Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 98
Текст из файла (страница 98)
1'. Если функция г(х) непрерывна в промежутке ( — и, и! и удовлетворяет условию 1( — и)=у(я), то по первой теореме Вейерштр а сс а существует такой тригонометрический многочлен Т(х) (по'-рядок которого мы здесь обозначим через М), что 736] в ь опвгацнн над гидами етвьв где а — произвольное наперед заданное положительное чясло. Тогда ~ [г (х) — Т(х)]в Их(е. откуда [У(х) — а„(х)]' ~ 2 ЦУ' (х) — а' (х)]а + [Р'" (х) — г" (х)]в]* и, далее, 1 [Х(х) — а„(х)]' 4х ~ илн, короче: Заметим, наконец, что иэ тождества Бесселя [см. (19)], примененного к функции У', следует к 3 ~ 1 У Ых. — и Таким образом, окончательно 8„~ 2 ( 8', .~. 1 г (21) Это и есть нужное нам неравенство. а Мы пользуемся здесь элементарным неравенством (а+ Ь)' 2(а'+ Ь'). По экстремальному же свойству отрезка ряда Фурье [736], поскольку Т(х) при желании можно рассматривать как тригонометрический многочлен любого порядка п~М, н подавно, при п~М 3,= ~ [г(х) — а„(х)]аЫхс"е, так что 3„-ьО при л-ь'со.
2'. )(ля того чтобы распространить это заключение и на другие случаи, установим одно вспомогательное неравенство. Если интегрируемая с квадратом функция г(х) представляется в виде суммы У"(х) +у"(х) двух подобных же функций, то, обозначая штрихами относящиеся к ним величины, будем иметь У(х) — 8„(х)= К(х) — 8 (х)]+ У (х) — вл(х)] 688 гл. хя. аяды екаьв 1паодолжвнив> Зч.
Пусть теперь функция г(х) будет интегрируема в собственном смысле (а значит ограничена) в промежутке ( — к, к). Изменяя в случае надобности значение функции на одном из концов промежутка, можно считать, что К( — к)=г(к). Построим вспомогательную функцию р(х), как мы делали это при доказательстве первой теоремы Вейерштрасса (7341, причем дробление промежутка на этот раз выберем так, чтобы было где а — наперед взятое по произволу положительное число, ей — колебание функции У в 1-и чаатичним промежутке, а Я вЂ” полное колебание функции г" во всем промежутке от — к до к (297].
Мы полояшаа У"=9, У"=Х вЂ” 9 В силу 1; 8„ -ь О при и — ~. оо, так что, начиная с некоторого места, йл( 4 С другой стороны, так как в 1-м частичном промежутке !Х" (х)1= У(х) — ~ (х) ~ ~ но то Я х;+~ аа~ ' ' ~~4' й Хс 4 Теперь, ввиду (21), уже ясно, что для достаточно больших и будет 8„< а, и т. д. 4'. Пусть, наконец, функция У(х) будет интегрируема в несобс т в е н н о м смысле, но обязательно с квадратом, Лля простоты предположим, что при этом единственной особой точкой для (я для У') будет х=к.
Тогда по заданному а >О можно найти такое 4) О, что будет Положим в этом случае У'(х) = ,у(х) при — к~хс"к — т1> О при х~в — т1 737) 599 $ !. Опввацни над РядАми Фгвьв и, наоборот, 0 при — и~хс' и — т!, ~" (х) = (х) п р и х ~ и — ть Очевидно, С другой стороны, к функции 1', интегрируемой в собственном смысле, приложим только что доказанный результат.
