Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 80
Текст из файла (страница 80)
.-о «О Если тепеРь взЯть а«=й«ри то оказываетсЯ, что Х (ч+ 1) о~ч = Х ОЧ = Чо .-о -о и окончательно У(ж)о = 2 «10 а Теорема доказана. Например, условию этой теоремы удовлетворяет ряд ~~1 сса лл этот пример поучителен в том отношении, что теорема 2ч к нему не применима, так как ряд л а расходится [367, 69)). Замечании. Если в рядах (С) и (Б) заменить переменную л на х+и, то получатся ряды с знакопеременными коэффициентами, убывающими по абсолютной величина Для таких рядов докзэанные теоремы также сохраняют силу.
693. Суммирование тригонометрических рядов с помощью аналитических функций комплексной переменной. В ряде случаев, исследуя коэффициенты рядов вида (С) или ($), можно установить, что эти ряды сходятся (исключая, быть может, отдельные точки) и являются рядами Фурье для своих сумм (см., например, предыдущий и'), но во всех этих случаях естественно возникает вопрос, 410 гл. х!х. зяды вгвьв как найти суммы этих рядов или — точнее — как выразить их в конечном виде через элементарные функции, если они, вообще, в таком виде выражаются. Еще Э й л е р (а также Л а г р а н ж) с успехом применял для суммирования тригонометрических рядов в конечном виде аналитические функции комплексной переменной. Идея метода Эйлера состоит в следующем.
Допустим, что при некотором наборе коэффициентов (!у„) ряды (С) и (8) сходятся к функциям У(х) и д(х) повсюду в промежутке 10, 2в), исключая разве лишь отдельные точки. Рассмотрим теперь степенной ряд с теми же коэффициентами, расположенный по степеням комплексной переменной з: — ч+~ у," ч ! (5) На окружности единичного круга /з)=1, т. е. прн з=е'", этот ряд по предположению сходится, исключая отдельные точки: 2 !уз+ 7 !у„а = 2 фа+ ~ !у,(соз тХ+1а!ПЧХ) = ч 1 м=! = T(х) + 1л(х).
(6) В таком случае, по известному свойству степенных рядов ряд (5) заведомо сходится при )з((1, т. е. в нутр и единичного круга, определяя там некоторую функцию !у (г) комплексной переменной. Используя известные нам (см. $5 главы Х!Ц разложения элементарных функций комплексной переменной, часто удается свести к ннм н функцию ср(з). Тогда для г=га~'(г< 1) имеем: 2 та+ Х й„г"а'""='У(га"), ч 1 и по теореме Абеля 145Щ, лишь только ряд(6) сходится, его сумма получается как предел 1 э ( т ) 1 ! ш т ( г а ! л ) (у) г 1 Обычно этот предел равен попросту !~(е! ), что и позволяет вычислить в конечном виде функции У(х) и 5(х).
Пусть, например, предложены ряды ъ ! е 1 Доказанные в предыдущем и' утверждения приводят к заключению, что оба эти ряда сходятся (первый — исключая точки 0 и 2к) и слу- 47! а а. дополнвння По сходству с логарифмическим рядом [468] легко устанавливается его сумма: 4~ (а) = — 1п (1 — 3) = !п — ( !л [ ( 1), 1 следовательно, У'(х)+!у(х) =1п —,„(х ~ О, 2я). Теперь легкое вычисление дзет: 1 1 1 мих 1 — е'" (! — созх) — 1»гв х 2 + 2 (1 — ссал) — — '(соя ~ 2 — — ) + ! а!и [ 2 — — !], 2»!и— 2 1 так что модуль этого выражения есть —, а аргумент 2мп— 2 Поэтому 1 х « — х 1п — = — 1п 2 а!и — +! «г« 2 2 2 и, тзким образом, окончательно .1(х)= — 1п2а!и —, 4'(х)= 2 (0(х(2к).
