Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 87
Текст из файла (страница 87)
лв лв лв~ ввв лв лв Если для продолженной таким образом функпди составить обычный ряд Фурье, то дая функции У(х)=х — — в промежутке [О,л] и получится искомое быстро сходящееся разложение: [7!6 516 ГЛ. Х!Х. РЯДЫ ФУРЬИ 710. Метод выделения особенностей. Пусть функция у(х) в про-,' межутке [О, к[ задается рядом (22) по косинусам или рядом (23) по синусам углов, кратных ха, причем коэффициенты этих разложений имеют вид (20) или (21), где А!1О, В!Л определяются формулами (24). Ряды эти сходятся плохо, и мы знаем, что причиной тому служат разрывы сзмой функции и ее производных.
Акзд. А. Н. Крылов предложил для этого случая своеобразный лге!нод выделения особенностей, благодаря чему достигается улучшение сходимости ряда. Сущность этого метода, собственно говоря, уже содержится в предыдущем изложении. Она состоит в построении такой вспомогательной (кусочно-полиномиальной) функции у (х) с и заест'ным тригонометрическимим разложением, которая как бы впитывает э себя все особенности данной функции у(х), ясные из ее рззложения. Вычитзя из функции у (х) эту вспомогательную функцию и соответственно этому ия данного разложения — разложение вспомогательной функции, мы тем самым выделяем плохо сходящуюся чзсть данного разложения, так что остающийся ряд уже сходи т с я б ы от р о.
Проще всего, впрочем, этот результат получается, если научиться н си о с р с д с т в е н н о суммировать, пользуясь уже известными разложениями, эти п л ох о сходя щи с с я ч асти. 1'. Пусть задан ряд по косинусам (22), причем е„=А — "+О~ ~,), где 2 ът А„= — — у си яп лЕ„. (25) Точки 0<Е,<Е,«...Е <к Простые преобразования приводят к результату: я со СО Ш ~р с ~ ~~! япл(х — Е„) ~(! э!пп(х+ЕР)~ ~~! с Р=! л ! л ! Р=! э Часто встречающийся на практике случай, когда разложение произвопк дится в промежутке [О, !) по косинусам илн по синусам углов, кратных — , кх получается из рассмотренного в тексте случая простой заменой к на —,, даны, равно как дан и набор чисел [с„».
Установим непосредственную сумму ряда 'д А„ а (х)= 1„— "солях, а'! л л 1 7101 017 в а. оценка остатка причем сумму (""(* () ' '""( .).)) ) (*) л=! легко вычислить, если вспомнить известное [690, 2)) разложение 1 з!П Ла я в ! я — л я+а которое имеет сумму — при 0 ( л с 2я и очевидно, — —, при — 2я( 2 2 (л ( О, Таким образом, в+ х — Ев я — х — Ее — — +Е для х(Е. Ев (х) = для х)Е . 2 2 Отсюда я(х)=сопл! =Т„внутри каждого из' промежутков (с, Е (.() (!» =О, 1, ..., гл)* и претерпевает в точках Е„()(=1, 2, ..., т) скачки, в точности равные с . Мы имеем, следовательно, т„ — Ть ( =с,„ (Г)= 1, 2,..., т), откуда =Т,+ ~Ч ', са! а ! кроме того, так как ч (0)= — я+Е„, то ъчс 1 ът Т,=я(0) = у -е ( — я+ 1 )= — у с„ń— у с„.
(27) Таким образом, функция н(х) вполне определена. Пусть, например, имеем разложение: ил ив д (х) = ~~~ соз ях. 2 Здесь 2 . я А = — — с,апя —, л л 2) я я причем с = — —, Е = —. Тогда 2' ' 2' 1 я я я я Т)а= „' ' + я 2 2 2 4 в Дла Удобства мы полагаем Ее=О и Ем+( — — и. (У(0 ГД. Х(Х. РЯДЫ ФУРЬ8 иаи, непосредственно, (!=в(о)= 7 и = 7 2ч ! =,! ) л 1 затем я "((=1!+ с) = 4 ° Итак окончательно, функция и(х) равна — при 0(х( — и равна —— ) 4 2 4 прн — ( х~ я. 2 .
Рассмотрим теперь ряд по синусам (23), причем р„=В" +О(„— ',), где я) ! Ви= — ( т с созис +с,— сю+,сваля !. и= )(7 (28) На зтот раз зададимся целью непосредственно просуммировать ряд )((х) = T —" ип их. . в„. и 1 Имеем." и 1 причем я+ (х — я) — х я — (х+ к) ч (х)— — ( .)() 2 ь()= †( +() 2 для всех х; з+(Х вЂ” с ) 2 е-= — х для х((, и +, '" =к — х для х)(.
