Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 90
Текст из файла (страница 90)
2) Рассмотрим теперь функцию, определенную равенствами 1 для 0(х(а, 1 /(х)= — для х=а, (а)0). 2 0 для х>а В этом случае а - /2 Г - /2ыпах Р,(х)= У вЂ” соэгхаг= У— я У ° Если, желая и на этом примере проверить формулу Ф у р ь е, мы найдем косинус-преобразование для полученной функции, то придем Мы узнаем в этих интегралах известные уже нам интегралы Л а п л а с а (5Л~ 4 ). Таким образом, в лице пар функций $ В. ИНТЕГРЛЛ ФУРЬВ к гразрывному иножитеаюг Дирихле [497, 9Н 2 Г ипаг соз гх аг я г значение которого действительно совпадает с исходной функцией у(х)! Аяа- логично а Г2 1' /21 †сав Р (х) = "Уг — мпгхаз ="~/ х и т. д.
Многочисленные примеры преобразований Ф у р ь е читатель найдет в п'719. 717. Некоторые свойства преобразований Фурье. Представляет интерес изучение свойств преобразований Фурье Р(х) функции г (х), исходя из тсх или иных предположений относительно этой последней. Прежде всего, если функция т (х) абсолютно интегрируема в промежутке [ — оо, + со), то функция + со Р(Х)= 1 ~ Е(и) Е'ггэ11 )' 2к (19) непрерывна во всем этом промежутке и стремится к нулю при х-ь +. со. Непрерывность следует из того, что написанный интеграл равномерно сходится при и=+'со относительно х, ибо мажорируется сходящимся интегралом 1.7(и) )Ыи, которые при х-ь + со все стремятся к нулю. Последовательно дифференцируя интеграл (19) по параметру х под знаком интеграла, получим: + ОЭ Р (х) = = ~,у(и) и~е~г" г(и.
)Г2к 1г Пз,...,а1 не содержащим параметра х. Показательство копируется с доказательств теорем 1 и'618 и 2 п'620 с ссылкой на теорему 1* и'610 (вместо теоремы 1 п'606). Что же касается поведения функции Р на бесконечности, то оно устанавливается на основании заключительного замечания и'712. Предположим теперь, что х"Г(х), где и — натуральное число, также абсолютно пнтегрируема в промежутке [ — оо, + со). Тогда функция Р(х) имеет и последовательных производных Р'(х), ..., Р1а1 (х), )718 гл. х~х. вялы пиьв Этот интеграл сходится равномерно относительно х ввиду наличия мажорирующего интеграла + СО ~ !/(и) иь!агг, !цп х»Р(х)=0, Это непосредственно следует нз выражения для Р(х): + ьь Р(Х)==( — ) ~ у!л1(п)ег»лАи, которое получается последовательным интегрированием по частям 718.
Примеры н доволпеннв. !) Показать, что коспнус-прсобразоаапие 1 — — »3 функции е совпадает с нею же самой. Действительно, по формуле п 519, 6) (а): 1 / / 1 2 à — — ы /2 /и — т»' — е л соэгхд»=11/ — ° 1т/ — е г =е г/ и г/ 2 Дифференцируя это равенство по х, придем к заключению, что спнус- 1 — — »ь преобразование функции хе тождественно с нею самой. 2) Установить формулу: 2 Г пп'г (а) — —, соэ 2гх сгг = ~ п~ г' (б) — 1п сол хг дг г ! — х, если Осх( 1, О, если хге !.
! — е" (х . О). х чем н обосновывается право на применение правил Л е й б н и ц а. Доказательство копируется с доказательства теоремы 3 п'620 с ссылкой на теорему 3* пч 610 (вместо теоремы 3 и' 607). Поведение производных на бесконечности н здесь устанавливается с помощью заключительного замечания и'712. Итак, дифференциальные свойства функции Р(х) в основном определяются поведением функции /(х) на бесконечности.
Наоборот, по дифференцнзльным свойствам функции /(х) можно в некоторой степени судить о поведении функции то(х) на бесконечности. Именно: если функция У(х) и ее последовательные и — 1 производные сгпремятся к нулю прп х -ь '+- со, а и-я произлодная )' »! (х) абсолютно ннтегрируема е промежутке [ — сю, +со), то 2!8! й а.
интеГРАл вРРье Указании. Вычислить косинус-преобразование функции от х, уназанной справа, и воспользоваться соцряженностью обеих функций, (условия применимости формулы Ф у р ь е выполнены!). 3) Решить интегральное уравнение: и(2) яп лх о12 =У(х) для случаев, когда — 21п х для О ~х~ я (а) у(х)= 2 0 для х)я, или 2 — соах для 0(я~я, (б) у(х)= для Х я 0 для х) я. У к А з А н и в.