Результаты эти нам знакомы [690, 14) и 2)] и даже были однажды получены с помощью «комплексных» соображений [461, 6) (б)]; но в первом случае мы исходнлн из функций у и К, а во втором — гз аналитической функции !ь Здесь же впервые н а м о т п р з в н о и точкой послужили сами ряды. Дальнейшие примеры подобного рода читзтель найдет в следующем и'. Подчеркнем еще раз, что нужно наперед быть уверенным в сходим ости рядов (С) и ($), чтобы иметь право определить их суммы с помощью предельного равенства (7), Одно существование предела в правой часто этого равенства еще не позволяет сделать заключение о сходимости упомянутых рядов.
Чтобы показать это на примере, рассмотрим ряды — +,! Соамх и,~ а!Птх. 1 ,! » 1 жат рядами Фурье для определяемых ими функций Г(х) и д(л). Но что это за функциями Для ответа на этот вопрос составим ряд ГЛ. Х1Х. РЯДЫ ФУРЬЕ заведомо расходящиеся для 0(х(2к. Между тем, если со- ставить соответствующий им ряд — + р х 2 а~а ! — з 2 ' =! то при стремлении точки а=ге!" вдоль по радиусу единичного круга к точке еал на окружности, его сумма будет иметь вполне определенный предел Если сходимость рядов (С) и (8) наперед не установлена, то равенство (7) можно рассматривать только как на ведение: получив с его помощью функции у и у, следует затем вычислить их коэффициенты Фурье и лишь в случае совпадения с коэффицнентами данных рядов прибегнуть к известным признакам сходимости рядов Ф у р ь е.
694. Примеры. Во всех задачах сходим ость предложенных рядов предоставляется установить читателю. 1) Просуммировать ряды; ! 12 " ! 2...п Рвш вник. Здесь а ч (з) = ! +,! — = ел, так что т(е~) есоах+1мпл есолл [осе(ашх)+1йп(з[п «)) Отсюда (а) у(х)=е'о'"соз(япх),3(х)=е"* ып(апх). 2) Просуммировать ряды сов х соз Зх, соз 5х ип х з1п Зх а!и 5х (а) —— 1! 3! ' 51 " ' 1! 3! 5! соз 2х соз 4х ып 2х ып 4х з!и бх (в) 1— 2! 4! "'' 2! 4! 6! У казан ив. Функция в(з) равна з л' г' ыпл= — — — + — — ... 1! 3! 51 в случаях (а), (б); она равна 'л' л' с<аз=! — — + — — ...
2! * Мы сохраняем обозначения предыдущего и', 473 694] % д, ДОПОЛНЕНИЯ в случаях (в), (г). Использовать разложения синусз и косинуса от комплекс- ного аргумента на вещественную и мнимую части [359): яп (а + ]1!) = яп а сй Р + ! ссм а вй 3, сов (а + е! ) = сов а сь е — ! Яп а вь в. Оюлею.
(а) в!п (сов х) с)т (в!п х), (б) сов (с<м х) вЬ (в!п х)1 (в) сов (соз х) ОЬ (в1п х), (г) в1п (соз х) вйчв!п х). 3) Просуммировать ряды: (а) 1 + ~Р ( — 1)"-' , (б) ~ ( — 1)" ' а = 1 (+) ( ) ~В~ ( 1)а сов (г) ~~~ [ ])а в1п лх ° а=2 а=2 л %т „л (д) '5' ( — 1)", сов лх, (е) р ( — 1)", в!плх; л' — 1 ' а'в л' — 1 л=з а=2 сов лх (л + 1) (л + 2) ' й О яп лх л~л ( ) (л+ !)(я+2) ' а 1 (а), (б).
Ркшкник. Соответствующий этим случаям ряд в га т(?=1+ — — —,+ — — .. 12 23 34 непосредственно не дает известной нам элементарной функции, но если, использовав очевидное равенство 1 1 1 л(л+1) л л+1' преобразовать его следующим образом: '+1' 2+3 "' 1+! 2+ 3 4+'" 1 то, вспоминая лог ариф м и ческий ряд (459), легко уже найдем, что а (г) = 1 + 1п (1 + г) + — (1П (! + г) — г] = ( 1 + — ) 1и ( ! + г). 1 1 Подставим теперь сюда г=ег"=стих+ !них.
