Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 96
Текст из файла (страница 96)
в Глава Х1Х была посвящена, главным образом, разложению функций в с ход я щи е с я ряды Фу р ь е; в ней зти ряды изучались лак вычислительный аппарат. В настоящей же главе мы становимся на более общую точку зрения н изложим ряд важных вопросов, представляющих преимущественно теоретичесний интерес, очевидно, непрерывну!о и с ограниченным изменением [486, 7; 868, 4']; к тому же она имеет период 2я, нбо 73![ 575 $1. ОПЕРАЦИИ НАД РЯДАМИ ФУРЬЕ Между коэффициентами рядов (1) и (4) существует простая связь. Действительно, если воспользоваться обобщенной формулой интегрирования по частям, установленной в пь 580, 9), то будем иметь (для я)1): к А„= — ~ Р(х) соз лх!(х= 1 = — Р (х) — — ~ У(х) з1п лх 0х, 1 з!пах 1 я л лл то есть Ьл А = — — ".
л' Аналогично, на этот раз с учетом равенства (3), получим ал Р л Для нахождения же Аз положим в (4) х=О! л ! л ! (5) Подставив в разложение (4) найденные значения коэффициентов, можем переписать его в виде 'Ю ал з!и лх+ Ь„(1 — с!и лх) л() ~~ л л ь ! Отсюда, если учесть равенство (2), имеем Очевидно, и для любого промежутка [х', х"1, где — и.(х'( х" (и, имеет.
место подобное же соотношение: г (х) з!х= ~ — '!(х+ ~~ ~ [а„сових+5„з!и их[с(х. н ! ь=!н Таким образом, интеграл от функции 7(х) «олучается «очленннгс интегрирован«ел! соответствующего ей ряда Фурье. Тот факт, что почленное интегрирование рядз Ф у р ь е оказывается всегда допустимым, тем более замечателен, что мы установили его, даже не делая предп-опожени я о своди мости самого ряда (1) к функции г(х)1 576 (781 гл. хх.
гиды елиье <пэодолженне! Ясно, что в качестве основного промежутка вместо 1 — и, и1 может быть выбран любой другой проиежуток длины 2и. Точно так же все скззанное относится и к рядам, содержащим одни лишь косинусы или одни лишь синусы (689~ и рассматриваемым в промежутке 10, и). Интегрированием известных тригонометрических разложений могут быть аох получены другие разложения. Член — в (6), если угодно иметь тригонометрическое же разложение, следует перенести в другую часть равенства. Некоторого внимания требует к себе свободный член —,: получить его в коцо .
2 вечном виде удается либо непосредственныи суммированием ряда (5), либо же интегрированием по формуле Ф=-' 1[ .)-ЫПоясним это п р и м е р о и. Бели проинтегрировать разложение Х пи их я — х — (О ч х(2я) и 2 н=! (см. 690, 2)] от О до х, то поаучим: Х 1 — солих и 1 = — х — — х', и' 2 4 н=! Отсюда Х солих 1, и — = — х' — — х+ с и' 4 2 (О ~х(2 ), причем с определяется либо как сумма ряда и=! либо как интеграл: тя — ~ ~ — х — — х!) бх=— о Таким образом, мы приходим к разложению, которое независимо было получено в 690, 9), Аналогично разложение в 7) (а) получается из разложения в 7)(б) и т.л. 3 л м к ч а н и в.
Подчеркнем, что проведенным рассуждением попутно установлен такой факт: какова бы ни была а бе плюса но инн<сгрируемая в промсжуглкс ( — н, н) функция У(х), ряд ~ ь. (5*) н ! где бн — коэффициенюы при синусах в сс ряде Фурье, необходимо сходимсяся (ср, 692, 2'). Ниже, в 758, мы воспользуемся этим замечанием. 577 з !. опвнацнн над андами Фг ьв 732. Почленное дифференцирование ряди Фурье. Пусть в промежутке 1 — я, и) задана непрерывная функция,г(х),удовлетворяющая условию 7( — ц)=у(ц) и имеюгцая (исключая разве лишь отдельные точки в конечном числе) производную у'(х); пусть, далее, эта производная сама оказывается абсолютно интегрируемой в названном промежутке.
Тогда ' ! (х) = ) г ' (х) йх+ г (О) о 13!О, 48!] и, как мы только что видели, ряд Фурье (1) функции 7(х) получается из ряда Фурье функции !'(х) г"'(х) ~~~ а,'соз пх+Ь„' з1п пх и 1 (7) почленным интегрированием, так как при наложенных на У(х) условиях свободного члена в последнем разложении не будет: ао —— — ~ У' (х) йх = — [У(я) — У( — и)) = О. 1 !' 1 В таком случае, очевидно, и обратно — ряд (7) для производной 7'(х) может быта получен из ряда (1), отвечающего данной фуннции 7 (х)„почленным дифференцированием.
Мы обращаем особое внимание читателя на ту роль, которую здесь играет предположение о п е р и о д и ч н о с т и функции г (х). При нарушении этого условия свободный член — ' ряда Фурье для !'(х) 2 был бы отличен от нуля, и уже по одному этому упомянутый рядне мог бы быть получен из ряда (1) почленным дифференцированием! Например, в случае разложения (а — не целое) и наал чт и л — — ( — 1) —, з!и пх 2 мпаи а' — л' и=! (664, 7) (б)) почленное дифференцирование приводит к ряду ;~ ( — ),."'„.- и 1 который заведомо никаким рядом Фурье быть не может, ибо его коэффициенты даже не стремятся к нулю 1682).