Решением будет синус-преобразование для функции 2 — у (х), Ошаеш. (а) (б) хт! 1 — х' ' 1 4) Показать, что функция = является одновременно своим собствен- У. х ным косинус- и синус-преобразованием. Имеем, например, СО оъ 2 Г мпхл Г2 1 Г а!п! 1 — = аз= "агг — ° = = и!== (022, 5'). ф'2 и )1Х 8 Р'! )'Х 5) Использовать синус-преобразование функции 1 2222+ 1 для получения нового интеграла. По формуле и' 519, 8) (б) упомянутое преобразование будет 22 ( Так как исходная функция удовлетворяет условиям применимости формулы Фурье, то она, в свою очередь, является синус-преобразованием только что приведенной функции.
Учитывая значение интеграла ЫПХ2 и — с(2 = — (х) О), 7191 4 а. НнтнГРлд ФРРьн (б) формулу (15) для функции г зрп т 6 (х),! т г (интегральный синус). Установленные нами условия применимости формул не соблюдены! (а) Рвшвни в. По формуле п 497, 19) (а): к 1 СО СΠ— — дая х)1, 2 х .рГ2 Г г созе рор (Х) = — ~~ — 1 СОЗ Хи пррр ~ — рту = 1 ., / „ Й вЂ” — ф — дая х=1, О для х(1. Далее, 2 Г Г срмхг Г созе — Гр (г) соз хг Ртг = — 1 Пг = — ~ — от = с! х.
л ;) т р (б) У к л э ли и в. Испольэовать 497, 19) (б). 1 9) Проверить обе формулы Фурье (14) и (15) для функции —, где О ( з .с 1. В силу 539, 3), ~/2~ * У *' Г (з) соз— 2 а затем 1 ~ с<мех 1 ррз г' ' яз Х (з)Ом — 5 1 (з)сочв 2 2 2 . к(! — з) г (! — з) ом— 2 рр О при х)1, рр (г) соз гх р!г = ( ( )р 1 — х' Поэтому 2 Г 2Г, пх 2à — ссм пх рта ур (г) соз ги ртг = — ари = — соз (х зпт Ч) ррт рр Я бз Р'1 — и' что действительно равно /р(х) (ср.
695). 1 Эта ирзвно — [если учесть формулу дополнения дяя функции Г, 531, 5'). Аналогично проверяется и формула (15). 10) Проверить формулу Фурье (!4) для функции Бесселя с нулевым значком, у,(х). Мы имели в 524, 5): р!в гп.
к~к. виды вквьв' 11) Рзссмотрим (при и=О, 1, 2...,) функцюо у(х), определяемую ра.- венствами 1 у(х)= (1 — х') для О~х(1, 0 для х) 1. Ее косинус-преобразование равно ! ! Г2 и л —— Г, (х) = ~/ — (1 — л') т соз лх г(л или, если косинус разложить в ряд и почленно проинтегрировать: ОЭ 1 1 - Г2 ,ха Г,„, л — —, Р, (х) = У вЂ” Ун ( — Ц' — л'" (1 — л') т г!л. я л'з 2т! ,=з Но, в силу 534~ 1), Т(,+ )Г(я+ — ) 2 У(ч+ и+1) Поэтому, вспоминая разложение бесселевой функции со значком я (395, 14)], окончательно получим: Так как для исходной функции условия приложнмости формулы Ф у р ь е выполнены, то косинус-преобразованием для функции Р (х) должна быть именно исходная функция.
Это приводит нас к интересному интегралу: ОЭ 1 уя (л) созахбл= и (1 — х') з при О~х(1, 0 при х )1. При я=О отсюда получается уже известная формула (524, 5)!. 12) В выражении интегрального логарифма Вл = — (0(л(1) Г бг ~ 1пс положим л=е "(х)0) и Г=е л; мы получим: 1 з а(! лл) з хю ч о г" ли 11е "= — ба —. б ие" (2ч — 1)В (2Я вЂ” 1)В 2" " ' (ч+ я)! 210! % а. ЯнтеГРАл ФуРье Так как при х ) 1 « а при 0(х(1 1 — ( ! !п х !, а»и то )11е т! интегрируема от 0 до + со, и обе формулы Фурье (14) и (16) заведомо приложимы. ' Найдем косинус-преобразование функции й е «г У са са а» Г гуи — ! 1! е 'созеха»е= т㻠— 1 сов ахг(е 01 —. иея ° з ь е Интегрируя но частям, приведем его к виду: -аГ2 1 г, Мпех ч/ 2 ага!их »»е = — у У нх~ з — ~у и х (522, 2'!.
Отсюда, обратно, агс1п е я е — сга ех г(е = — — 11 е «(х) О) 2 — нами найдено значение нового интеграла! Аналогичным путем, использовав синус-преобразование, найдем другой интеграл: + ' мпех»те=* — вйе «а (х)0). 1п (1 + е») 13) Доказать, что в формуле Фурье а» +Ю у(х)= — ~ г(е ~ у(и)созе(и — х)а»и 1 о — о» при соблюдении каких-либо из указанных выше достаточных усаовнй внутренний интеграл может быть заменен интегралом по любому конечному про. межутку ь ~у(и) созе (и — х) а»и, а лишь бы только точка х дежааа между а и е.
