Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Действительно, если а(х) — произвольная функция, интегрируемая в со бст венцом смысле, то, в силу 579, !', [734 Гл. хх. Ряды ФуРье 1пгодолжение1 73ч. Равномерная аппроксимация функций. Теоремы Вейерщтрисси. Если какую-либо функцию у (х) в промежутке [а„д) ааппроксимируютьл с помощью другой, а(х), то качество втой аппроксимации можно, в зависимости от обстоятельств, оценивать по- равному.
Но, естественно, в основу во всех случаях кладется рассмотрение разности Г (х) =Т (х) — д(х). Если мы одинаково заинтересованы в малом отклонении одной нз функций от другой во всех отдельно взятых точках, то ва меру приближения принимают их максимальное отклонение в промежутке, т. е, число д= вир [г(х)!.
амата В этом случае говорят о равномерной аппроксимации функции у(х) с помощью функции й(х). Мы приведем две фундаментальные теоремы Вейе рш трасса, относящиеся к равномерной зппроксимации непрерывных функций, во-первых, с помощью тригонометрических многочленов и, во-вторых, с помощью обыкновенных (злгебрзических) многочленов. Теорема г. Если 4ункция г (х) непрерывна в лромезкутке [ — и, н) и удовлетворяет условиго у( — я) =у(я), то, каково бы ни было число а >О, найдется такой тригоно- метрический многочлен л Т(х)=а,+ ~Ч, '(а сов тх+р Мпогх), ла ! что равномерно для всех значений х в упомянутом яромевкутке будет [,Т (х) — Т (х) [ ( а.
(1О) Построим прежде всего такую к у с о ч н о- л и н е й н у ю функцию р(х), чтобы повсюду в [ — н, к1 выполнялось неравенство )[ля этого разобьем промежуток [ — я, к] точками — к=ха<ха < ° ° ° <ха <хоп< ° ° ° < та=я иа столь малые части, чтобы в каждой из них колебзние функции У " То есть и р и б л и ж е и и о воспроизводят. з ь опвзлции нлд яядлми ви ьв было ( —. Функцию о(х) определим в промежутке [ — и, к], полагзя 2 ' ее в каждом отдельном промежутке [хп хыг] равной линейной функции + Т(хьи) — У(х~) к;и — х~ которая на концах промежутка совпадает с Т(х).
По сути дела речь идет о впясывании ломаной линии в кривую, выражаемую уравнением у=у(х). Вели через т; и М, обозначить наименьшее и наибольшее значения функции Т в 1-м промежутке, то по условию М; — т, ( —, и так как в этом проиежутке значения обеих функций Т и о содержатся между т, и Мп то выполнение неравенства (11) во всем промежутке [ — к, в] удостоверено. Функция у(х) подобно Т(х) непрерывна в примежутке [ — в, в] и удовлетворяет условию но, сверх того, она, как кусочно-монотонная функция, имеет в этом промежутке ограниченное изменение [868, 1']. При этих условиях, согласно признаку Д яр ниле — Жордана [699], о(х) разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье: о(х)=па+ У, 'и созтх+р зштх.
ги=1 Следовательно, если в качестве многочлена Т(х) взять и-ю частичную сумму этого ряда при достаточно большом и, то он будет отличаться от р(х) меньше, чем на (12) сразу для всех рассматриваемых значений х. Из (11) и (12) вытекает (10). Возьмем теперь последовательность [зь] убывающих до нуля положительных чисел и для каждого числа з=а„построим многочлен Т= Т„(х), о котором была речь в доказанной теореме; тогда получится последовательность [Ть(х)[ тригонометрических многочленов, которая сходится к функции Т(х) р а в номер но в промежутке — Переходя обычным образом [427] от последовательности к бесконечному ряду, получим другую формулировку теоремы, очевидна, равносильную прежней: при указанных в теореме 1 условиях функция Т(х) рпзлпгпется в р а в н о м е р и о сходящийся ряд, членами которого являются тригонометрические многочлены.
[734 гл. хх. эяды ви ьв 1пеодолжвнив> Из теоремы 1 уже легко выводится Теорема л. Если функция У(х) непрерывна в промежутке ]а, Ь], то, каково бы ни было число а)0, найдется такой целый алгебраический многочлен Р (х) = се + с1х + саха +... + с х", что равномерно для всех значений х в [а, Ь] будет ]г (х) — Р(х)](а. (13) Простой подстановкой х =а+ — (Ь вЂ” а) х' можно свести дело к рассмотрению промежутка [О, я], ибо многочлеи, целый относительно х', очевидно, будет целым и относительно х.
