Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Примером может служить только что упомянутый ряд (15): почленное дифференцирование приводит к повсюду расходящемуся ряду ~ч '„сов тх. 1 Однако имеет Место следующее интересное предложение, принадлежащее Фату (Р. га1оц): если в точке х существует конечная производная У'(х), то ряд (16) суммируем по методу Пуассона — Абеля и именно к сумме У'(х). 20' 6!2 [745 Гл. ха. Ряды Фувьз (пводолжвниз) (17) почленное дифференцирование здесь допустимо в салу р аз но мерной относительно х сходимостн полученного ряда. Тот же результат получится, если продифференцнровать по х интеграл Пуассона (б): дУ(г, х) 1 [' 2г(1 — г') в!п(и — х) дх 2в 3 [1 — 2гсм(и — х)+г'[' = — д,Г (и) Йс, причем в атом случае можно дифференцировать под знакпм интеграла по теореме Зв п' 610, Последний интеграл преобразуем так: и д1(г, х) 1 [' ( 2г(1 — г') в!па дх 2ч,) [1 — 2г сов!+г'[' % =г.
1 г У(х+ т) — У(х — Г) 2 (1 —, г') в!пв т в ~ 2апг [1 — 2г сов т + гв)в ~й. (18), Положим у(х+ т) — г (х т) 8(!)= если переписать' зто выражение в виде ! ГУ(х+Г) — У(х), У(х-В) — !Г(х)1 т то станет ясно, что 8 (+ О) =У' (х). Покажем, далее, что функция ф( ) 1 2(1 — гв)апвт и [1 — 2Г Сват+Гв[в является положительным ядром в смысле по 740. Прежде всего, очевидно, Ф (Е„г) =ъ О. Положим в (18), в частности, У(х) = я[п х.
Тогда у(гэ х) г в!п х3 г соз хф соз х д» 2апа Йля доказательства продифференцируем по х ряд П у а ссона (4): дУ(г, х) 'йт — ~с — — — ~~г"т(Ь сов тх — а з!птх); х 74Щ вв. единственностьтгнгономвтгнчвского газложвння С1З Подставляя все это, по сокращении на г сов х, получим, что бг= 1. Г 2 (1 — гв) вавв Г и ~ (1 — 2ГСОВС+ Гв]в Наконец, М(в, г)'= внр Ф(г, ) ~— 4г в1пв— 2 так что заведомо М(8, г) — О при г — 1. Применяя теперь лемму пв 740, видим, что интеграл (18), который служит суммой ряда (17), стремится к Г (х) при г — 1. А вто н означает, что ряд (16) суимнруется по методу Пуз с со на — Абеля к г"(х), что н требовалось доказать. Зама чаня я. 1. Доказанная теорема может быть обобщена на случай повторного дифференцированию если е рассматриеаемоа точке существует .конечном лроизаоднам г~е)(х)(р) 1), то рмд, иолученныа из (3) ркратным дифнЯеренйироеанием, свммируем к г1г1(х) ло методу Пуассона — Абели.
П. Для суммирования по Чезаро уже не имеет места утверждение, аналогичное теореме Фату. Вели, впрочем, усилить требования к производной н предположить непрерывность ее в рассматриваемой точке,то суммированнепо Пуассону — Абелю можетбыть заменено суммированием по Чез.аро. В 3. Единственность тригонометрического равлошеиия функции 746. Вспомогательные предложении об обо1вщеииых производных. Чтобы ниже не прерывать изложения важного вопроса, указанного в заголовке, мы предпошлем ему ряд вспомогательных соображений. Пусть в некотором промежутке [а,д] задана функция г (х). Возьмем значение х между а и Ь: ач" х(Ь; тогда для достаточно малых м)0 имеет смысл разность ааР(х)=Р(х+А) — Р(х — й).
Вели существует конечный предел. Ич(х)= Иш— Дл Р(х) л-+в его назв)вают обобщенной (всимметрическойв) производной функции Р(х) е точке х. Лишь только существует пронзводняя Р (х) в обычном смысле, необходимо существует и обобщенная производная Рг1(х), ей равная; ато непосредственна видно нз следующего соотношения: при )в — +О аа Р(х) 1 ГР(х+ Л) — Р(х) Р(х — Ь) — Р(хП 2з — 2~ з + и Д '() 614 гл. хх. ляпы охвьа (плодолжвнив) Однако обобщенная производная может существовать в некоторых случаях, когда обыкновенной производной нет. Примером тому служит функция Р (х) = х з1 п — (х ~- '0), Р (0) = 0; известно 1102, 1о], что в точке х=О производной она не имеет; обобщенная же производная ее в этой точке равна нулю.