а Промежуточный интеграл , ссн хе — 1 зегко вычисляется дифференцированием по параметру х. [21В ГЛ. Х!Х. РЯДЫ ФУРЬН У к аз ли ив. Взамен у(и) рассмотреть новую функцию, равную У(и) при а< и < Ь и нулю — для прочих значений и. 14) Пусть функция У(х) монотонно убывает (в широком смысле) в промежутке (О, + оз) и стремится к нулю при х + ов; в окрестности точки х 0 предйоложим зту функцию интегрируемой*, Доказать, что тогда ее синус-преобразование Р, (х) для х «О является н е о т р и ц а т е л ь н о й функцией. Из сделанных предположений прежде всего вытекает существование интеграла Рв (х) = 1 ~ У (г) в1п хг >гг у я 'о [476> 4Щ. Его можно представить н в виде суммы ряда (л+ 0 и в» х Р» (х) = г в у(г) в1п хг а>г> -> 2 л О л» х члены которого попеременно положительны и отрицательны'н, к тому же, по абсолютной величине убывают (ряд >лейбннцевского типа», 381).
Отсюда — требуемое заключение. 15) Пусть у(х) — ог р а н и ч е н н а я монотонно убывающая функция в [О, +п>~, стремшцаяся к нулю прн х +са. Предположим, сверх того> что для иее при х«0 существует отрицательная и притом монотонно возрзстающая (в широком смысле) производная Р(х). Доказать, что тогда косинус-преобразование Р,(х) есть не о три цате ль пан функция, ин т ег рир у е м аз в промежутке [О, + со]. Имеем, если 0< а <А <+ ош А А ~ [Р(х) (в(х= — ~ ~" (х) ах=у(а) — у(А), а а так что, ввиду ограниченности функции у(х), производная Р (х) ннтегри- руема в промежутке [О, + о»).
Отсюда же следует, что Р(х) 0 при х +со. Интегрируя по частям, получим: Г 2 >ч Р,(х) = ~/ — в г(г) сгвдг>тг= — у' —. ~ ~" (г) вшха>тг1 . °, 2 У ° .) х о з если к последнему интегралу применить доказанное в 14), то окажется, что Р, (х) «О. в Возможно, в несобственном смысле, если в точке х=О функция у(х) обращается в бесконечность. 719) % а. интеГРАл ФуРье Так кзк для функции у(х) выполнены условия прнложимости формулы Фурье, то при х=О получаем г)„.О) — )Г ) 1ш,[г) ),, г =У ) 1г.)*)х,, о в чем содержится и утверждение об интегрируемости функции Р,(а)! Замвч апик. Подчеркнел), что ни одна нз этих двух теорем не верна для преобразования другого типа.
Для функции у(х), рассмотренной в примере 2) и' 716, соответствующее косин ус-преобразование Р, (х) = 1/Г— меняет зн а к. 'Еслй же взять У(х) =е а" (пример 1) того же п ), то с и н у с-преобразование Г 2 х Р;(')= ~Г~— а'+х' ' котя и сохраняет знак плюс для х)0, но не интегрируем о в промежутке [О, + со[. 719. Случай функции двух переменных. Формула Ф у р ь е может быть распространена и на случай функции нескольких переменных у(х„хэ, ..., х„). Мы остановимся подробнее на функции двух переменных У(х„хэ), которуЮ мы предположим определенной во всей плоскости ( — оо, +со; — со, +оо) и к тому же днфф е р е н ц н р у е и о й по каждой из переменных в отдельности. Пусть, далее, при любом фиксированном х, функция у (х„хэ) абсолютно интегрируема по хт в промежутке [ — оо, +со] и, аналогично, при любом фиксированном х, она а б с о л ю т н о интегрируема по х, в том же промежутке.
Применяя при фиксированном х, к функции у(х„хэ) от одной переменной х, уже известную нам формулу Фурьеа (11), получиае Оь +)о 1 У (хт, х,) = — ~ гЫ»л ~ У(и„ ха) соз г, (и, — х,) г[ил, о — ОЭ Анзлогично и функция у(и„хт) от переменной х, при фиксирован- ном и, в свою очередь представляется формулой: ы +ьь 1 1'(ил, хэ)= — ~й алга ~ у(ил, и,) созг,(и,— х,)о)иа. а Условия применимости этой формулы здесь соблюдены в силу сделаннык предположений.
Конечно, эти предположения можно было бы видоизмо нить. 18 Г. М. Флхтеагольц) т, тп (71 9 546 гл. х~х, аяды эи ье Подставляя, придем к искомой формуле: со +со со 1 п.ь.а-. ) с, 1- *,о,— ос01с;м — со д + со со +со со 1 Г х) ль„о *,о,—.,и.,= )с, ~ с;)с,х + со Х ~ У(моиз) соз «,(и, — х,) сов«,(п,— х,) Низ. Так же, как это было сделано в 716, и здесь можно перейти к формуле, содержащей показательную функцию: у(хс, хз) = +со +со +со +ос ~ Ы«, ~ аи, ~ Д«а ~ у(ии из)е'~ смс «'+""' аы14(и„(20) если только интегралы по «, и по «, понимать в смысле главного значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