Замвчли ив. До сих пор мы говорили о возможности получения ряда фурье (7) для производной г'(х) путем почленного дифферешгирозания ряда Фурье исходной функции 7(х). При этом вовсе 19 Г, м, Фихтенгольц, т. ьц [783 578 гл. хх. гиды огвьв <пгодолжвние1 не было речи о сходи мости ряда (7) к функции г'(х); эту сходимость надлежит устанавливать особо, пользуясь теми или другими достаточными признаками [684, 686], Нужно отметить, что, ввиду появления при дифференцировании сових и з1п пх натуральных множителей и, порядок малости коэффициентов понижается и ухудшаются шансы на сходимость. Между тем, при решении с помощью рядов Фурье задач математической физики часто приходится дифференцировать эти ряды, и даже неоднократно.
Для обеспечения сходимости получаемых рядов иногда оказывается полезным предварительное выделение плохо сходя- шихся частей по методу А. Н, Крылова [710]. При этом сумма выделенной части, известная в конечном виде, дифференцируется непосредственно, а для остающегося ряда стараются добиться столь высокого порядка малости коэффициентов, чтобы н после дифференцирования получить зсе же равномерно сходящийся ряд.
733. Полнота тригонометрической системы. Если непрерывная в промежутке [ — я, а] функция у(х) имеет коэффициенты Фурье, все равные нулю, то и сама функция сводится тождественно к нулю. Действительно, в этом случае, как ясно из равенства (6), при всех х будет $ 7" (х) йх О, о (8) откуда, дифференцируя по х, именно ввиду непрерывности подинтегральной функции [308, 12'] и получим тождественно 7"(х) = О. Иными словами, кроме функции, тождественно равной нулю, не существует непрерывной функции, которая в промежутке [ — а, в]в была бы ортогональна [679] ко всем функциям тригонометрической системы 1, созх, з1пх, соя 2х, з1п2х...„сових, з1ппх,... (9) ч Или в каком-нибудь другом промежутке длины 2я.
Этот именно факт и выражают, говоря, что тригонометрическая система полна — в классе непрерывных функций. Если две непрерывные функции Л(х) и гя(х) имеют одни и те же коэффициенты Фурье, то они необходимо тождественны, ибо их разность 7,(х) — гя(х) будет иметь коэффициенты Фурье, сплошь равные нулю. Таким образом, непрерывная функция однозначно определяется своими коэффициентами Фу р ь е. Это лишь другая формулировка свойства полноты тригонометрической системы. 579 З !.
опивдцнн нлд эядлмн винье ОО ] у(х) а (х) дх = [З) ] й (х) др (х), где р(х)=~у(х) дх. При сделанных предположениях р(х)=0 [см, (8)], так что у(х) ортогональна к и (х). Отсюда аегко перейти к случаю, когда и(х) ннтегрируема в н е со бс т в е н н о м смысле. Пусть, например, точка я будет ее единственной особой точкой. Тогда, полагая п»(х)=а(х) в [ — я, я — «] («)О) и йв(х)=0 в (л — «, я], по доказанному будем иметь у' адх= ] у' й*дх=О. Остается лишь перейти к пределу прн «-ьО. Расширяя несколько понятие «полноты», можно утверждать теперь, что тригонометрическая система (9) полка э классе абсолютно интегрируемых функций.
Смысл этого таков: кроме функций, эквивалентных кулю, ив существует абсолютно интегрируемой функции, которая э промежутке [ — я, я] была бы ортогокалька ко всем функциям (9), Наконец, если две абсолютно интегрируемые функции имеют одни и те же коэффнпменты Фурье, то нх разность эквивалентна нулю. Если не считать такие функции «существенно» различными, то в некотором смысле можно сказать и здесь, что абсолютно интегрируемая функция однозначно определяел«ся своими коэффициентами Фурье. Зьмв чан ив.
Все сказанное сохраняет свою силу и порознь для систем 1, созх, соз 2х,..., сових,... з!п2х,..., э!ппх,..., или ио лнгпь в промежутке [О, «т]. !9' Если обратиться к рассмотрению и разрывных функций, то положение вещей может оказаться другим. Функция, которая, скажем, лишь в конечном числе точек отлична от нуля, уже не равна нулю «тождественно», но в то же время, очевидно, будет ортогональна к любой из функций (9), как, впрочем, и ко всякой интегрируемой (в собственном или несобственно нн о м си ыс л е) функции.
Можно представить себе функции, отличные от нуля даже в бесконечном множестве точек и в се ж е об л ада ющие последним свойством. Такова, например, функция у(х) ! [ср. 70, 8), 800, !)], Равная —, есаи х есть несократимая дробь вида -»- — ~ — (я), а в прочих точках промежутка [ — я, я] равная О. р lр «у ч Оанако функция, которая в рассматриваемом промежутке ортогональна ко в с я к ой вообще интегрируемой функции, не отличается «существенно» от н ля; мы будем называть такую функцию эквивалентной нулю. еперь можно доказать, что абсолютно интегрируемая л промежутке [ — я, я] функция у(х), коэффициенты Фурье которой эсе равна нулю, необходимо э клива лля тки кулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
