Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 104
Текст из файла (страница 104)
вдинстввнность тзияономитгичвского гьзложения 625 (для многочлеии !в обобиаеимая вяераь производная будет попросту равна обыкновенной второй проивисщиий). Своих наибольшего и наименьшего значений Л(х) достигает в двух точках: х, и хт, внутри промежутка [х, — 2Ь, хв+ 2Ь[ *. Леякгь поназатьь что в этих точках имеем соответственно Л'"! (х,) «О, ЛГ'!(хв) ~ О [ср. рассуждение на стр. 615[, откуда у!"!(х,)«,' «у! !(х,), а)ьГ (х,) чем и доказано высказанное утверждение. Теперь, наконец, мы в состояьнви домазать следующую замечательную теорему: Теорема дт Буа-Реймонда (Р. йи Вота Веушопд).
Если функ!(ия 7(х), ограниченная и интегрируемая (е собственном смысле) е иромежутке [ — я, и), разлагается е етом промежутке е тригонометрический ряд: СО ,г(х)= — ' + ~~ а„соз пх+Ь„з!и пх, (! 6) е 1 то ряд зтогп необходимо является ее рядом Фурье. Из сходимости ряда прежде всего вытекзет ограниченность коэффициентов а„, Ь„[лемма и" 748). Введи римзнову функцию Р(х), аьвр(х) имеем для выражения —, разложение в тригонометрический ряд(7): аьвР(х) е, — = — ' + ~ (а„соз пх+ Ь„з!п пх) ! — ), и 1 который (при постоянном Ь) сходится р а в номер но относительно х, ьь %~ ! ибо мажорируется рядом вида Е т —,.
В таком случае [678] коэф; ! фициенты этого ряда необходимо являются коэффициентами Фурье для его суммы: Г аьР(х) ав = — ~ — ах и з 4Ьв Гип лд!т ! г дар(х) а [ — ! = — ~ сових — йх "[ пи ) = °,') 4лв (16) 1-!,з,а...,! в Даже если одиэ из зтия значениИ есть нуль, то и оно достигается в ну три — в точке х,.
я! Г, М, Еахтввгольц, т. !П гл. хх. гиды эхвьв 1пгодолжвниз1 Заметим, что разложение (15) можно считать осуществляющимся и вне промежутка [ — и, н1, если функцию Г(х) периодически продолжить на всю числовую ось. Следовательно, по первой теореме Римана [147) для всех значений х будем нметь Р1" 1 (х) =Дх). Ввиду ограниченности функции г (х): [у(х)[ К, а,= — ~ г(х)г(х, а„= — ~ г(х) сов пхс(х, 1 Г 1 ч Ь„= — ~,г(х) з(п пхбх 1 (18) 1-5 з, а....1 что и требовалось доказать.
761. Обобщение. Мы откажемся теперь от предположения ограниченности функции У(х) и допустим даже существование конечного числа точек, в которых разложение (15) может не иметь места. И при этих облегченных условиях справедлива Обобщенная теорема дю Буа-Реймонда. Если функция 1(х), абсолютно интегрируемая в промежутке [ — и, я), разлагается в етом промежутке, исключая разве лишь конечное число точек, в тригонометрический ряд (15), то последний необходимо является ее рядом Фурье*.
Начнем с того, что функцию У(х) периодически распространим на всю числовую ось ь". Впрочем, взамен г (х) удобнее рассматрнвзть функцию <р(х)= г'(х) — — ' . ь Это обобщение принадлежит Валле-П у с се ну (С1ь 3. Ве 1а Ъ'айее Рочзз1п). чь Если функция Г(х) не удоваетворяег условию: у( — ч) =у(я), то предварительно, чтобы добиться выполнения этого условия, нужно изменить значение функции на одном из концов промежутка [ — ч, и), скажем, на гом, где не имеет места разаожение (15).
