Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 89
Текст из файла (страница 89)
(О) 1 з(п ат я з 714) $6. Ннтегвлл ФуРье где Д во всяком случае предположено столь большим, чтобы было х„— а ( ( — Н, х,+а ) Й Сразу ясно, что ! а) ь а (17(х,+си+(У(х,— 1)1) дг, так что при а О этот интеграл стремится к О, каково бы ни было й. Обращаясь ко второму интегралу, имеем по второй теореме о среднем значении (487), с учетом соотношения (7), у(х,- т) —,дг=у(х,- й) —,де= ян аг с" миаг аь' =у(х, - а) ~ ~ ' дг (й . а), в аь Так как второй множитель здесь есть ограниченнан величина (мы не раз об этом упоминали), а первый ввиду (7) может быть сдеаан сколь угодно малым за счет й, то зто же справедливо и относительно всего выражения, Соотношение (10), таким образом, установлено, и поведение выражений (8) иаи (9), как и раньше, оказывается зависящим лишь от интеграла, содержащего А.
рты выше доказывали предельное равенство .Иш [Г (х, + г) + у (х, — г)) — дг = О ип Аг А +со (где й — некоторое фиксированное положительное число), опираясь на абсолютную интегрируем ость функции у в б е с к о н е ч н о м промежутке. Это же можно установить и пользуясь нашими новыми предположениями.
В самом деле, считая й ) и, имеем Второй из интегралов справа можно трактовать так же, как и аналогичный интеграл, содержащий параметр а; первый же интеграл при А +со стремится к О по основной лемме и' 682, Теперь уже ясно,что признаки Дини и Дирихле — )Корда на [713) остаются в силе и при новых предположениях относительно функции у(х). Из всего сказанного выше, в частности, вытекает такое условие приложи- мости формулы Фурье: если функция у(х) имеет ограниченное изменение во всем бесконечном промежутке ( — со, +со) и, сверх того, выполняется предельное равенство (7), то в каждой точке х, интеграл Фу р ь е сходится и имеет значение Вт Действительно, при сделанных предположениях функцию 7(х) можно представить в виде разности двух ог р а н и ч е н н ых возрастающих функций ус(х) и уь(х), имеющих как при х +со, так и при х — — со равные (в силу (7)) пределы Л(+»=Л(+.»=ей Л( —.»=Уь( — »)= ".
ГЛ. Х!Х. РЯДЫ ФУРЬВ Введем теперь взамен у! и ус функции у! (х) — с' аля х)0, ~Л(х) — с' длн х)0, я,(х) = чс (х) = у; (х) — с" для х . О, (ус(х) — с" для х сО. Тогда по-прежнему но на этот раз у(х) = с! (х) — чс (х), 1пп ч,(х)= 1пп й,(х)=0, 716. Различные виды формулы Фурье. Предполагая выполненными достаточные условия применимости формулы Фурье, будем считать для простоты, что в рассматриваемой точке х функция у(х) непрерывна нли, если ргзрывна, то удовлетворяет условию У(х+ 0) +У(х — 0) ~(х) = 2 г т.
е что рассматриваемая точка является регулярной [684). Тогда во всяком случае имеем: сс +со У(х)= — с(г ~ У(и) созх(и — х)г(и. 1 Г (11) Ввиду того, что внутренний интеграл явно представляет собой четную функцию от г, эту формулу можно переписать и так: +се +со х)=2— ~ с(х ~,у (и) соа х(и х)с(и. 1 (12) Легко показать далее, что при сделанных в и' 712 [или п' 714) общих предположениях относительно функции г (х) существует и интеграл +Ос ~ У(и)з)пх(и — х)о!и. — О) Этот интеграл, к тому же, является непрерывной функцией от х* и, очевидно, нечетной. Хотя нельзя ручаться за существование для этой функции несобственного интегрзла от — со до +со, но он наверное *) Если в основу положены предположения и' 714, то исключение может представиться лишь при л=О.
таК ЧтО дпя КаждОй ИЗ ФуиКцИй то т, ВЫПОЛНЕНЫ уСЛОВИя 1) И 2); КРОМЕ ТОГО, в любой точке к зим применйм, очевидно, признак Ди рихле — Жо рда на. % 6. интегРАл ФуРье существует в смысле главного значения [4841, причем +а» +с» Ч.р. ~ Иг ~ У(сс) з1пг(и — х)ИЛ=О. Умножая это равенство на — и складывая с (12), придем к соот2а ношению + со +со ,с(х)= — ~ И ~ 1(и)аы" "'Ии, где наружный интеграл понимается в смысле главного значения. В этом виде формула была впервые представлена Коши. Воавращаись к формуле (11), напишем ее в виде СО + со Х(х) = — 1 соз гх Иг ~,1 (и) соз гн Ии + 1 Г 6 — СО ° О + СО + — ~ зшгхИг ~ у(и)61п гиИсс. 1 Г Если С'(и) есть четная функция, то + СО СО ~,с(и) сов гиИи=2 [),г(и) соз гиИи, — СО а + С:О $ у (и) 61п гсс Исс = О, и мы получим упрощенную формулу, содержащую лишь косинусы ,с (х) = — соз гх Иг Яс) соз шс Исс. 2 Г (14' Аналогично, в случае нечетной функции с (х) мы приходим к фор муле, содержащей лишь синусы: ~(х) = — зсп гхИг У(и) з!и гиИи.