С помощью (21) ззключаем, что и здесь 3„ -+ О. Этим завершается доказательство теоремы Ляпунова. Пользуясь установленной в предыдущем п' терминологией, можно сказать, что триаонометрическая система является в а м к нут ой. 737. Обобщенное уравнение замкнутости. Пусть даны д в е функции у(х) и у(х), интегрируемые в промежутке ( — и, я) с квадратами. Как известно [483, 6)], тогда функции !+о и У вЂ” р также будут интегрируемы с квадратами, Если обозначить, соответственно, через а„, Ь и з, р коэффициенты Фурье функций у и 7, то для функций 1 -+- у, очевидно, коэффициентами Ф у р ь е будут ам-+-а, Ь,„-+-~ . Применив уравнение ззмкнутости порознь к функциям У+ 7 и У вЂ” о, получим: Если почленно вычесть эти два равенства одно из другого, то, принимая во внимание тождество (а+ Ь)' — (а — Ь)' = 4аЬ, придем к обобщенному уравнению замкнутости — ''+ ~ (а,р +Ь„Д„)= — ~У'(х)!у(х)йх.
(22) !в ! уравнение (20) получается отсюда при 7=г. Эту общую формулу также называют формулой Парсеваля. [737 590 гл. хх. ояды ои ьв (поодолжннив) Обобщенное урзвненне замкнутости (22) теснейшим образом связано с гопросом о почленном интегрировании рядов Фурье. Подставляя вместо коэффициентов а, р их интегральные выражения: а = — 1 р (х) соз тхсрх, р = — ~ ср(х) гйп тхих, 1 1 на 0,!,г,...) )т= ), г, з, ...) перепишем равенство (22) в виде сО с ~ — ' ср (х) йх+ ~~~ ~ (ат соз тх+ Ьт з! и тх) ~р (х) Ых = с 63=1 — с = ~ у(х) р(х)срх. Отсюда ясно, что упол)янутое равенство совершенно равносильно утверждению: ряд срур ь е функции Дх) (интегрируемой с квадратом) по умножении всех его членов на произвольную функцию ср(х) (также интегрируемую с квадратом) можно в промежутке от — я до я интегрировать почленно (в том смысле, что в результате этого получится интеграл от произведения обеих функций!).
Конечно, промежуток [ — я, я[ здесь может быть заменен любой его частью [х', х"], ибо это попросту сводится к замене, скажем, функции 7 другой функцией, которая совпадает с 7 в промежутке [х', х'[ н равна нулю вне этого промежутка. При 7=1 мы возврзщаемся к тому утверждению, которое было установлено в 731, впрочем, с одним ограничением: функция У все же здесь предполагается интегрируемой с квадратом. Формулу (22) можно доказать и прн н ес ни мегри ч н ых условиях, налагаемых на У н т, облегчая эти условия дал одной нз функций, но зато отягчая их для другой. Так, Ю н г о и (%.
Н. Толпа) была высказана следующая теорема: формула (22) имеет место в предположении, что функция у(х) абсолютно интегрируема з промежутке ! — я, я), а функция т(х) имеет ограниченное изменение. Д о к л з ь т к л ь с т ь о опирается на одно свойство частичных сумм е„(х) яда Фу р ь е функции Э (х), которое будет установлено лишь впоследствии 744, 5'1: з т н с у м м ы р а з н о и е р н о о г р а н и ч е н ы, т. е.
для — я ~ (х(пи и=1, 2,3, ..., ! ч„(х) ! ( Л (Е = сопз1). Примем зто свойство пока без доказательства. Не умаляя общности рассуждений, можно иредноложнтсч что точки разрыва функции 7(х) все язляютса рггу лярнымн [658[, так что всегда ч (х + О) + р (х — О) т (х) = 2 1 % !. ОПНРАЦИИ НАД РЯДАМИ ЕУРЬИ в таком случае по теореме Ди р и к л е — Ж ор дан а (686) будем иметь дая всех знзченнй х 1!ще„(х) = р(х), и' сс и одновременно 1Сщ у'(Х) еч (Х) = Р(Х) Ч (Х).
