Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 81
Текст из файла (страница 81)
дополнения [400). Отсюда ллв 0(х~е ом х — Гх ч! г"(х) = агсл!и + Р 2з!их соз ~ — + — ) — ссм х, )г 1+них 12 4) 0(х) =1п() 1+з1п х+ )' $1п х) — )г2мпхзщ [ — + — '[+ а1п х. 12 47 696. Комплексная форма рядов Фурье. Рассмотрим снова произвольную функцию )'(х) с периодом 2к, абсолютно интегрируемую в любом конечном промежутке, и связанный с нею ряд Фурье: У(х) 2 + л,~ а~ соз Улх+Ь 3!пгих. и=1 (в) Его коэффициенты определяются формулами е ч а = — ~ ? (и)созлтиЫи, Ь„= — л! У(11)з!птиг[тт.
1 г 1 à — Š— л 1л-е, Ь К...1 Ол 1, 3...,) (0) Если заменить теперь созлтх н з!пгпх их выражениями через показательную функцию от чисто мнимого аргумента [467[! созитх= — (е "+е ~1), з!п лтх = —. (е "' — е ж) = — (е ' — е"'"'), то получится ряд У(х) — '+ '~~ — (и — Ь„!)Е'+ 2 (а +0 !)е ' ° Его короче можно записать так: -1-о~ у(Х) Х С„аьлт, (10) полагая сь — 2ам с-=2(а- — '-') с--=2(а-+'-') 1 ! 1 Ол 1,З,З,...! так что ч (12) с = с . Это и есть комплексная Яорлга ряда Фурье 40унхпии У(х).
* Напомним, что если л есть комплексное число, символ л означает с опр я же нное с ним число. 478 гл. х1х. Ряды Фувьв Если соблюдены достаточные условия сходимости ряда (8) к функции у(х), то к той же сумме сходится и ряд (1О), если только (как явствует из самого способа его получения) процесс суммирования его понимать как разыскание предела при и-++оо симметрично составленной суммы я с,„ем"г Впрочем, если сходятся пор о внь ряды я сне~' и ~Ч' с е м О .=2-' ~ .у(гг) -" '«' 1 =о. жь з...а (13) Эти коэффициенты могли бы быть получены н непосредственно, подобно коэффициентам ам и Ь„[678), если, допустив, что функция г (х) разлагается в ряд (10) (так что вместо можно поставить=), умножить обе части равенства на е Я»' и проинтегрировать от — я до и, причем справа выполнить интегрирование почленно.
Если имеем комплексную функцию У(х) =у'г (х) + (у'з (х), где уп уя — вещественные функции рассмотренного типа, то естественно рядом Фурье функции у назвать формальную сумму рядов Фурье функций у1 и уз, из которых второй предварительно почленно умножен на й В комплексной форме ряд Фурье функции у имеет вид (10), где коэффициенты с„, как и только что, выражаются формулами (13). [Но в общем случае, конечно, нельзя утверждать сопряженности коэффициентов с и с Иногда разложение функции в ряд Фурье естественно и непосредственно получается именно в комплексной форме.
В качестве примера вспомним производвщую функцию дзя функций Бе с се з я и ее разложение [393, 14);: з 1е — е-0 а +со Е = У„Уя (Е) З". то упомянутый предел получается путем сложения нх сумм. Коэффициенты с разложения (10), определяемые формулами(11), если учесть формулы Эйлера — Фурье (9), могут быть записаны единообразно: 479 696! в а. дополнения Нетрудно видеть, что зто разложение имеет местодля всех комп ле ксн ык значений л, отличных от нуля. Положив здесь я=е!», найдем: +со а»1В!а» ~,~ у (л)е»» (14) комплексная функция Е" !Ма» = З!П (а Ож Х) -)- [ ан (а а!П Х) оказалась разложенной в ряд типа (10), который сходится равномерно относительно х" (по свойству степенных рядов) и потому заведомо будет ее рядом Фурье.