2 (10' Пусть теперь функция Г(х) задана лишь в промежутке [О, .+ со' и удовлетворяет в этом промежутке условиям, аналогичным тем которые рзньше были постзвлены по отношению ко всему проме. жутку ( — оо, +оо). Тогда, распространяя функцию с(х) на про. межуток ( — оо, 0) с помощью равенств (х >0):. д — х) =у(х) или с ( — х) = — с (х), 534 (7!В гл. х~х. гяды ог ьн мы получим в первом случае четную, а во втором — нечетную функцию в промежутке ( — оо, + сю). 11ля положительных значений х (при соблюдении соответствующих достаточных условий) мы можем, таким образом, пользоваться как формулой (14), так н формулой (15).
Если в точке х=О предположить функцию г(х) непрерывной, то формула (14) и в этой точке приложима, ибо и продолженная четным образом функция сохранит здесь непрерывность. Формула же (15) вообще в точке х=О неприложима; она воспроизводит значение г(О) лишь в том случае, если это значение есть нуль. Эти соображения вполне аналогичны сказанному в п'689 о рядах Фурье. 716. Преобразование Фурье. Предположим, что формула Ф ур ь е (12) имеет место для всех значений х з промежутке ( — оо, + оо)— за возможными исключениями в конечном числе точек. Эту формулу можно себе представить, как суперпозицию таких двчх Фопмул в: + ОЭ Р(г)== ~ У(и)е""йи, )'2я т г(х) == ~ Р(г)е г"'дг.
(16) )/ 2в Функция Р(г), сопоставляемая по первой формуле функции г (х), называется ее преобразованием Фурье. В свою очередь, по второй формуле функция г(х) является (обратным) преобразованием Фурье (разница в знаке при В) для функции Р(х). Заметим, что функция Р будет, вообще говоря, комплексной даже при вещественной Я впрочем, можно было бы здесь и исходную функцию у предположить комплексной. Равенство + СО У(х) — = Р(г) е "'йг ! )'2я + СО Р(г)== ~,г (и) еы" йи. )г2и Естественно, эти равенства можно и поменять ролями.
Обратимся теперь к формуле (14); если она выполняется для всех положительных значений х с теми же исключениями, что и в Последний интеграл, если сделаны лишь те предположения относительно у(х), о которых была речь выше, понимается в смысле главного значения. где функция г(х) дана, можно рассматривать, как интегральное уравнение относительно неизвестной функции Р(г), стоящей под знаком интеграла. Решение уравнения доставляется формулой 71В) а 6.
интегРал ФуРье выше, то ее можно представить, как суперпозицию дауд — на этот раз вещественных и совершенно симметричных! — формул с — Р Р,(г) = 1тг — у'(гг) соз ян с(и, 2 Р (17) У (х) = ~/ — Р,(г) сов«ля. Г2 с Аналогично и формула (15) может быть разложена на две: Р (г)= 1гl — ~(и) з!и гиби, Г2 с (18) У(х) = ф — ~ Р, (г) з!п «г бг. о Функции Р,(г) и Р,(г) называются, соответственно, косинус- преобразованием илп синус-преобразованием Фурье для функции Дх). Как видим, функция г по Р, (или Р,) получается совершенно так же, как и Р,(Р,) по ~. Иными словами, функции У и Р,(Р,) в з а н м н о являются косинус-(синус-)преобразованиями. Коши назвал пары функций у' и Р, нли у' и Р„соответственно, сопряженными функциями первого и второго рода.
И здесь также каждое из равенств (17) 1или (18)) можно рассматривать как интегральное уравнение, в котором функция вне интеграла дана, а функция под знаком интеграла разыскивается; решениедается другим равенством. Сопоставляя функции Р, Р, и Р„ можно сказать следукмцее. В случае четной функции Дх) имеем Р(г) =Р,(г) (на значения гс, 0 функция Р,(г) распространяется четным образом), а в случае н е ч е т н оп Дх): Р(х)= ~'е( ) (на значения г (О функция Р, (г) распространяется н е ч е т н ы м образом). В общем случае функция У(х) разлагается на сумму четнон и нечетной функций: ~(х) у(х)+у( — х) „(х) у(х) — у( — х) 2 Тогда ь Р (г) = О, (з) + Ен, (г). ь сг„.
(е) обозначает косинус-преобразование дая функции «(х), а гт' (е) — синус-преобразование дая функции л(х). (Т(В ГЛ. Х1Х. ВЯДы ОГВЬИ В связи с этим обстоятельством достаточно ограничиться п р и м ер а м и косинус- и синус-преобразований.
1) Пусть функция /(х)=е ах (а~О, х)0); тогда ее косинус-преобразованием будет функция /2 Г /2 а Рг (х) = У вЂ” е а' сел гх мг = У вЂ” У ° ~ У я ат+х" а синус-преобразованием в функция Р (х) = У вЂ” е " мп гх ба = У— /2 Г /2 х я тт а'+х' Так как е ах интегрируема в промежутке [О, + ео), то должны иметь место н взаимные соотношения: —, бг=е ах (х)0) я а'+ г' — — — а'г=е "" (х)0), 2 Г га(пгх я ~а'+г* илн См Хг я — аг= — е а'+ г' 2а гяпхг Ь а'+ г' 2 / 2 а /2 х г-ах — и Е-ах я а'+ха я а'+х' мы имеем здесь примеры с о п р я ж е н н ы х ф у н к ц и й первого и второго рода (по Коши). Если бы интегралы Лапласа нам не были известны, то изложенная теория открыла бы путь к их вычислению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