я — (х — Е ) 2 Очевидно, Л(+0)=сс) й(я — 0)=с т( (ез + О) — )( (6 — О) = с„0ь = 1, 2, „., ю). д (Х) ~т(~~~ С!) ~ ~Ч)! а(П И (Х+ (ь) я-1 л- ! 2с, Ъ~ з)пих с,„+, и лс и я (. ~ т'" (" — ()) ( и 1 мп и (х+ к) а!п и (х — я)~ и и л 1 чр! ст), (х) + сО ( х) сс( (-) (х) -С,я 1 7!О) 519 Ь Б. ОЦПНКА ОСТАТКА Вместе с тем повсюду (исключая точки разрыва) существует производная й' (х) = сопл! = 7, где 1 т= — ~см„! — с,— ~~) с,„). (29) в ! функция й(х) внутри каждого из промежутков ($„, Ьвь!) оказывается Рис. 137.
Рнс. 136. л н н е й н о й функцией с коэффициентом 1 при х: й(х)=1х+Ь„при х„~ х(хя+, (и=О, 1, ..., ш), причем Ь,=с„Ь„=с,+со ..., Ьм=с,+с!+...+ем. (30) Легко выполнить построение графика функции й(х) (рис. 136). Прямая, соединяющая точки м очевидно, будет иметь угловой коэффициент 7. Остальное построение ясно нз рисунка. Пусть, например, я 1 л сов я — св = св = О 2' л 2 с,= — 1, при О~х< 2, й(х) = 1 1 — х — 1 = — (х — л) л л л при — < х(л. Воспользуемся втим результатом, чтобы улучшить слоднмость ряда со 2%! я л У(х) = — — 7 — сов я — мп ях.
л а!я' — 1 2 я 3 (3 !) так что 2 Во= —— Здесь (рис. !37) (О св) и (л~ сл!ь! ~ св) г ! 2 'ктт 2 в!и я— й(х) = — — У вЂ” ми их лАы Я ! ГЛ. Х1Х. РЯДЫ ФУРЬЕ Так как л 1 и' — 1' п то в данном случае 2 2 2 в лл— — — с/и л — ° я и я 2 и(л' — 1)' Если нз функции у(х) вычесть только что найденную функцию И(х), то для разности у (х) — й (х) получится разложение л 2 осе 2 — — — мп лх, я л / л(л' — 1) л=/ /11 коэффлцненты которо~о будут уже порядка О ! — ~ ! (иа ! 3. Возвращаясь к ряду па косинусам (22), предположим теперь, что и„= —" — — + О / — ~~ л л /га (иид )1 где А„выражается формулой (25), а В„' получается из (28) заменой постоянных с„сь ..., с, другими постоянными с„', с,', ..., с' +Р Так как мы уже умеем [см, 1'[ выделять часть тригонометрического ряда, зависящую от членов первого порядка, то обратимся к членам второго порадка, Пусть (заменяя для упрощения обозначений В„' через Вл) Вл я1 (х) = — ~, — л соз их.
а'а л' Очевидно, и, (х) есть непрерывная функция от х, Продифференцировав зтот ряд почленно, получим новый ряд Вл и,'(х)= ' ° — "ми их, и который мы уже умеем суммировать [2'[. Так как последний ряд ран н ом ер н о сходится в любой замкнутой части промежутка [О, л[, не содержащей ни концов зтого промежутка, нн точек разрывал, то (исключая зти точки) его сумма действительно представляет производную функции я,(х). Итак, в силу 2; д,'(х)=!х+з„для Е„с хсЕьло 1л ое 1 м1 где т и з определяются формулами (29) и (ЕО), интегрируя, находим (с учетом непрерывности!); 1 Ю,(х)= — Тх-+авх+а для Е сх Е чь /л О, 1, ..., м1 Ът мп ла л Это вытекает из известных свойств ряда л 1 Т16) В В, ОЦВНКА ОСТАТКА Отсюда (если вспомнить,' что В„+,— — Во+с,)! е„, = е„— с ть„+о Если известно е„ то по этой формуле последовательно найдутся ео .„, зщ.
Что же касается тм то оно определится равенством: .,=д, (о) = — ~~ —,. м В„ я' я=! Сумма этого ряда может быть найдена и в конечном виде, если вспомнить выражение В„и воспользоваться известным (690, 9)) разлонгеннем: ОЭ Х. =' т соз вх Зх' — Олх+ 2я' и' 12 я ! Например, если дано ОЭ и 1 — ссз и— 3 п,(х)= ~ з солях, и' в ! то здесь к 3' к л е,= — —, с,= —, и $ = —,, с,=о, и 1=о ь,= — — ь, =о. 2' Для определения ОЭ 3 и .=Х„ь.-Х л ! А=! положим в упомянутом выше разложении сначала х=о а затем х= —; 3' 5к' ка в результате найдем е,= —. Тогда з,=е,— е11!= — —.
