Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 94
Текст из файла (страница 94)
в См. сноску иа стр. 423, з т. пэиложения 1 а„= — У(х) ом пх с(х, 1 з рн — — — у(х) 3!п их ьсх (22) !я-з, з. з....! для вычисления коэффициентов разложенив. Дела в том, чта функции, которые нужно подвергнуть гармоническому знализу, обыкновенна задаются т а б л и ц е й своих значений или г ра ф и к о и. Таким образом, аналитического выражения функции в нашем распоряжении нет; иногда к самому гармоническому анализу прибегают именно аля тога, чтобы таким путем получить хотя бы приближенное аналитическое выражение длв функции. В этих условиях для вычисления коэффициентов Ф у р ье нужно обратиться к приближенным методам. Разумеется, на практике приходится пользоваться лишь немногими первыми членами тригонометрического разложения.
Коэффициенты ряда Ф у р ь е в большинстве случаев быстро убывают, а с ними быстро падает и влияние далеких гармоник. Обычно даетсв (или снимается с графика) ряд равноотстоящих ординат, т. е. Ряд значений функции у, отвечающих равиоатстаящим значениям аргумента х. По этим ординатам величины (22) можно приближенно вычислить, пользуясь методами, изложенными в главе 1Х (б б). Но вычисления здесь оказываются давольно громоздкими, и для тато чтобы упростить и, так сказать, автоматизировать их, придумано много различных приемов, один из которых мы и изложим. Пусть, скажем, промежуток от О до 2к разделен на л равных частей и пусть известны ординаты Уе| Уи Узе "е Уз-ь Уа =Уе отвечающие точкам деления 2к 2к 2к О,—, 2 ° — ...,(й — 1) —,2к, А' д'"'' А ' Тогда по формуле трапеций [322[ имеем (канечно, лишь приближенно!): 1 2к[! 1 ае=2— ' — ~ — Уз+Уз+Уз+" +Уз-з+ 2 Уа~.
Ввиду периодичности нашей функции уз=ум и значение а, можно написать и так: Дае — Уз+ Уз+Уз+ ". +Уз-!. (23) е Мы возвращаемсв здесь к обозначению свободного члена в тригоноае! метрическом разложении череа а, ~а не — !. 226. Практический гармонический анализ. Схема для двенадцати ординат. Разложение функции в ряд Ф у р ь е, или гармонический анализ, оказывэетсв нужным во многих чисто практических вопросах машиноведения, электротехники и пр.
Но в этих случаях очень редко приходится непосредственно пользоваться формулами Э й л е р а — Ф у р ь е: (726 ГЛ. ХВХ. РЯДЫ ФУРЬЕ Лналагична, применяв формулу трапеций к другим интегралам (22), найдемт 1 2яГ 2»» 4я ам= — ° — 1ьуа+У»сазе — +У»созе — + ...+ Ь А 2(8 — 1) я1 +уз, соз е нли А 2я 4я — ам=у,+у,сазе — +у,оме — + „,+ 2(Ь вЂ” 1) я +уз, соз е (24) а также Ь, 2я, 4я 2(А — 1)я — Ье =у, з!и е--+у, яп е — + ... +уз, яп е . (25) 2 ' Ь А Ь Положим сначала 1=12 и будем исходить нз двенадцати ординат Уа Уь Уя " » Уи отвечающих двенадцати равнаотстоящим значениям аргумента: я я я 2я 5я 7я 4я Зя 5я 11»в 0 — я,—,— 6' 3' 2' 3' 6' ' 6' 3' 2' 3' 6 ' илн в градусах О', 30'» 60', 9(Р, 120', 150', !80', 2!О', 240', 270', 300', 330'.
