Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 84
Текст из файла (страница 84)
е. иа те же 18'[» ее. И здесь также для получения предельного геометрического образа для графиков сумм л (х) недостаточно к кривой у = =у(х) присоединить отрезок вертикальной прямой х=х„соединяющий точки с ординатами У(х,— О) и У(х»+О), ио приходится этот отрезок соответственным образом у д л и и и т ь и вверх и вниз. Можно сказать, что и для произвольной функции осуществляется явление Гиббса! 3 л и з ч л н и з. Исследования, свяааииые с явлением Г и б б с а, приводят и к другим интересным результатам.
Так, с их помощью могут быть установлены формулы, определяющие для функции У(х) с ограниченным изменением ее односторонние пределы у(х, .+- О) и величину скачка в любой точке х, непосредствеинопо ее ряду Фурье. Для втой цели могут бйть использованы, например, формулы (12) и (13): вычитая их почленио, найдем () = — 1!гп [зм (,'ж) — зм ($,„)], гю-ш после чего уже легко определяется и У(х, -«-О).
Различные формулы этого типа были установлены Фене ром (Ь. Ре]ег). 70Х Особенности рядов Фурье; предварительные замечания. Во всех признаках сходимости рядов Фурье, относящихся к непрерывным функциям, кроме самой непрерывности неизменно требовалось что-нибудь еще: то ли существование некоего интеграла, выполнение неравенства, наличие конечной производной, то ли ограниченность изменения функции, ее кусочная монотонность. Естественно возникает вопрос не будет ли достаточно для сходимости ряда Фурье одной непрерывности породившей его функции? Еще в 1876 г.
дю БуаРеймонд (Р. бц Во!з-Кеушопд) дал отрицательный ответ на этот вопрос, построив пример непрерывной функции с расходящимся в некоторых точках рядом Фурье. Лебег (ГЬ ЬеЬездце) в 1906 г. построил пример такой непрерывной функции, к которой ее ряд Фурье сходится повсюду, но не равномерно. Мы хотим дзть здесь примеры осуществления кзк «особенности дю Буа-Реймонда», так и «особенности Лебегз», следуя при их построении по пути, указанному Фейером. Элементами построения в обоих случзях служат конечные тригонометрические многочлены (пг и и означают натуральные числа): [он юх ~ соа(гл+ 1) х ! 1 соа(ю+ л — 1) х| 1 соя(т+и+ 1)х ! соз(~л+2п — 1) х соз(в+ 2л) х ~ — -] ".+ + 1 л — 1 л (япюх, мп(ю-[-1)х,, Мп(ю-[-л — 1)х1 !') (х) = !г — +— О цл() — ] „(- — „! т" -1- 1 мп(ю+я+ 1) х + ! з!п(а+ 2я — 1) х з!п(ю+2л) х~ 1 л — 1 л установим предварительно некоторые свойства этих многочленов, 498 [702 Гл.
х!х. Ряды Фузьв 1'. Прежде всего, существует такая постоянная М, что [Р „(х)[(М и [Я „(х)[(М, (14) каковы бы ни были значения переменной х и значков т и п. Лля доказательства этого преобразуем многочлены Р и Я, объединяя в каждом члены с одинаковыми коэффициентами. Так, полагая в первом (при «=1, 2, ..., и) саз(ю+гг — «)х ом(и+и+«)х ., из«х — 2 ып ьт-1-иах— приведем его к виду: Р „(х) = 2 гйп (т+ и) х =! Аналогично и О „(х)= — 2 соз(т+п)х ~~1 1 Так как множители при сумме, которая фигурирует здесь в обоих случаях, явно ограничены, то вопрос сводится к ограниченности самой суммы. Мы уже имели случай [690, 3)) представить ее в виде: л х (л + — ) х + — „би. Второе слагаемое справа здесь ограничено ввиду рзвномерного стремления его к нулю при п-~.ео [698, 10], а третье — ввиду схо- Г мпи димости интеграла — г(и.
Отсюда н вытекает требуемое заклюи чение. 2'. Инзче обстоит дело с частичными суммами многочленов Р и Я (т. е. суммами любого числа последовательных членов их, начиная с первого). Если для многочлена Р „(х) взять сумму первых и его членов, то при х=О она получит значение 1 1 Нл — 1+2+" + — „, 702! а к хлллктвг сходнмости видов отаьз растущее вместе с и до бесконечности [366, 1у).
Так как, очевидно, «ф1 — ) ~ — =!п(»+1) — 1пт, 1 Ых то для Н, получается известная оценка: Н„> 1пп. Частичные суммы многочлена Я „(х) при х=О все обращаются в нуль. Однако если мы вычислим сумму первых л его членов в близкой к нулю (при больших лт и и) точке х= 2, то 2(я+ и) найдем: л ! 2 я Но по известному неравенству а1п х > — л при 0(х< —, так что п 2' зта сумма оказывается большей, чем ~ ( — — ))=̈́— — ь1п л — 1, ч ! и тзкже бесконечно возрастает вместе с ть В этом, собственно, уже содержится кзк бы зародыш обеих особенностей — дю Буа- Реймонда и Лебега. Зо. Если же мы, взяв любое положительное число а, ограничим изменение переменной х промежутком (а, 2в — л)*, то все частичные суммы обоих многочленов окааывзются ограниченными (по абсолютной величине) одной и той же постоянной 1.(л), не зависящей от пт и п.