Рассмотрим, далее, вторую разность ~лР(х) ~л~лР(х) лР(х+й) лР(х й) = (Р (х+ 2й) — Р(х)1 — (Р (х) — Р (х — 2й)] = = Р (х + 2й) — 2Р (х) + Р (х — 2й). Если существует конечный предел Ь),Р (х) Р" ()= ь»+э его называют обобщенной второй производной функции Р(х) л рассматриваемой точке х. И здесь можно доказать, что в случае существования обычной второй производной Рж (х) существует и равна ей обобщенная производная. Дейстрительно, если к двум функциям от й, ЩР(х) и 4йэ применить формулу Коши ь: а)Р(х) Р'(х+ 2ай) — Р' (х — 24й) 4лл 4ай то, в силу сказанного выше об обобщенВюй (первой) производной ясно, что при й — 0 полученное выражение стремится к Р" (х).
Пример функпии Р(х)=х' з1п — (х ~- '0), Р(0)=0 ! х (см. 101, 2"] показывает, что обратное утверждение неверно: существование обобщенной производной Р("1(х) не влечет за собой обязательно существования обычной производной Р" (х). Следующая теорема устанавливает, что обобщенная вторая производная в некоторых случаях может играть ту же роль, что и обыкновенная Теорема Шварца. Если для непрерывной а промежутке !а, Ь] функции Р(х) обобщенная вторая производная Р("1(х) существует внутри промежутка и равна нулю, то Р(х) будет линейной функцией (совсем так, как если бы было дано, что обыкновенная производная Р" (х)=0!). * Предположение о существовании второй производной Р" (х) в точке х уже включает предположение о существовании первой производной Р'(х) в окрестности втой точки.
746) ел. единственность твигономвтвичнского влзложнння 615 Для доказательства возьмем произвольное число е) 0 и построим вспомогательную функцию р( )= ~Р() — Р() — '",' "'( — ))+ + е (х — а) (х — Ь), причем наши рассуждения будут в равной мере относиться к обоим знакам перед скобками.
Тогда внутри промежутка имеем ср1"! (х) = 2е, (1) ибо для функции Р обобщенная вторая производная равна нулю' а для квадратичной функции — ее обыкновенной второй производной*. Функция ~р(х) на концах промежутка 1а, Ь1 обращается в нуль. Покажем, что внутри промежутка она не может принимать положительных значений. Лействительно, в противном случае р(х), как непрерывная функция, достигала бы своего наибольшего (положительного) значения в некоторой вн утренней точке хе. Но тогда мы имели бы т«(хе + йй) ~'т" (хе), йлт(хе) ~0 и, наконец, , г'1(х)= 11ш ~лт("е) =0 айте л +о вопреки равенству (1)! Итак, ~р(х)я= О для всех х, т. е, -1- ~Р(х) Р(а) ( ) (а) (х — а)~ =.е (х — а) (Ь вЂ” х)( ( е (Ь вЂ” а)е, и притом, какой бы знак, плюс или минус, нн взять перед скобками.
Поэтому и Р(х) — Р(а) — Ь (х — а)1< е(Ь вЂ” а) Р (Ь) — Р(л) Ввиду произвольности е отсюда следует„что левая часть неравенства есть нуль, так что Р(х) =Р(а)+ (х — а), что и требовалось доказать. Иной раз условие Р1"1 (х) = 0 оказывается удовлетворенным повсюду, за исключением отдельных «точек нензвестностиа, где про выполнение его ничего не дано. Тогда находит применение Ясно, что если две функции Р и О в рассматриваемой точке имеют производные Р! ! н сг! 1, то для ик суммы или разности Р-е. се также существует обобщенная вторая иронлводная, равная, соответственно, Р! 1-е- 01'1.
[747 616 гл. хх. гяды эгаьз <пгодолжзниз> Обобиденная теорема Швара]сь Пусть для непрерывной в про- межутке [а, Ь] функции Е(х) производная Е1"1(х) существует и равна нулю новсюду внутри промежутка, за исключением конеч- ного числа «точек неизвестностиь а(х~(ха( ... (хм(Ь. Если в каждой из зтих точек выполняется хотя бы облегченное условие а[Е(х) 1пи — = О, ь-+о 2Ь то функция Е(х) все же будет в иролсежутке [а, Ь] линейной.
