Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Если функция у'(хь хз) оказывается четной как по х„так и по х„то все промежутки интегрирования можно свести к промежутку 10, +во) и сохранить лишь косинусы: 4 У(хо ха) = —, соз «з х1 Н«~ соз «, и, г(из соз «ах,д«зК )( ~ У(изс пз) соз «зи~Ииз. (21) о В случае нечетностн вместо косинусов повсюду здесь надлежит поставить синусы. Обе формулы имеют место и для функции т(хи хз), заданной лишь в первом квадранте (О, + оо; О, + ео], так как ее можно продолжить на всю плоскость по желанию четным или нечетным образом (для формулы, содержащей синусы, исключение составляют точки на осях!). Во всех этих формулах порядок интегрирований должен быть таков, как указано (разве лишь с перестановкой значков 1 и 2).
Если удается обосновать перестановку двух промежуточных интегрирований, то формулы приобретают ь т. ЛРилОжения особенно симметричную форму. Формула (20) в этом случае ока- зывается эквивалентной двум таким: +«~> + «ь Р(гт, ла) = — ~ Йи, ~ багги ггт) ец" ю+ 'ан г(из, 1 +«ь + «о т (х ха) ~ с(л ~ Р (л л ) е — Ы««л«+гали лл 1 функция Р(лн лз) называется лреобрааованггелг чйу р ь е функции у(хн х,). Аналогично этому и формула (21) распадается на две формулы, имеющие на этот раз совершенно одинаковый вид: 2 г" Р,(лола) = — г(и, У(гго ггз) соз г,и, соз гьиь г(и„ 2 Г У(хохэ)= — Ылт Р,(лола) соз л,хг соз вахах(ль Здесь Р,(ло лэ) представляет собой косинус-преобразование функции У'(х„ха); очевидно, и У'(хн хз) служит косинус-преобразованием для функции Р,(л„гз).
Перенести все сказанное на синус-преобразования предоставляем читателю. $7. Приложения 73). Выражение эксцентрической аномалвн планеты через ее среднюю аномалию. Разложение функции в ряд Фурь е приводит к удобному аналитическому представлению функции, которое часто оказывается выгодным для вычислительных целей. Изложенный ниже важный пример этого рода мы заимствуем из теоретической астрономии. Мы уже имели дело с уравнением Келлера: Е=М+« ажЕ (0(ь(1), которое связывает э к сцен три ч е ску ю анана ли ю Е планеты с ее сре дней а нам алией М [831 452, 2)). В силу этого уравнения Е является однозначной и дифференцируемой функцией от М, к тому же в нечетной.
Увеличение М на 2я влечет явныы образом н увеличевие Е на 2я. Отсюда ясно, что нп Е будет периодической функцией от М с периодом 2я и разлагается в ряд оо с и н у с а м дуг, кратных М: мп Е= ~ , 'йя ью аМ. л ! Остается определить коэффициенты Ью 1В« 548 [Тжу гл. ках, лиды ол ьн По формулам (21) п' 689 — Ь = в1пЕяпиМатМ= 2 л= аа сам иМ1м=а 1 Г а(в!и Е = — яп Е ° ~ -[- — сов иМ вЂ” аГМ, п [м=о и лм Вненнтегральный член обратится в нуль, так как при М = О (или и) также и Е =О (или л).
Заменяя в последнем интеграле переменную М переменной Е, длл которой промежуток изменения будет тот же, и учитывал само ураю пенне К е п л е р а, получим далее: л 1 Г 1 — — Ь„= — сов иМ сов Е ааЕ= — 'а сов(иŠ— иа в1пЕ) сажЕ атЕ= л — и 1 и 1 à — сов(и+1Š— иа япЕ)ЛЕ+ ~ сов(и — 1Š— паяпЕ) а(Е 2и [ 5) о Согласно известной интегральной формуле, выражающей функцию /, (х) Бесселя, — сам (яŠ— х яп Е) гтЕ = /ж (х) 1 л [см., например, п' 695]. Таким образом, 1 Ь„= — [Улэа (иа) + Ул-а (иа)]. С другой стороны, легко установить тождество — [ул+а (х) + уи а (х)] =ул (х). Поэтому Ьи= Ул (Иа)а 2 так что 2 жв 1 яп Е = — у — Ул (иа) яп иМ л 1 и, наконец, Е=М+2 7 — уи(иа) яплМ.