Вспомнив, что У (а) = ( — 1) Уж (а) 1396> 14)], перепишем полученное разложение в виде: У (а)+ ~', Уа(а) (еж»!+( — 1)же ™) ю ! =У,(а)+2 ~, 'Уай(а)с!а2йх+21 ~ Уай г(а) а!п(2й — 1)х. й=! й-! (16) соз(аа1пх)=У,(а)+2 ~', Утй(а) соа2йх, й=! нп(а юпх)=2 ~ »ай,(а) ап(2й — 1)х. й —.— 1 Отсюда, заменяя х на х+-»-, можно вывести и другие два разложения: с!а(ассах)=У,(а)+2 ~ ( — 1)й»ай(а)соз2йх, й=! нп(ос!ах)=2 ~', ( — 1)й г/ай г(а) с!а(2й — 1) х.
й-1 в Мы имеем в виду ряды и а-о » — ! порознь. Если приравнять отдельно вещественные и мнимые части выражений (15) и (16), то придем к интересным разложениям: (696 гл. х!х, виды егяье Наконец, если применить к вычислению коэффициентов разложения (14) формулы (13), то получим известные интегральные выражения лля бесселевых функция: Х„(а) = — е!" "" ""! ах — ом (а Мп х — нх) Их  — л которые иам не раз встречались. 696. Сопряженный ряд. Тригонометрический ряд —,'+ ~~) а соя лгх+Ь з)птх в!=! (17) с произвольными вещественными коэффициентами можно ф о р и а л ь- н о ч рассматривать, как вещественную часть степенного ряда — '+ ~) (а„— Ь 1)л", (18) расположенного по степеням комплексной переменной г, при г=е"г.
Действительно, тогда г =е "'=сов тх+1з)птх (аю — Ь„,1) я~ = (ам соз игх + Ь„, в )п тх) + +1( — Ь соа тх+ а з)п тх). Мнимая же часть ф о р м а л ь н о представляется рядом ( — Ь соатх+а з)птх). т=! (19) Ряд (19) называется сопряженным с рядом (17). Особый интерес представляет ряд, сопряженный с рядом Фурье некоторой (имеющей период 2к и абсолютно интегрируемой) функции 7(х). В частности, можно параллельно с вопросом о сходимости самого ряда Фурье (17) поставить и вопрос о сходимости сопряженного с ним ряда. Впрочем, в последнем случае дополнительной тр)дностью служит то обстоятельство, что наперед неясно, какой суммы естественно ждать от сопряженного ряда.
Начнем, как и в п' 691, с составления удобного выражения для частичной суммы в„(ха) ряда (19) при х=х,. Подставляя вместо * Формально — потому, что мы ничего ие знаем о сходи мости написанных рядов. 481 а а. дополнения т И = — — ~ с (и) 1) з(п т (и — хз) сссс. 1 — з м-1 Если сумму под знаком интеграла преобразовать по формуле 1 с 11 и сси — С вЂ” соз (л+ — ) С т~~ '1 ) 2 1 2) з(п т(= зз-1 2 зш 1 то выражение для з,(х,) примет вид 1 1 е ( 21 е .(.)= —,— ~ у'() соз — (и — х) — ссм [л + — 1 (и — х ) ассс.
мп — (и — х ) 1 а Этот интеграл является аналогом интеграла Ди р ихле.. пеРеходЯ к пРомежУткУ [х,— 11, хз+к1 и воспользовавшись подстановкой и — х =С, как и в пе 681, получим 1 / 11 соз — С вЂ” сиз [л + — ) С ( ) 1 у (» + ) з ею2С 1 ~ 11 2з 1 2 1 2~ соз — С вЂ” сое п+ — 1 С Ш, з)п — С 2 (20) где для краткости положено Ф (1) =У(хз+ С) — с (хе — С) Если предположить сходимость интеграла 8е = — — „~ Ф (с) 2и~ "1, С 2 (21) (22) хотя бы и не абсолютную, то можно написать -(.+Ю' зз (хе) — Юе = — Ф (С) 1 сСС 2 ав — с 2 и пытаться установить стремление к нулю последнего интегрзла при и — + оо: тогда ое и окажется суммой ряда (19).
