Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Х!Х. РЯДЫ ФУРЬЕ коэффициенты: ! 2 2 ал= — ~ г(х) япЛ»ха(х, Ь» — — — 8(х) япЛ»х((х. (11) л= аЛ»1 > Мы полу чили, таким образом, по крайней мере ф о р и а л ь н о, полное решение поставленной задачи в виде ряда (8) с коэффициентами, вычислен- ными по формулам (1!)! Правда, вопрос о том, будет ли оно д е й с т в и т е л ь н о решением, пока остается открытым. Для того чтобы ответить на него, наложим теперь требования на функции у и у; именно, пусть функция д будет дифференцн- р>ема, а функцив у дважлы дифференцируема, причем производные у" н а' предположим имеющими огранвченпое изменение в промежутке [О, 1), Тогда имеют место такие оценки *: а„=о(1,), Л„ьл=о( ~,).
Оба разложения (10) в действительности имеют место во всем промежутке [О, 1); сходится и разложение (8), причем определяемая им функция удовлет- воряет как предельным, так и начальным условиям (почлеиное дифференци- ованное по т теперь оправдывается р аз н о и е р н о й сходимостью ряда(9)!). есколько сложнее удостовериться в том, что эта функция удовлетворяет самому дифференциальному уравнению»».
Заметим, что ряды (!О) сходятся и за пределами промежутка [О, 1]; обо- значая их суммы по-прежнему черезу(х) и н(х), мы получаем, таким образом, распространения этих функций на весь бесконечный промежуток ( — ят, +со) с сохранением их дифференциальных свойств, за йсклю- чением разве лишь точен вида Ь( при целом й, Ряд для 8(х), равномерно сходя- щийся в любом конечном промежутке, можно почленно проинтегрировать, так что ! — ~) Ь„соэ Ллх= — д, (х), л где д, (х) есть одна из псрвообразных для функции и(х). Раскрывая скобки в (8), можно переписать это выражение в виде у=- — ~ у а„а!пЛ»(х+а1)+~~~~аляпЛ» (х — а()— 2 1»~а ! — ~ Ьл сиЛ»(х+ »1) + ~Ь„сов Л„(х — а() ~ = ! 1 ( 1 1 = — ! у (х+ а!) + у (х — а1) + — д! (х+ а() — — д! (х — а() ~ 2 а а " Это следует из общих формул (21) и 708 и замечания п' 709, замена промежутка [О, я] промежутком [0,1], конечно, несущественна.
При этом естественные условия У(0)=У(1) =О, К(0) =К(1) =О, связанные с закреплением концов струны, как раэ и влекут за собой равенство нулю величины, обозначенной там через йл. »* Почленным дифференцированием установить это можно было бы, лишь наложив чрезмерно тяжелые ограничения на функции у и д, чтобы повысить порядок малости коэффициентов а„и Ьл. % т.
пРилОжения Дважды дифференцируя по 1 и по х, теперь уже легко убедиться в выполнении уравнения (2)1 Решение рассмотренной здесь задачи можно было бы получить и непосредственно в последней форме, ио решение в форме тригонометрического ряда (8) имеет преимущество, ибо позволяет вскрыть важные физические особенности изучаемого явление. Объединяя в (8) оба члена в скобках, перепишем разложение так: «» иг , lияа у= 1) А,згп — хяп( — 1+» 1!. Я1 ° л=! Мы видим, что полное колебание струны слагается из ряда отдельных колебаний ив .
/ияи у„= А„яп — х яп ( — '1+ л ~1. и) ° Участву»о!цие в таком злемеитариом колебании точки струны все колеблются с одной и той же частотой или, если угодно, с одним и тем хге периодом, которому отвечает тои определенной высоты. Амплитуда колебания каждой точки зависит от ее положения; оиа равна Ал! яп — х).
Вся струна разбивается иа и равных участков, причем точки одного и того же участка находятся всегда в одной и той же фазе, а точки соседних участков — в прямо противоположных фазах. На рис. 139 изображены последовательные положения струны для случаев и=1, 2, 3, 4. Точки, отделяющие один участок ат другого, иаходягся в покое; это — так называемые «узлы». Середины участков («пучности») колеблются с наибольшей амплитудой. Описанное явление носит название стоячей волны; отсюда и сам метод Фурье обычно называют методом еяоячлх воли. О с и о в и о й т о и определяется первой составляющей у,', ей отвечает яи чзстота»»»= — '~ — у ~ и период Т =21 ~! Р Остальные тона, од- 1 ~У— Р ! ~у -И.
повременно с основным издаваемые струной, или о б е р т о и ы, характеризуют определенную «окраску» звука, или его те м бр, Если изжать пальцем в середине струны, то сразу заглохйут как основной тои, так и нечетные обертоны, для которых там была пучиость. Четные обертоны, для которых иа середину струны приходится узел, все сохранятся; среди йих роль основного будет ! играть второй обертон, с периодом Т, = — Та и струна станет издавать о к- 2 т аз у первоначального тона. Все зто можно прочитать па полученному решеиию вашей задачи) 722.
Задача о распространении тепла в конечном стержне. Пусть имеем тонкий однородный стержень длины 1, расположенный между точками х=б и х=1 па оси х, Сечение стержня, площади в, мы считаем настолько малым, что всем точкам сечения в каждый момент можно приписать одну и ту же температуру, Боковая поверхность стержня предполагается изолированной от окружающей среды в, В начальный момент 1» 0 в Вместо стержня можно было бы представить себе бесконечную стену между плоскостями х=0 и х=1, в предположении, что в каждой перпендикулярной к оси х плоскости сохраняется един н тат же тепловой режим.