жэ 1 и г Полученное выражение эксцентрической аномалии Е через среднюю аномалию М играет важную роль в небесной механике. Ранее нами уже было найдено разложение величины Е по степенлм эксцентриситета а с коэффициентами, завнслщими от М [452а 2)]. Но оно годилось лишь длл значений 7211 549 Ч 7. ПРИЛОЖЕНИЯ «(О, 6627...
и, например, не могло быть применяемо для кометных орбит с большим эксцентриситетом; установленная формула свободнэ от этого недостатка, 721. Задача о колебании струны. Наиболее важные приложения ряды (и интегралы) Ф у р ь е имеют в области математической физики. Желая осветить эти приложения прииерами, мм начнем с классической задачи а нолебааии струны, которая сыграла важную роль в самой постановке вопроса о возможности тригонометрического разложения функции. Под с т р у н о й мы разумеем свободно изгибающуюся и невесомую нить.
Пусть такая струна, длины 1, закреплена концами в точках х=О и х=г оси х и под действием натяжения Н располагается в равновесии з вдоль этой оси (рис. 138). Пред- 77 ставим себе, что в момент 1=0 дг струна выводится из положения 77 равновесия и, вдобавок, точки ее снабжаются некоторыми скоростями в вертикальном направлении. МдхУ Тогда точки струны начнут коле- Рнс. 138.
баться в вертикальной же плоскости *. Если допустить, что каждзя точка М струны с абсциссой х колеблется строго вертикально, то ее отклонение у в момент времени т =- 0 от положения равновесия будет функцией от обеих переменных х и й у=у(х, 7). Задача и состоит в определении этой функции. Ограничимся рассмотрением лишь малых колебаний струны, при которых величины у и — малы (так что струна незначительно отдаляется ду дх от положения равновесия и остается пологой); эюа даем яам арало преяебрегамь кэадрапами эглих малых величаи, Возьмем элемент дэ=М'7>7' струны в момент времени Г (см, ркс,); его длину, в силу сказанного, можно считать равной его первоначальной длине дх=МН в начальный момент, ибо дз= ~77 1+ ( — У) дх«дх.
Раз мы пренебрегаем изменениями длины, то и натяжение струны мы можем считать неизменным. На выделенный элемент струны действует в точке М' натяжение Н, направленное влево по касательной в этой точке, а в точке Лг' — такое же натяжение, но направленное вправо по касательной. Если через а и « обозначить соответствующие углы наклона касательной, то сумма вертикальных составллющих этих сил (а только их нам и нужно учитывать) будет Н(нпй †«)=Н('(д ) — ~д ) ~=Н ) э дх.
Здесь мы снова воспользовалнсь правом отбрасывать квалраты малых величин (например, положили 11> « ду > эгп «= =те«= — у-), 1ьэ длу ' ду а затем приращение функции — заменили ее дифференциалом. дх э Плоскость рис. 138 мы и предполагаем вертикальной. [72! гл. хи. вялы ау ьй Если обозначить через р члинейнуюь плотность струны, то масса элемента будет э да = э дх. Тогда по закову движения Н ь ю то н а произведение массы элемента р дх на дту ускорение — должно равняться найденной выше силе действующей на этот дта элемент: дау д'у удх ° —, =Н вЂ” дх. стт дх" Полагая Н а = —, Р окончательно получим такое дифференциальное уравнение в частных производных: д'у, д'у — =а' —, дтт дХ* ' (2) которое и описывает изучаемое явление.