Достаточно доказать это относительно выражений вида ! Х сов(р.+.Л)х 'д а1п(рШ1) х Л 'лг! Л Л ! Х=! ибо, кзк легко видеть, упомянутые частичные суммы в общем случае представляют собой равности двух подобных выражений.
Остановимся для примера на выражении саа(р+Л) х Х Л л=! * Или — что яе составляет разницы — промежутком от 2ая+л до 2(а+1) я — н где А — любое целое число. ГЛ. Х!Х. РЯДЫ ФУРЬЗ и для его опенки воспользуемся леммой А б е л я [383). Множи- 1 тели — при возрастании значка Л убывзют, оставаясь положитель- Л ными. Что же касается множителей соя(р+Л)х, то сумма любого числа их то мв )р+ 1, + --) к — а1п )р+ — ) к 2! ), 2) соз (р+ Л) х— к 2мп— 2 Х ! по абсолютной величине не превосходит постоянной .
Отсюда 1 яп —, 2 заключаем, что и Э.! ~! То же справедливо и относительно других выражений (15). Таким образом, в качестве упомянутой границы 1.(а) можно взять постояи- 2 ную ип— 2 Все эти свойства будут использованы в следующем пь. 703. Построение особенностей. Возьмем теперь последовательность положительных чисел )аа), для которой ряд э~а„сходится, и две бесконечно возрастающие последовательности натуральных чисел ) лга), ) иа ) и построим два ряда: ~Ч ', а, Р „ь„(х) = Ф (х) ь=! ~Ч, 'ааО „ьа(х)=!)г(х). ь=! Оба ряда абсолютно и равномерно сходятся, ибо ввиду (14) мажорируются сходящимся рядом М ~Ч ! ам Следовательно )431), функции Ф(х) и !)г(х) заведомо будут непрерывными.
Выбор чисел а„, лгь и пь мы подчиним следующим двум требованиям: 1) та„г.!.т +2п„(для /с=1, 2, 3, ...), 2) аь1пл* — Р+ со при й-у оо. 7!й!! а 4. хааактвв сходнмостн аидов вквьв Можно, например, положить а» й»т ~ Ввиду 1) два различных тригонометрических многочлена а»Р „„„(х) или а»О „„(х), входящих, соответственно, в ряд (!) или (П), не содержат членов с одинаковыми кратными х. Если теперь просто подряд написать все члены последовательных многочленов, входящих в (1) или (П), т.
е. раскрыть все скобки, то получатся два тригонометрических ряда (один по косинусам, а второй по синусам), ко тор ы е и б у д у т р я д а м н Ф у р ь е ф у н к ц и й Ф (х) и !Р (х). В самом деле, если, например, умножить обе части равенства (1) на соя рх и проинтегрировать от О до 2к, то ввиду равномерной сходимости ряда интегрирование в нем можно будет выполнить почленно.
Затем, каждый интеграл ~ а„Р „„(х) созрхг!х е заменится к о и е ч н о й суммой интегралов, причем все они будут нулями, кроме того случая, когда в состав а„Р л „(х) входит созрх. Таким путем мы и убедимся в том, что коэффициент при соз рх будет ноэффициентом Фурье. Обратимся теперь к вопросу о сходимости этих рядов Фурье и ее характере.
Если изменение х ограничить промежутком (е, 2к — е], то оба эти ряда сходятся и даже равномерно, наподобие рядов (1) н (П). Это видно из того, что любая частичная сумма„скажем ряда Фурье для функции Ф(х), отличается от некоторой частичной суммы » — 1 ~, 'а„Р „„„(х) е=! ряда (1) на некоторую частичную сумму тригонометрического многочлена а,Р „(х), которая в силу 702, 3', по абсолютной величине не превосходит а,(,(е) и при безграничном возрастании з равномерно стремится к нулю.
Ввиду произвольности е, таким образом, сходимость рядов Ф у р ь е для функции Ф(х) и Ф'(х) обеспечена при всех значениях х в (0,2в). При х=О (или 2к) первый ряд, однако, уже расходится, и ,налицо — «особенность дю Буа-Реймонда»! Действительно, если 1704 гл. х~х. гиды ез ьв его лг-ю частичную сумму вообще обозначить через з (х), имеем зюл»«л»-1(х) з»ю»-3(х)— соа м»х + + соа (т»+ л» вЂ” 1) х~ =и» л» 1 так что [см.
700, 2'] з „,, (О) — з „,(О)=а»Н„„»а»1пл», что, в связи с требованием 2), свидетельствует о нарушении основного условия сходимости ряда (370). Что же касается ряда Фурье функции чг(х), состоящего из одних синусов, то он, конечно, сходится и при х=О (или 2я). Но на этот раз в окрестности точки х=О сходи мость не будет р а в н о м е р н о й, и мы имеем здесь осуществление «особенности Лебега»1 Чтобы убедиться в этом, обозначим вообще через з (х) его лг-ю частичную сумму и вычислим разность ззм»«л»-1(х) й»-г(х)= а1п м»х + + в)п Ол» -)- л» вЂ” 1) х| =а» л» 1 в точке х= 2, в силу 700, 2; она оказывается большей, 2 (м» + л») ' чем а» (1и л» вЂ” 1), и растет до бесконечности вместе с )1. Ценою некоторого усложнения построений удается определить такую непрерывную функцию Ф(х) с периодом 2л, что ее ряд Фурье имеет точки расходимости в любой части промежутка 10, 2я).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