(722 гл. х!х. эяды озвьи дано распределение температуры и вдоль стержня, хзрактеризуемое функцией у(х)(0(х(!); кроме того, указан тепловой режим, поддерживаемый на концах стержня. Задача состоит в определении температуры точек стержня, как функции от абсциссы точки х и времени ж и=и(х, т). Рассмотрим элемент стержня между сечениями х и х+ дх. Количество тепла, которое за бесконечно малый промежуток времени да пройдет через левое сечение внутрь элемента, выразится так (ср. 666, 2)): ди — да — - и, дх где л есть акоэффициент внутренней теплопроэодностиэ стержня; знак минус объясняется тем, что тепло переходит от более нагретых мест к менее нагретым, Аналогично этому через правое сечение вовне проходит за тот же промежуток времени количество тепла т ди д'и — ла ! - — + — дх) дг; ( дх дх" изменив здесь знак, мы получим количество тепла, прошедшего через упомвнутое сечение справа налево, т.
е. внутрь элемента. Таким образом, общее количество тепла, накопившегося в выделенном элементе за промежуток времени дй будет: д'и яа — дх Ф. дх' Это количество можно подсчитать и иначе, исходя из того, что им обусловлено ди повышение температуры на — Ш. Если через с и Э обозначить, соответственно, теплоемкость и плотность веществз стержня, то затраченное на это тепло выразится так: ди еаа отх ° -~- дй Приравнивая оба выражении, придем к основному дифференциальному уриаяеяию теялопроаодносшш ди, д'и — пав дт дх" (!2) где для краткости положено и= ~/ (Впрочем, это уравнение можно было бы получить из общего уравнения ди — =и'Ьи, дт выведенного для пространства в и' 6!2, 3', если считать и не зависящим ни от у, ни от г) (а) Предположим сначала, что на обоих концах стержня поддерживается постоянная температура, скажем, О.
Это приводит к таким пред ель н ы м условиям: и(0, С)=и(т, С)=0 (т)0). з т. Впиложения Выше мы упоминали уже а начальном условии: и (х, 0) = Т (х) (О ( х ~ 1), (13) причем в связи с предельными условиями необходимо предположить у(0)= =У(1)=0. Для разыскания функции и(х, 1), удовлетворзющей уравнению (!2) и всем поставленным условиям, применим. метод Фурье. Пусть, как и выше, и=ХТ, тзй что уравнение принимает вид: Г Х' ХТ =а'Х" Т или — = и' —- Х ' если постоянное значение этих отношений положить равным — и'Л'(Л)0), то уравнение разобьется на два: Т'+а'Л'Т=О, откуда Т=Се (14) Л"'+Л'Х=О, откуда Х= АсозЛх+В ып Лх.
(15) так что Л может принимать лишь значения (7), как и в предыдущей задаче в. Палагав ВС=Ь„, получим такой рзд ч ас т н ых р е шенин: и =Ь е л'лат агпЛях. л= я ш=!, з, з, ...! Общее решение возьмем в форме рада и= ~ , 'Ь„е л "л л!п Л„х, л=! (16) Желая удовлетворить начальному условию, мы должны положитап Х ° 7 = Ь„мп — х =У(х) (О( х ю.
1). и ! Если функция у(х) непрерывна и имеет ограниченное изменение, то для осу- ществления етого разложения достаточно взять: Ь„= — У(х) ! — (х. 2Г . яях я На этот раз установление того факта, чта форм аль нос решение (16) является н действительным решейием, не представляет затруднений. Наличие множителя лллткт т э е-атЛл! позволяет дифференцировать ряд (16) почленно — по 1 и дважды по х, ибо получающиеся ряды сходзтсл равномерно относительно х(0(х<!) и отно- сительно 1(1)я) 0).
з См. сноску на стр. 551. Для того чтобы функция ХТ удовлетворяла предельным условиям, необходимо, чтобы было А=О, Лг=ля (где н=1, 2, 3, ...), 1722 556 ГЛ. Хгд. РЯДЫ ФУРЬН б) Пусть теперь на конце х=! поддерживается постоянная температура и„ а второй конец х =0 изолирован, так что через него никакога движения тепла не происходит. Этим предположениям отвечают предельные условию «(1, !)=ин ' =О.
ди(0, !) дх Начальное условие сохраплем в прежнем виде. Удобнее, впрочем, ввести взамен и новую неизвестную функцию о, положив и=и, +о. Для о имеем, очевидно, такое же уравнение: до, дэо — = а' —.. д! дк-" Предельные условия заменятся более простыииг о(1, т)=о, ' =о. до(0, !) дк Наконец, начальное условие преобразуется так: о(х, 0) =у'(х) — и,. Налагая, как обычно, о = ХТ, получим для Т и Х прежние выражения (14) и (15). Так нак дХ Их — = — ЛА мп Лх+ ЛВ соя>.х, то второе предельное условие даст В=О, а иэ первого получим: о лт=о, так чта на этот раз Л может принимать значения Л = 1~ Ла 321-,...,Л =(2л — 1)— 2! ''" Окончательно приходим к такии частным решениям: ол= иле л саят,лх, — аз 1~! 1л=1, з, з, .,з из которых и составляем общее решение Оа -атЛл! т о= ~иле л сов Ллх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