Кроме этого уравнения, искомая функция у =у (х, т) должна удовлетворять еще ряду требований, прежде всего — так называемым п р е д е л ь н м м или граничным условиям: у (о, г) = о, у ((, г) = о, (3) выражающим факт закрепления концов струны. Затем, если функции у(х) и д(х)ч (О~х( т) характеризуют отклонения и скорости точек струны в момент с=О, то должны выполняться и н а ч а л ь н ы е у с л о в и я: у(х, 0)=у(х), ' =л(х). (4) Таким образом, задача сводится к разысканию такой фу н кци и у(х, т), которая удав летн ар я па б ы уран нению (2) н усаовиям (3) н (4).
Начнем, следуя по пути, указанному Ф у р ь е, с разыскания ч а с т н ы к е ш е н и й уравнения (2), удовлетворяющих, сверх того, предельным условиям 3), но отличным от нуаевого решения (начальные условия мы пока оставляем в стороне). Упомянутые частные решения мы станем искать в виде произведения двух функций, из которых одна зависит только от х, а другая — только от ж у=Х(х) Т(г). Уравнение (2) в этом случае принимает вид ХТ" = а'Х" Т, где штрихи означают производные по той переменной, от которой функция зависит, или Т", Х" Т Х' (б) Так как левая часть этого равенства не зависит от х, а вторая — от Г, то общее значение их по необходимости не'зависит ни от х, ни от т и сводйтся * При х=о или х = ! обе функции, очевидно, должны обращаться в нуль.
721! 55! в т, пвидожвния к постоянной, которую мы возьмем в виде — а«Л«(при Л > 0). Тогда уравнение (5) распадается на два: Т" +а'Л'Т=О, Х" +Л'Х=О; (6) нх решения ( «общие интегралыь ) имеют вид: Т=А сш аЛт+ В з!п аЛт, Х=СсшЛх+«) мпЛх. Для того чтобы функция у=ХТ удовлетворяла предельным условиям (3), им должна удовлетворять функция Х. Полагая х=О, сразу видим, что С=О; полагая же х=! и учитывая, что Т) уже не может быть нулем, придем к условию л!п Лт=О, откуда Лт=яя при натуральном и. Таким образом, Л может иметь одно из следующих значений: (Т) Полагая прн Л=Л„ А()=а„, ВР=Ью придем к такой последовательности частных решений: у„=(а„созаЛ„т+Ь„мпаЛ„т) зшЛ„х. ! -1, з, з, ...1 Нетрудно видеть, что поставленным требованиям будет удовлетворять и сумма зтих решений, взятых в любом числе. Это наталкивает на мысль рассмотреть б е с к о н е ч н ы й ряд, составленный из всех таких решений, и положить у= ~ (ая с<ваЛлт+Ья з!паЛ„т) зшЛ„х.
л 1 (8) Мы примем пока, что зтот ряд сходится и что сумма его удовлетворяет уравнению (2); выполнение условий (3) очевидно. Теперь лишь обращаемся мы к н а ч альпы м у слов и ям (4) и постараемся распорядиться постоянными а„, Ь„так, чтобы удовлетворить и им. Допустим, что для ряда (8) законно почленное дифференцирование по й так что — у ( — а„аЛ„з!паЛ„т+Ь„аЛ„созаЛ„т) з!пЛ„х, ду жч дт — л~г л я (9) л 1 Полагая в (8) и (9) 1=0, приходим к условиям «ь СО ~ а„яп Л„х=у(х), Д', аЛ„Ь„юп Л„х=а(х). 1 (10) Отсюда„-если только функции Т и ф удовлетворяют условиям разложимости в ряд Фурье, по формулам (25) п 689 и определяются, наконец, искомые * Если бы мы взяли постоянное значение отношений (5) в форме а«Л«, то предельным условиям могла бы удовлетворять только функция Х, тождественно равная нулю, [72! 552 ГД.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