Чтобы не усложнять обозначений, будем считать, что первоначально данный промежуток и есть [О, в]. Распространим теперь функцию Т(х) на весь промежуток [ — я, я], Т( — х) Р(х) (О (х «= к), функция сохранит непрерывность и, очевидно, будет удовлетворять условию У( — в)=У(я). В таком случае по теореме 1 найдется такой тригонометрический многочлен Т(х), что для всех значений х между — в и я будет Мх) — Т(хи ( —. (14) Т(х)= ~Ч',сых . и=а В промежутке [ — в, я] этот ряд сходится ра вно мер но; поэтому, если отождествить многочлен Р(х) с п-й частичной суммой этого ряда, при достаточно большом и, то для всех х в промежутке [ — я, и] будет () ()]( (15) Остается сопоставить (14) и (!5).
Как и выше, доказанной теореме можно дать другую формулировку: функция у(х), непрерывная в промежутке [а, Ь], разлагается в этом промежутке в равномерно сходяиспйся ряд, членами которого являются целые алгебраические многочлены. Если заменить каждую из тригонометрических функций, входящих в состав Т, ее разложением по степеням х [404], то и функция Т представится в виде суммы повсюду сходящегося степенного ряда: $ Ь ОПЕРАЦИИ НАД РЯДАМИ ФУРЬЕ 736. Аппроксиа)ацня функций в среднеьь Экстремальные свойства отрезков ряда Фурье. При аппроксимзции функции У(х) з промежутке [а, э) с помощью другой функции л(х) можно стать и на другую точку зрения, предпочитая вместо равномерной близости этих функций требовать, чтобы функции были близки лишь «в среднем».
В этом случае за меру близости их можно взять их среднее отклонение 6'= — ~ [г(х)[1тх 1 а или, чего мы и будем держаться в последующем, среднее квадратичное отклонение ь 6" = — 'ь г' (х) 11х. Ь вЂ” а,1 а Вместо этого выражения, впрочем, удобнее рассматривзть более простую величину: ь Ь = ~ гь (х) г(х = (Р— а) 6"ь. а Обратимся вновь к 'рассмотрению произвольной ортогональноя в промежутке [а, б) системы функций [11,„(х)[ (т=О, 1, 2,...), интегрируемых с их квадратами [679). Пусть г(х) — заданная в том же промежутке функция, также интегрируемая с квадратом, и п— фиксированное натуральное число.
Поставим себе такую задачу: из всех линейных комбинаций первых л+1 функция Ф а.(-)=1.У.(х)+ЪЬ ( )+ "+ЬУ.(х) (16) при произвольном наборе коэффициентов 7ь 7„..., уа нанти ту, которая осуществляет н а н л у ч ш е е — в смысле среднего квадратического отклонения — приближение к функции у(х).
Иными словами, требуется добиться наименьшего значения для величины ь 11„= ~ [у (х) — а„(х))' Ых. а Подставив сюда вместо а„(х) ее развернутое выражение, получим: ь а Ь Д„= ~Уч (х) 11х — 2 ~ч", 7 ),У(х) 7 (х) дх+ а О а л ь ь + Х 7' ~ 6[ (х)1)х + 2 Х т»7 ~ 'Ь (х) 7 (х) 11х. и а а Ьсль а 584 1736 гл. хх. Ряды Фукав 1ПРодолжвннв) Последняя сумма исчезает ввиду ортогональиости нашей системы. Вводя постоянные ь Л =~~р' (х)Ых О и (обобщенные) коэффициенты Фурье функции 7(х) с„= — 17"(х) р (х)бх, и 3 а можно переписать выражение для Ь„в виде Ь„=~Уз(х)бх — 2 ~', Л,„смТ,„+ Я Л„,.Д.