Ограничимся 16 Г. М. Фззтезгззьц, т. П! козффипнентов и„а,, Ь„..., а, сс ... их интегральные выражения [см. (9)1, найдем последовательно: и % а „(х,) = ~~)' — ~ у(п) [ — зсп тисов тхз+ сов ти з(п тхе! с(сс = Гл. хтх, Ряды ФуРье указанием достаточного условия для этого, построенного по типу признака Дини !684]: Сояряакенныд ряд для ряда Фурье функцтти У(х) в точке хь сходится к сумме Юь если интеграл Ф ! т ) И ( т ) О ) суиьествуелт.
Ввиду того что 1 т (г) т (т) 2 1 т ! 2 тя — т 2 тя — т 2 иа сделанного предположения прежде всего вытекает даже абсолютная сходимость интеграла (22). Аналогично устанавливается абсолютная сходимость интеграла Ф(т) 2 а1п — т 1 а отсюда по основной лемме и' 682 следует, что в„(х,) — оь — О, что и требовалось доказать.
Очевидно, достаточно сделать предположение о существовании порознь интегралов л ь !у(х,+т) — у(х)! (' )у(х,— т) — у(х)! т или более частное предположение о выполнении условия Л н п ш и ц а; '!т(ха+ 1) — ~(хь))(С1" (0< а(1). Отметим, что все эти условия предполагают непрерывность функции у(х) в точке хь или, по крайней мере, совпадение пределов 7 (хь-+' 0). Впрочем, можно и в общем случае доказать, что при наличии скачка функции т (х) в рассматриваемой точке ха, т.
е. при условии Г" (ха + О) — Г" (хь — О) ~ ~О, сопряженный ряд (19) в этой точке заведомо расходится е, так что предположение о непрерывности функции т(х) в точке хь оказы- вается необходимым. В этом усматривается любопытное рас- хождение в положении вещей по отношению к рядам (17) и (19): ведь для ряда Фурье (17) наличие скачка само по себе не слу- жило препятствием к сходимости.
В более детальное исследование ряда, сопряженного с рядом Фурье, мы вдаваться не будем. ч А также, очевидно, расходится и интеграл (22)! за. дополннния 697. Кратные ряды Фурье. Можно рассматривать ряды Фурье и для функций нескольких переменных. Чтобы дать об этом представление, достаточно ограничиться случаем функции двух переменных. Пусть для всех вещественных значений х иу задана функцияу(ху). Мы предположим ее имеющей период 2я как по х, так и по у, и интегрируемой (в собственном или несобственном.
смысле) в квадрате (СГ) = [ — и, «й — и, я]. Подражая разложению (10), напишем для нее двойной ряд +ОЪ .> (х, у) Х 7., ем" +"" ', (2З) где коэффициенты 1. „определяются формулами, аналогичными (13) 4 1 и, ) -ц ч->,жз, ...> Это и есть рпд Фурье функции у(х, у) в комплексной форме. Его коэффициенты могли бы быть получены обычным приемом, если, заменяя знак в написанном выше соотношении на =, умножить обе части «равенства» на е <""+«)т» и проинтегрировать по квадрату (Я), выполняя для ряда это интегрирование почлеино. В вешественной форме ряд Фурье выглядит на этот раз довольно громоздко. Если в комплексном ряде объединить сопряженные члены, то получим: У(х) у) ~ >п«щсоз пхсоз ФБу+>>«)«созпхз<п >му+ жт 0 + с„зш пх соз и>у+ <>„з)п их з1п п>у], (24) где ае,« = 4 а ~ ~ У(х у) ох <>у 1 <е> ол, «=к — в ~ ~ .> (х~ У)сових<(хйу> и«, гл=~„а ~ ~ У(ЖУ) соз п>У<>хйу> 1 ГГ 1 Г ' <р> <е»> <в ), = Цг),>)' р) ь; 1 > <>л >, я, 3...,> ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