Если у(х) огра ни чена: ! у (х) ! ~ М (М = сопя!), так что и ! у (х) ев (х) ! ( МЕ (я = О, 1, 2, ...), то по теореме Ар цела [526) заключаем, что !Ип ( Р(х) ч (х) с(х= (У(х) ! (х) асх. л сч (23) ч ! у'(х) , 'с(х .С в; вместе с этим будут выполняться и неравенства ! ! сс*сс(чс ! с, ~ ! сь~,.~ ~ *~ с я — ч 1 1 — ч (яоследнее — каково бы ни было л). В промежутке же ! — я, я — 3), где функция у(х) ограничена, имеем аналогично (23): я ч я Вщ ) у (Х) чя(Х) С!Х = ) у (Х) Р (Х) стХ.
л со я Отсюда уже легко получается и само равенство (23). Доказанное равенство есть аишь другая форма записи для формулы (22), нбо я Л л 1 ~ яэ я — у (х) э„(х) Асх = — а у (х) — ' + т' аж соа жх + 9ж Мп юх с(х = — я сл=! л лсвэ = — + у (ажв, +А !г„с). Обобщенное уравнение замкнутости, установленное при иных условият, чем раньше, снова может быть перефразироваио, как утверждение, относящееся кпочленному интегрированию ряда Фур ь е (и притом з двух разяичных формулировках в связи с н е с и м и е т р н ч н о с т ь ю условий, налагаемых здесь на функции У и Ч).
Заметим, что на этот раз предяожение и'731 получается как следствие уже с полной общностью. Справедливость этого равенства может быть установлена и дяя случая не о г р а ни ч е н ной (но абсолютно интегрируемой) функции у(х). Пусть ее единственной особой точкой будет х я. Тогда сначала по заданному а ) О возьмем 3 ) О так, чтобы было 592 (738 гл.
хх. аиды ег ьи гпэодолжвннн> 738. Умножение рядов Фурье. Пусть даны две функции г и р с их рядами Фурье: у(х) — +~~~~~ а„сов шх+Ь мп тх, и=1 р(х) — "+~~1 а,„созлтх+ р з(птх. Задача, которую мы сейчас ставим перед собой, состоит в том, чтобы написать ряд Фур ье для произведения гр этих функций: у(х) р(Х) ~ -2 — '+ ~ А СОЗ Лтх+Вэ, 31П ЛГХ, и 1 т.
е. выразить его коэффициенты через данные коэффициенты «, Ь и а, В. Предположим, что функции г и р интегрируемы с их квздратами", так что для них имеет место обобщенное уравнение замкнутости (22). Тогда оно непосредственно приводит к выражению для коэффициента А: и ~ т 2 +~х~а (Пмаю+ э! =! Нетрудно и определение коэффициентов А», В» (при л = =1, 2, 3, ...) тоже свести к использованию формулы (22).
Выражение длн А» А»= — ~ Уу соз мхах 1 г отличается от выражения для Аэ тем, что у заменено на !9 сов !1Х, Постараемся же найти коэффимиенты Фурье для этой последней функции: — 1 9!(Х) сових соз лгхг(х= — 1 — 1 э(х) соз(лз+л)хпх+ 1 1 1 Г + — ~ р(х) сов(лг — л)хдх = 2 («~+»+«~»), 1 Г 1 1 — <~(х) соз уэх. юп лгхгтх= — (р +~„»), 1 * Вместо этого можно было бы предположить функцию У абсолютно интегрируемой, а р- имеющей ограниченное изменение. гл. хх. виды егвьи !пводолжвнин) 690, 26)). В таком случае Г" (Х + И) — у'(Х вЂ” И) ° 2 ~' ИП щИ (Ьт СОа тХ вЂ” ат аа тХ) т 1 н, по уравнению замкнутости, — ~ (У'(х+ И) — У(х — И))' стх = 4 У Рт ап' тИ. 1 ! жт Если учесть теперь само условие Л и и ш и па, то интеграл слева опенится числом СИ'", где С вЂ” постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