По предыдушей теореме функция Е(х) наверное будет линейной функцией от х между двумя исключительными значениями, так что, скажем, в промежутке [х; н хг] имеем Е (х) = сх+ й, а в смежном промежутке. [хо хгм] Е(х) = с'х+ й'. При атом в точке х=х; оба выражения совпадают: Е(хь) = сх, + й = с'х;+ сГ. (3) Условие (2) для х=х; дает Р(хю + 2Ь) — Е(х~) 2Ь ь-+о ' Я(хг — 2Ь) — Е(х,)~ Π— 2Л 747. Риманов метод суммирования тригонометрических рядов. Важную роль в дальнейшем играет развитый Риманом метод суммирования тригонометрических рядов: 2'+~ а сов их+ Ь„зш ях.
(4) и 1 Згот метод не предполагает вовсе, что ряд (4) является рядом Фурье для какой-либо функции, и может быть приложен к совершенно произвольному трагонометрическому ряду, лишь бы коэффициенты его были ограничены в их совокупности: [а„(, [Ь„] =Е. (Е=сопа1). Но левая часть адесь выражает попросту разность угловых коэффициентов прямых у = сх+ Ы и у = с х + й . Итак, с = с', а тогда нз (3) и й=й', т.
е. оба прямолинейных отрезка составляют на деле продолжение один другого. Так как сказанное относится к любым двум смежным отрезкам, то график нашей функции во всем промежутке [а, Ь] будет прямая, и функция оказывается линейной, т4т) в з. вдинстввнность твигономвтенчвского»лзложвния 617 формально проинтегрировав ряд (1) почленно дважды, получим ряд: СО а,х' ' ~! а«омах+а„мппх (6) 4 и' ! При выполнении условия (5) этот ряд мажорируется сходящимся рядом ОЭ и, следовательно, в любом промежутке изменениях сходится равномерноо и определяет непрерывную функцию Р(х).
Если для нее в данной точке х существует конечный предел 11ш ль )г(х) ь „-о 4й' т. е. обобщенная вторая производная гл"1(х), то последнюю и называют «обобщенной суммой» ряда (1) в смысле Римана. Если для примера применить этот метод к ряду — +~~) сових, 1 ! то здесь Р(х) = —— я«ть! газ пх 4 а~~! и« ! Вспоминая 1664, 9)), что для 0(х -2я суммой ряда, стоящего ! х«ях аа справа, будет — — — + — имеем 4 2 6' ях а« Р(х) = — — —. 2 6' Поэтому для О~х(2я, очевидно, гл"1(х)=Р"(х)=0, н «обобщенной суммой» ряда оказывается нуль [ср, 418 и 426].
Легко проверить, что й| сов пх = — 2 сов пх (1 — сов 2пй) = — 4 соз пх.з1пв пй й), в)п их= — 4 в1п пх в1п«пй Отсюда Ч Р (х) а« зю пй ! «. 4й« = 2+. ) (пасозпх+Ьа в)п лх) ( — ) (7) л ! Таким образом, метод суммирования Римана сводится к умножению членов ряда (4) на множители вида ( ) мп пй!в — и к предельному переходу при й -« О. вй ! (747 гл. хх. »яды е»аьв <п»одолжвнив! В такой форме метод Р и м а на может быть приложен и к совершенно произвольному ряду СО 'Воли ряд «=Р, по крайней мере для достаточно малых Й, сходится, и его сумма э(И) при И-»О стремится к пределч Ц то это и будет «обобшенной суммой». исходного ряда Читатель видит, что метод Римана подходит под обшую схему п' 426.
Роль параметра ж в этом случае играет И (при !«=О), .а множители « „(И)=( „И ) удовлетворяют обоим сформулированным там требованиям. Это очевидно по отношению к первому: т (И)=йш ('— '" ) =1. ь о" ьо("" Что же касается второго, то, учитывая, что («!ппИ)« . («1п(л — 1)И)«$ ~(«аг)«~' ! -и1» Е=""")'-( '-" 2")'1= $„„! Г(" —.')'Х!" Фудем иметь ~7«(И) ~+,'У.~т.(И) — 7. «(И)~= л ! + ~~! $ («юпИ)«(ап(л — 1)И)«$ «! - + ~~1( †'.")'П * * Пол тв(Л) мы разумеем просто едиивпу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
