Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Правило, устанзвливающее порядок для всевозможных пар различных элементов йл или только для некоторых из этих пар, во всяком случае должно подчиняться следующим двум требованияи: !) если Рс с- Рэ, то не может быть одновременно Рэ е- Р,; 11) если Р, е- Рэ и Р, е- Р„то необхадил<о Р, ««- Р, (т. е. отношение «следует» обладает тра нанти вны м свойством). Если по некоторому правилу для всех пар различных элементов, взятых из бл, установлен порядок с соблюдением требований 1,11, то множество дл называется упорядоченным (или, точнее, упорядоченным в собственном смысле, в отличие от упорядоченных в обобщенном смысле множеств, которые будут рассмотрены в следующем и=).
Вот примеры упорядоченных множеств: !) Любое множество вещественных чисел [х] естественным образом упорядочивается, если расположить эти числа в порядке возрастания (х' с- х, когда х') х)ь или убывания (х' е- х, когда х'(х). " Отправляясь от этого простого примера и стало привычным обозначать отношение «следует» знаком «-, сх«<диым со знаком ) («больше»). овщАя точка зРения нА ИРедел Тот же пример в геометрической форме может быть представлен так: любое множество точек на горизонтальной прямой упорядочивается, если из двух точек следующей считать ту, которая лежит п р а в е е (или — л е в е е). 2) Рассмотрим теперь какое-нибудь множество .Ф=(М(х, у)1, состоящее из некоторых точек М(х, у) двумерного (арифметического) пространства.
Это множество можно упорядочить, скажем, следующим образом: М(х, у) с- М(х, у), если х) х', а при х=х', если у)у', Во всех этих случаях легко проверить соблюдение требований 1 и П. Для облегчения использования введенного понятия при рассмотрении предела переменной, мы будем дополнительно предпола. гать, что в рассматриваемом множестве Ф нет «лоследнегоу элемента (который следовал бы за в с е м и остальными). Таки и образом, какой бы элемент Р из б«ни взять, всегда найдется элемент Р; следующий аа Р: Р'г- Р. 7б4. Упорядоченные множества (в обобщенном смысле). Как увидим в дальнейшем, чаше всего приходится поступаться предположением, что для каждой пары элементов рассматриваемого множества б' установлен порядок, и довольствоваться тем, что такая порядок установлен (с соблюдением условий 1 и П) лишь для неко.
торых пар. В подобных случаях, однако, мы будем требовать ещ« выполнения такого условия: !П) для любых двух элементов Р, Р множества Ф в этол множестве найдется элемент Р", следуюший за обоими Р" «- Р, Р" 1- Р'. [При этом безразлично, установлен ли порядок для самих элементог Р и Р или нет) Это условие само по себе уже делает невозможным сушествованиг в Ю последнего элемента.
Легко видеть, что всякое иножество, упорядоченное в собстзенноа смысле, если только оно лишено последнего элемента, необходим< удовлетворяет и условию П1. Действительно, каковы бы ни былг элементы Р и Р' из «т«, для них в данном случае порядок устано. ален; пусть, скажем, Р с- Р. Так как Р— не последний элемент то в Ф найдется элемент Р''с- Р'! по транзитивному свойству атно шения ««- одновременно и Р" г- Р, что и требовалось доказать.
Если хотя бы для некоторых пар элементов множества б«устано влен порядок, с соблюдением всех трех условий 1, П, П!, мы такж« будем называть множество ба упорядоченным (в обобщенноь с м ы с л е)*. « Говорят также о «частячно упорядоченномъ« «полууиорядоченномт иа« «ие вполне уиорядоченномъ множестве. дополнвнив Приведем теперь примеры таких множеств.
3) Рассмотрим множество Х вещественных чисел х, для которого а служит точкой сгущения |52); пусть само число а при этом не принадлежит Х. Условимся считать, что х'(-х, если |х' — а|(|х — а|, так что следующим будет то из значений, которое ближе к а. Требования 1, И явно соблюдены. Если в Х не встречается значений х, равноотстоящих от а, но лежащих по разные стороны от а, то множество Х будет упорядочено в собственном смысле. Если же такие пары значений имеются, то для ник нашим соглашением, очевидно, порядок не будет установлен.
Проверим теперь выполнение требования 1И. Возьмем любые числа х н х' из Х. Так как они оба отличны от а, и а служит для Х точкой сгущения, то в Х необходимо найдется такое х", которое будет ближе к а, чем х и х'; тогда х" $- х н х" ~-х'. Таким образом, множество Х во всяком случае является упорядоченным в обобщенном смысле. 4) Пусть Х будет числовое множество с точкой сгущения со. Его можно упорядочить с помощью условия х'1-х, если |х'| 1- |х|. Все требования 1, И, И! выполнены.
Если в Х нет пар значений х, разнящихся лишь знакамн, то множество будет упорядочено в собственном смысле. Если же такие пары имеются, то для них порядок не установлен, и можно говорить об упорядоченности лишь в обобщенном смысле. б) Возьмем теперь любое множество мй=(М(х, у)) точек двумерного пространства с точкой сгущения М,(а, Ь) !153). Предположим, что обе координаты а и Ь конечны; пусть точка М множеству ыК не принадлежит. Установим соглашение, что Л4'(х', у~ ~- М(х, у), если шах(|х' — а|, |у — Ь|)(шах(|х — а|, |у — Ь|). Подобно 3), все требования 1, И, И1 здесь выполнены.