Все множители, на которые придется умножать зги ардинаты, па формулам приведения сведутся к следующим: -~ 1; -+- яп 30' = .+- 0,5; ь яп 60' = +- 0,866. Именно, легка проверить, что 12оо = У» + У» + Ув +У» + У» + У» + Ув + Ут +Уз +Ув + У»о + Уи ба»=(ув+уи — у» — ув)зш30 +(у»+уи — ув — у»)яп60 +(уа — уо) ба»=(у»+у»+у»+уи — ув — у» — ув — у»о)а)п30'+(уо+ув — ув — ув) 1 бав =у» + У» +У» Ув Уа У»в (26) 6Ь»=(у»+ув уг — уи)вш30'+(у»+у» ув у»о)яп60 +(ув ув) ОЬ, = (у, + у, + у, + у — у — у, — у»а — у»») зш 60' 6Ьв=у»+у»+у» ув уг уи и т.
д, Например, ба, =у, +у, соз 30'+ у, соз 60'+у, соз 90'+у, соз 120'+у, саз!50'+ + у, соз 180'+ у, саз 210'+ у, соз 240' + у, сов 270 + +у,о сав 300'+ ум саа 330' =у, + у, яп 60'+ у, яп 30'— Уа яп 30' Ув зш 60' Ув Ут яп 60' Ув а!п 30'+У»о яп 30'+ +уи з1п 60', что совпадает с написанным выше вырекением. Для того чтобы свести выкладки (особенно — умножении) к минимуму, нх производят по определенной схеме, предложенной Р у нг е (С.
Квпйе). $7, пРилОжения Сначала выписывают в указываемом ниже порядке архипа т ы н над каждой парой подписанных одна под дру~ой ординат производят с а о ж е н и е и вычитание: ординаты Уэ Уэ Уэ Уэ Уь Уь Уэ Уьь Уьв Ув Уэ Ув суммы и, и, и, и, и, и, и, разности оь оэ ав оь аь Затем анзлогично выписывают зги суммы и разности и снова подвергают их сложению и вычитанию: сумм ьь разности и, и, и, и, и, ив и, ов ов оь оь суммы разности зв вь вэ зэ «э «ь «в с уммы разности бь вв аь Зь ав Теперь, получив после всех зтих сложений и вычитаний рнд величии а, «,с,а, мы можем следующим образом выразить через пих искомые козффициенты: 12а, = з, + л, + з, + зы 6и,=ав+0,866«, +0,5«п ба, = (зв — з„) + 0,5 (з, — з,), бств «э «в 68,=0,866(Ь, +З,), 6Вэ=в,— а, и т. д. (27) Нетрудно убедиться, чта зги формулы в точности соответствуют формулам (26).
727. Примеры. 1) На рис. 142 изображена диаграмма касательных усилий (на пальце кривашипа) для некоторой паровой машины в. В связи с вопросам а крутильных колебаниях вала представляет интерес выделить гарманические составляющие касательного усилия Т, как функции от угла т паборота кривошипа. Сняв с графика двенадцать равнаатстаящнх ординат, произведем гармонический анализ по указанной схеме: — 7200 — 300 7000 4300 0 — 5200 — 7400 250 4500 7600 3850 — 2250 — 7200 — 50 11500 11900 3850 — 7450 — 7400 — 550 2500 — 3300 — 3850 — 2950 — 7200 — 50 11500 1!900 ( ! — 550 2500 — 3300 — 7400 — 7450 38оΠ— 2950 — 3850 т) — 14600 — 7500 15350 1! 900 в 200 7400 7650 3 — 3500 — 1350 — 3300 2400 6350 * Подобные диаграммы строятся на основе индикаторных диаграмм с учетом сил инерции.