Чтобы под знаком суммы получить полные квадраты, нужно ввести туда еще члены Л с,'„. Добавив их с плюсами и с минусами, окончательно получим: Ьи $ гз (х) бх л~ Ласщ + ~~ Лм (Та см) Теперь ясно, что Ь„достигает своего наименьшего значения тогда, когда обращается в нуль последняя сумма, а это будет при То = о Тг = с1 " ° Т« = с« Таким образом, из всех многочленов аида (16) именно отрезок (обобиаенного) ряда Фурье з„(х) = сьоь (х) + с,р, (х) +... + с„о„(х) доставляет величине Ь„наименьшее возможное для нее зна- чение 8„=$ Я(х) — з„(х))а Ых=$уч(х)бх — ~~~~ Л с'. (17) Снова наше внимание приковывается к коэффициентам Ф у р ь е как, в некотором смысле, «лучшим» из всех возможных! Важно отмети~ь при этом, что коэффициенты, оказавшиеся «лучшими» прн фиксированном и, сохраняют свою роль и при ббльших значениях и, к ним лишь присоединяются еще новые коэффициенты! Равенство (17) называют тождеством Бесселя.
Из него получаются неравенства » ь ~Ч', Л„с' ~~Уз(х)бх »»-и а 7ЗЩ $ к ОпеРАции над Рядлмн Фувьв и (если перейти к пределу при и-»+ оо) СО » 'Я Л с''(~у«(х)йх. (18) Это — неравенство Бесселя. Любопытно, что ряд в (18) оказывается всегда сходящимся, лишь бы функция У(х) была интегрируема с квадратом. При возрастании н величина й„у бы в а е т, поскольку в ее выражении (17) добавляются новые отрицательные слагаемые. Чем больше я, тем ближе сумма г„(х) «в среднем» подходит к рассматриваемой функции Дх).
Естественно возникает вопрос: можно ли эа счет увеличения н добиться сколь угодно малого среднего квадратического отклонения, т. е. стремится ли э„к 0 при н-»ооР Если это выполняется, то говорят, что сумма в„(х) сходится к функции У(х) «в среднем» (что — подчеркнем это — вовсе не предполагает «точечной» сходимости в, (х) к г (х) в обычном смысле слова). Из тождества Бесселя ясно, что тогда (и только тогда), имеет место равенство 1ср.
(18)1: ~ Л е* =)7'"(х)1х. т 0 а Следуя В. А. Стеклову, мы будем называть его уравнением ва мннутоета. Обычно, впрочем, его называют р)орлулой Па р с еваля (М. А. Рагаеча1), по имени ученого, который еще в начале Х1Х века рассматривал подобную формулу для тригонометрической системы (без какого-либо обоснования). Если уравнение замкнутости выполняется для каждой функции у(х), интегрируемой с квадратом, то саму систему (Р„(х)) называют за.нхнулгоа.
Применим теперь все сказанное в частности к тригонометрической системе (9). Вместо сумм вила (16) придется рассматривать тригонометрические многочлены 8„(х)=А«+ Я А сов гпх+Вмз1п лгх и исследовать осуществляемое ими приближение «в среднем», которое характеризуется величиной (736 гл, хх. »яды эг ьв <п»одолжвннв! Оказывается, что при фиксированном и наименьшее значение этой величине доставляет соответствующий отрезок ряда Фурье а, в„(х) = — '+ ~! ам соз тх+ Ьм з!и тх.
»«! Само же это наименьшее значение дается равенством Ь„= ~ [у(х) — в„(х))айх= « » = ~п«« —. я",~»»-»«!«~ «««« » »«! («тождестзо Бесселя»), Из него вытекает, как и в общем случае, сходимость ряда, составленного из квадратов коэффициентов Фурье: ф+ ~~! ( '+дД) — „' ~Р(х)й »«=1 » («неравенство Бе с сел я»). Для рассматриваемой конкретной системы (Я) мы в состоянии полностью решить поставленный в общем случзе вопрос, что и будет выполнено в следующем в'. 736. Замкнутость тригонометрической системы.
Теорема Лапу- нова. Имеет место следующая замечательная теорема, строгое доказательство которой (для случая ограниченной функции) впервые было дано А. М. Л я п у н о в ы м. Теорема. Какова бы ни была интегрируемая с квадратом функция у(х), всегда 1!ш3„=0, и со и выполняется «уравнение замкнутости» а3 + «~1 ( , + ,, 1 »«=! « (20) (У( ) - Т(-И<1у',—., До клзлтв льсти о мы разобьем на несколько этапов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