Окончательно 36 ' = а 1 бка !' — — х+ — если О ( х ~— 2 36' 3' 6т (х) = Ж' если — ~ х ( л. 4'. Теперь в ряде по синусам (23) положим 3„= — „"+ —,"+ О ( — „,), где В„выражается по-прежнему формулой (28), а А„' строится по образцу (25) — с заменой с на с'. И здесь достаточно огранйчиться лишь членами второго порядка В точках деления В„,,! значение функции Кт(х) получается одновременно по двум формулам, так что 1 1 2 Т(' г+Ввьв+1+зв= 2 ТТв'.,!+Ввысь!!+те+о [710 ГЛ. Х!Х.
РЯДЫ ФУРЬВ Рассмотрим же ряд (снова: А„ вместо А„') й (х)= у — ямппх, 'ст Ал я 1 представляющий, очевидно, непрерывную функцию. Дифференцнруем: й;(х) = У вЂ” я сових = н(х) л ! н я=! [см. 1'[. Как и выше, легко убедиться, что (исключая концы промежутка и точки Е ) и (х) действительно будет производной от И!(х). В силу 1', й!'(х) = 7 для Е» ( х ( Е , (!! = О, 1, ..., т), где т определяются формулами (26) и (27). Отсюда й, (х) =т х+ Ь„для Е„(х(Е При этом Ь,=О [так как й,(0)=0[, а остальные Ь определятся последо- вательно из условия непрерывности функции йт(х) в точках Е»»,.' 7»Е,„т+Ь„=у !Е„г+Ь„„(»=О, 1, ..., ш — !), что дает Ь» -! = Ь» — с»+!Е»+!.
Пусть, например, дан ряд 1, 1 й! (х) = мп х — — зш Зх + — а!и 5х — ... 9 25 который можно представить и в виде оь чу! 2 ип ив й,(х)= 1, аплх. я* л ! Здесь я я я я к* Е!= — с!= —, 7о= —, П= — —, Ьа — О, Ь,=— 2' 2' 4' 4' ' 4 [ср, пример в !'[, так что с в х, 4 И! (х) *= 4 + 4 я если 0(х( —, если — щ х ( в. 5, Можно было бы подобным же образом просуммировать и части тригонометрического ряда, связанные с членами более высокого порядка в разложении коэффициентов, Вместо создания общих схем практичнее в каждом данном конкретном случае проделывать то, что мы делали выше при рассмотрении рядов общего вила. Вернемся для прииера снова к ряду (31); полагая на этот раз я ! ! 1 а' — 1 и+на+па(я' — 1)' в в. оценка остатка представим йи в виде 2 к 1 2 я 1 2 я 1 ' Ья= — — соли — ° — — — сове — ° — — — солил — ° я 2 л я 2 л' я 2 л'(и' — 1) ' в соответствии с чем функция у(х) разобьется на три слагаемых.
Первое из нил, й (х), есть функция, уже вычисленная в 2'. Рассмотрим второе слагаемое: 2 ч!тт 2 соа ив д (х) = — — — мп лх. я п л ! Дифференцируя дважды, найдем: СО я 2 ч!тт 2 сов ив и (х)= — — —,сових, я лы л' я ! Оо я сов ив я" (х) =— яп их. и Последняя функция только знаком отличается от й(х): 1 я я" (х)= — — (х — я), я если 0«х» —, если — «х «я Отсюда, интегрируя, получим: ! — 2— ,х'+та я' (х) = 1 — — (х — я)'+ т 2я ! для 0«х«2, я я для 2 «х«" и для — «х«я Таким образом, функция я(х) определена вполне, и мы имеем окончательно У (х) = Л (х) + я (х) + т (х), * Приравнивая два получающиеся отсюда значения и( — ! снова нахо- 12 /' дим "то Та=24 Приравнивая д в а значения я' ~ — ~!, .получающиеся отсюда, установим что 12/' П =те Значение же Т, легко опРеделить, непосРедственно полагаЯ х =О в разложении д'(х): т, = †, Еще раз интегрируя и принимая во внимание 24' Ф что и(0) = л(2я) =О, найдем: 1 я — — ха+ т,х дяя 0«х« —, я(х) = — — (х — я) +т,(х — я) 1 а Оя Гл! ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