Имеем: Х/ Х . Хт 1 + г = (1 + соз х) + ! яп х = 2 сов — ~сгм — - + ! яп —,], 2 ~ 2 27'' [694 474 ГЛ. Х!К. РЯДЫ ФУРЬЕ !п (1 + а) = !п 2 соз — + ! —. х х 2 2' Окончательно, х Х1 т (ега) = [(1 + соз х) — г з!и х[ ° !п 2 сов — + ! — ~. 2 2~' Отсюда для — я «х «я х 1 т (х) = (1 -[- соа х) 1п 2 соз — + — х в!п х, 2 2 1 х д(х) = — х (1+ сов х) — з!их !п 2 соз —, 2 2' (в) — (з), У казакии. Во всех случаях, используя соответственно ра- венства 1 ! 1 (и+ 1) (и -[- 2) й+1 и+ 2' свести дело к логарифмическому рялу. Ошлеж. (ж) (совх+соз2х)1п2соз — + — (ипх+ип2х) — созх, х х х х (з) (ип х+ ип 2х) 1п 2 се — — — (соа х+ соз 2х) — ип х. 2 2 [По поводу (в) — (е) ср, 690, 21).[ 4) Просуммировать ряд: „, соз(2п — 1) х '~ — 1)— я ! У к а з а н и в. 7 (в) = — !п (1+ аз).
1 Ожвеяь Ограничиваясь промежутком 0«х«я, имеем для 0«х« —, соз х 1п 2 соа х + х з!п х у(х) = совх !п2 [ сов х [+ (х — я) яп х и для — С'х «я. 5) Просуммировать ряды: сов 2х с<ж Зх с<м 4х (а) — + ! ° 2 2 3 3 ° 4 соз 2х сов Зх соз 4х 1 2 ° 3 2 ° 3 ° 4 3 ° 4 ° 5 х так что (для 0«х«я) модуль втого выражения есть 2соз —, а аргумент 2' х †,и 2 ' [694 гл.
хгх. вялы взвыл 7) Просуммировать ряды: 1 совЗх 1 3 соз5х 1 3.5 сов 7Х (а) сов х+ — + — — — + — +" ' 2 3 24 5 246 7 1 япЗх 1 ° 3 яп5х з!и х+ — +— 2 3 2 4 5 сгпх ! созЗх ! ° 3 сов5х 1.3 5 сов 7х ! ° 2 2 3 4 2 4 5 6 2 4 ° 6 7 8 япх 1 япЗх 1 3 зш5х (г) — + — ° 122342 ° 45 ° 6 Рк шин и в. Длв случаев (а) и (б): жз (2и — 3)!Л гвл ! т(г)= 7 — — — — =агсяпг (2и — 2)[1 2и — 1 л=! [459[. Далее, для О«х «тс агсяпег"=агсяп +11П(г' 1+вшх+ ф' япх) уг 1+в)их Это легко п р о в е р и т ь, установив, что синус выражения справа действительно равен е!". Впрочем, нетрудно и вывести зто выражение, найдя и, о из уравнений з1писЬо=совх, совивЬо=вшх.
Итак, у(х) = агсяп сов х 1+япх л (х)=1п (ф' 1+ ввп х+ у япх) (О «х «г). Для случаев (в) и (г) получается ряд: 1 г' ! 3 г' , 1 3 5 г' 1 2 23 4 2.45 6 ' 2 4 67 ° 8 1г' ! ° Зг' 1 3 ° 5г' =~в+ — — + —, — + — +" ~ — ' 2 3 2 45 2.4.67 1 ! 1 , 1 ° 1, ! 1 3, 1-1 3 5 г 1 2 +2 ° 4 2.4 6 + 2 4 6 ° 8 + "') ! = агсв(п г+ — (~'! — г' — 1) г и для тех же значений х г(х)= — !п)!и ~ — + — ) = — 1п!8 ( — + — ). (в) Указании. Сочетая только что полученный результат с результатом упражнения 4), найдем! ! г 1 г — — — (сгн х 1и 2 соз х + х яп х) для О «х « —, 4 2 2' у(х) = — — — — (сов х1п 2 [ сов х !+(х — г) япх) длв — «х «г. 4 2 2 47? 000! зз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