!727 Гл, х!х. Ряды Фульп Таким образом, Т = 429+ 1739 соз 7 — 1037 ып 7 — 6321 соз 2ч + 1263 а!п 27— — 1242 сов 37'— 33 миЗч+ .. Объединим члены, содержащие косинус и синус одного и того же >гла: 7' = 430+ 2020 мп (7 + 121') + 6440 мп (27 + 28 Г) + + 1240 з!п (3) + 268') + ... Мы видим, что наиболее сильное влияние здесь оказывает в т о р а я гармоника. Ьг дттдд -гтЗР т) зр т т гад ли хС Рис, 142. 2) Для того чтобы дать себе отчет в том, с какой, примерно, точностью поэ) каются коэффициенты Фурье функции цо двенадцати ординатам ее Теперь по формулам (27): 12а, = — 14600 — 7500+ 15350+ 11900 = 5 150; ба, = 200+ 7400 ° 0,866+ 7650 ° 0,5 = 10433; ба, = ( — 14600 — 11900) + ( — 7500 — 15350) ° 0,5 = — 37925; ба, = 200 — 7 650 = — 7450; 6Ь, = — 3500 ° 0,5 — 1350 ° 0,866 — 3300 = — 62 ! 9,' 6Ь, = (2400+ 6350) 0,866= 7578; 6Ьэ 3500 + 3300 200' а,=429, а, = !735; а, = — 6321, а, = — 1242, Ь, = — 1037„ Ьэ — — 1263, Ь = — 33.
з т. пзндбжнння графика, мы приложим изложенный метод к некоторым аналитически заданным фуйкциям и сравним приближенные результаты с точными, Рис. 143. Сначала рассмотрим функцию у(х), которая в промежутке (О, 2к) задается формулой у =.У(х) = —,, (х' — Зкх'+ 2к'х),' а для остальных значений х определяется по закону периодичности у (х+ 2к) =у (х), График функции представлен на рис. 143. Вычислим табличку'. При этом можно использовать легко проверяемое тождество: у (2к — х) = — г" (х). По схеме Р у н г е по этим значениям у найдем: Ьт=0,608 - Ьл=0,026ю Ьа =00221 все числа иь а с ними и все коэффициенты а„оказываются нулями(690,22)).
В то же время формулы 622) непосредственно дают (с помощью трехкратного интегрирования по частям): зи Ьм — — кл — т (х' — Ззх'+ 2кэх) мп юх гГх = —... 568 [727 гд. х|х. виды вэвьк так что Ьг = — „— — 0,6079, Ьа = —, = 0,0760, Ьа = —, — — 0,0225, 6 3 2 Совпадение превосходное( 3) Однако далеко не всегда получается столь точный результат.
В виде второго примера мы возьмем функцию с периодом 2ч, которая в промежутке [О, 2я] определяется так: у = у (х) = —, (х — я)э. Ес график дан на рнс. 144. Рнс. 144. Пользуясь очевидным тождеством: У(2я — х) =У(х), составим табличку: Тогда по схеме Р у н г е оэ=0,338; а,=0,414; а,=0,1!1; а,=0,056; числа же от и коэффициенты Ь вЂ” на этот раз нули [690, 22)]. Точные значения коэффициентов будут: эч а = — 1 (х — я)э ох = — = 0,333 э — 2вэ 2 зч 1 Р 4 пм= э (х — к)эсоэшхс(х=, л(ш~1), в частности, ат = — ' 0405' от= ='01011 аз= 9 э*ы0.045 4, 1 4 Тзким образом, если для первых двух коэффициентов относительная погрешность не превосходит 1,5 — 2'/в то для последующих она достигает 10э(э (а,) и даже 20% (а,)1 Ниже [730] мы еще вернемся к вопросу о точности йолученных нами приближенных формул.
Но уже и сейчас ясно, что дла повышения атой точности нужно брать больше ординат, 7Щ 569 % 7. Пэиложнния 7ла. Схема длн двадцати четырех ординат. Положим теперь, что дэны или сняты с графика двадцать четыре ординаты: Ув Уо Уз "ь уев отвечающих значениям аргулеента: 23я ' 12' 6 ' 4 ' ''' ' 12 ' или 0' 15' 30' 45', 345' На этот раз все множители, на которые при приближенном вычислении коэффициентов Фу р ь е приходится умножать ординаты, сведутся к таким: .+- 1, -+- нп 30, -+- з1п 45', ь ып 60', ь яп 75 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