Проверим, например, условие Ш. Пусть даны две точки М(х, у) и М'(х', у') из ый; так как обе они отличны от М, то а=шах(|х — а|, |у — Ь|))0 и ч'=шах(|х' — а|, |у' — Ь |)) О. Пусть 3 будет наименьшим из этих чисел; ввиду того, что Ма для овшая точка звания нл пгвдвл э" служит точкой сгущения, в Ф найдется такая точка М" (х", у"), что |х" — а|(8 и |у" — Ь|(Ь. А тогда М"$-М и М" ~-М; что и требовалось доказать.
Итак, установленным соглашением мно- жество Ф действительно упорядочено (в обобщенном смысле). Если какая-либо из координат точки М„скажем а, равна оо, то можно модифицировать наше соглашение, например, ваменив |х — а| ! на, и т. д. |х( ' б) Приведем в виде примера еще другие способы упорядочения множества аФ, о котором была только что речь (а и Ь считаем ко- нечными). Можно условиться так: М'(х', у') Р- М (х, у), если |х' — а |+ |у' — Ь! (| х — а |+ |у — Ь |, или же так: М' (л у') 1- М (х. у)» если а''(х' — а)а + (у' — Ь)' ( )Г (х — а)а + (у — Ь)'. Предлагаем читателю проверить соблюдение в обоих случаях требований 1, П, Ш.
7) Пусть Ф есть множество «пелочисленных» точек (лг, л), где лг и л — натуральные числа, с точкой сгущения (+ оо, + оо). Аналогично 5), это множество можно упорядочить по правилу (гл', л') 1-(лг, и), если ш(п(т', л') >ш1п(т, п). Проще — такой закон упорядочения: (лг', л') г-(лг, л), если лг',»лг н и'>и. И здесь требования 1, П, !П соблюдены. 8) Возьмем теперь примеры из другой области. Пусть элементами рассматриваемого множества ам будут всевозможные разбиения 1с данного промежутка |а, Ь) на конечное число частей с помощью точек деления а=х,< х,(...(х,< хпл(...(х„=Ь. Если черев Л обозначить наибольшую из длин этих частей, то естественно расположить различные разбиения 1с в порядке убывания Л; тб из разбиений будет следующим, которому отвечает меньшее Л. Соблюдение условий 1, П очевидно.
Легко проверяется и условие Ш: каковы бы ни были два разбиения, отвечавшие значениям Л и Л', всегда можно осуществить разбиение на еще более мелкие части, которому отвечало бы число Л", меньшее и Л и Л'. дополнвннв Множество е»г, тзним образом, оказывается упорядоченным, но лишь в обобщенном смысле: для двух различных разбиений с одним и тем же Х порядок не установлен. 9) Для рассмотренного только что множества еМ= (гс) можно установить порядок другим соглашением: разбиение гс' следует за разбиением Я, если оио получено из Я добавлением к его точкам деления еще новых точек деления.
Это также приводит к упорядочению лишь в обвбшенним смысле: порядок не установлен, например, для двух разбиений )с и Я', имеюших сплошь различные точки деления. 76Б. упорядоченнии переменная и ее предел. Рассмотрим теперь переменную х с областью изменения Х. Можно представить себе, что непосредственно э т а область Я' упорядочена (в собственном или обобщенном смысле) или — более общо — что значения х из .Т поставлены в однозначное соответствие элементам Р некоторого упорядоченного множества д'= (Р), состоящего из объектов любой природы.
В этом случае и сама переменная х называется упорядоченнои. Сообразно с йг упорядочивается и множество значений х=хр., именно, считают„что хр ~-хр„если Р ~-Р (в «т'). Это есть воспроизведение в общей, форме того, что мы имели для в а р и а н т ы х„, значения которой ставились в соответствие числам натурального ряда — «номерам» вЂ” и располагались по возрастанию их х„~-х если л' >л. Умея различать элементы Р множества д', мы различаем и значения х=хр нашей переменной по этим «пометкам» Р. В этих условиях мы допускаем (как и в случае варианты) возможность и равны х значений с различными «пометкамив» Подчеркнем особо, что, говоря об упорядоченной переменной, мы по существу не связываем с этим никаких представлений о расположении ее значений в пространстве или во времени.
Следуюшее значение не занимает «более далекого места», чем предыдущее; следующее значение не принимается переменной позже» предыдущего и т. д. Если же, тем не менее, обычно позволяют себе употреблять выражения вроде «начиная с некоторого места» или «с некоторого момента изменения» и т.
п., то делается это лишь для образности языка. Определение предела упорядоченной переменной х=хр (или — как иногда говорят — предела упор я до че ни о г о и н ожест в а (хр)) совершенно аналогично определению предела варианты (или последовательности): ОБШАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ НА ПРЕДЕЛ переменная х=хр имеет конечный предел а, если для каждого числа э)0 найдется такая «пометка» Р, из У, что для всех Р»- Р, соответстауюиЬие значения х=хр удовлетворяют не авенств р у [х — а[=)хр — а((а. В определении п' 23 роль Р, играло, очевидно, АА вель соотношение и «- М, равносильно неравенству п)АК Точно так же дается определение н бесконечного предела: переменная х=хр имеет предел оо, если для каждого числа Е)0 найдется такая «пометка» Ре из йь, что [х[= [хр[)Е, лишь только Р»- Ре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
