4х+яптл — ~ у(х)япехах= — +л —, +л =ам савел+Ь в!п еЛ и, аналогично, Ь Ьщ сев еЛ ая Яп тИ, 6911 461 а г.
олздожение огнкций в вяд отвьн 691. Разложение !и Г (х). В качестве более сложного примера мы установим, следуя К у м мер у (Е, Е. Кппппег), разложение в ряд Ф у р ь е функции 1п Г (х) в промежутке (О, 1[. Пользуясь сделанными в п' 688 замечаниями о разложении функции в промежутке (О, 21) (в нашем случае 21=1), ищем разложение в виде: 1пГ(х) = — '+ 1) (азсоз2лях+Ьлнп2лях), на л-1 1 Ь„= 2 ~ !и Г (х) зт 2 п| х >Гх, >я=1, 3,...] Впрочем, как мы покажем, коэффициенты ал можно определить почти без вычислений.
В самом деле, логарнфмируя известное соотношение [531,5'[ Г(х) Г(1 — ) =— 2я 2мпях ' мы найдем !п Г (х) + 1п Г (1 — х) = 1п 2я — 1п 2 мп ях. Ряд Фурье функции 1пГ(1 — х) получается из ряда Фурье функции 1п Г(х) заменой х на 1 — х, так что члены с косинусами сохранятся, а члены с синусами изменят знаки. Складывая, получим а, + ~ , '2лл соз 2лях. л 1 С другой стороны, легко написать ряд Фурье лля функции,стоящей в правой части равенства, если использовать известное разложение функции х — 1п2 ми — [690, 14)[, но заменив лишь х на 2ялз ль 'кт 1 1п 2я+ ~ — сов 2лях.
л л=1 Таким образом, получзем сразу 1 — 1 — а, = 1п У 2 я, ал — — — (л = 1, 2, ...). о= л= 2л Гораздо большего труда потребует вычисление коэффициентов Ьл, Мы будем исходить из формулы для 1и Г(х) [540] е* — е ™1лз лг<1=~[1 которую подстановкой е *=Г преобразуем к виду: 1 1п Г (х) = ~ ~ — — х+ 1~ —. о причем коэффициенты его могут быть формулам (!7л) и' 688: г аз=2 ~ 1и Г (х) сов 2лях >(х, < =о,>,з...о установлены по формулам, аналогичным !ОО! гл.
х!х. виды фтвьи Ь» 'ап2л»х!1х= — ~ е»" ап2»»х!Ух= «шг . — У.) е» !» г ~ 1п г ап2»»х — 2л» сов 2лвх „!»-' (1 — т) 2лп г(1птг+4л») ~ » о т (1п'г+ 4лзи'(' Отсюда ! 2лв 1 '( а7 ь='!1!г !о"~»»'.з»Ып Полагая здесь т=е '""", окончательно приведем выражение длв Ь„к виду: В частности, откуда (е-!»» е-л»тв) и (п л Ыи 1 и и лЬ вЂ” Ь,=— 1 » Легко проверить, что при т = 1 непрерывность фактически не нарушается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