по предшествующей лемме, одновременно и (17) для всех значений х н Ь. Перейдем теперь к пределу при Ь-+О в равенствах (16), причем з правых частях их, по теореме Ар цела [526), это можно сделать под знаком интеграла. Мы получаем, таким образом: го1] $ а. единственность тРигонометРическогО Разложения 62! Бля нее в любом конечном промежутке (за возможными исключениями в конечном числе точек) имеет место рааложение уже без свобод. ного члена: <р(х) = ~ ', а„соз лх + Ь„зшпх. я=! Мы докажем, что, во-первых, ~ !р(х)41х=Π— я и, во-вторых, для п=1, 2, 3, а = — ~ р(х)созлх зх, Ь„=- ~ !р(х) з1пих!Тх; (19 1 г 1 г отсюда уже будут следовать требуемые соотношения (18).
Ограниченность коэффициентов ]по лемме п' 748] и здесь поэзо. ляет ввести в рассмотрение риманову функцию %1 а„ом пх+ Ь„ип пх 3 л Ф я=! на этот раз периодическую (с периодом 2я). Возьмем промежуток [а, р], не содержаший ни упомянутых вышс исключительных точек, ни особых точек функции !р(х); тзков же очевидно, будет и промежуток ]а — 3, р+Ь] при некоторон, доста точно малом, Ь.
Ввиду ограниченности функции у, как и выше, за а]] Ф (х) ключаем об ограниченности выражения 4„, при а --х(~, Ь(Ь К тому-же аь Ф (х) 4Ь' а о При любом у из (а, ~] по теореме Арцела 1826] имеем: !Рва! Ф (х) Пш ~ 4„, г(х= ~ <р(х)г(х. я я Если положить У ф!(у)= (Е(1) (1, о Я! ° гл. хх. вяды эавьв птгодолжвннв> то последнее соотношение можно представить в виде Так как выражение в фигурных скобках ограничено, прн а -у° и- р и Ь - Ь, то, снова применяя теорему А р ц е л а, имеем: 1)ш$(...)бу=$г(усср(С)г11 (а~х — р). л о„ Полагая, далее, х Фо(х)= ~ Ф,(у) бу, о сможем написать полученное соотношение так: Ь'Ф (х) ЦФ (а) Но Фо(х), очевидно, имеет Ф(х) своей обыкновенной второй произ- водной, так что а~ Ф, (Х) Ц Ф (а) 4Да ( )' 4И' ( )' й о а о Если через Т обозначить еще (очевидно, сушествуюший) предел аа Ф!(а) Нш г л о 4Л' то окончательно найдем: у $ Ыу г) р (Х) Ж = Ф (х) — Ф (а) — 1(х — а) .
Ф Ф Легко видеть теперь, что повторный интеграл х у ~ау ~ у(с)м о о (20) (при — к(х(в) отличается от предыдущего на линейную функцию. Таким образом, функция Х у )Р(х) =Ф(х) — ~ Ыу ~ <о(1) а2 о о оказывается линейной в каждом промежутке вида [а, р). Значит, в каждой точке х, отличной от особых точек функции 7 и от исключительных точек, где не имеет места рззложение (1б)„будет Ч" 1(х)=0. С другой стороны, зо в с е х точках х без исключения выполняется условие типа (2): выражение аа %'(х) а„' Ф (х) 2Л 2Л 2Л ~ У ~™~~+ — 2й ~ У стремится к нулю при Ь О.
Действительно, для первого слагаемого справа стремление к нулю следует из второй теоремы Р и м а н а [в силу леммы п«748], а по теореме о дифференцировании интеграла по переменному верхнему пределу [306, 12'[ то же ззключение окззывается справедливым и для суммы двух других слагаемых. В таком случае, на основании обобщенной теоремы Ш в а р ц а [746[, имеем в любом конечном промежутке, а следовательно, и для всех вообще знзчений х: 'яг (х) = сх+ Ы. Пусть теперь «« р(х) 2 + ~) и„сових+~«з1п лх; ! дважды интегрируя почленно [731), получим: Х О« ( ) [',, и~х~ в «„с<м пх -1- Р„а!п лх л' 1 (22) Сопоставляя (20), (21) и (22), придем к разложению «,х',, у («„— а„) соа их+ (ૠ— Ь«) аа пх > 1 которое справедливо для всех вещественных значений х без исключения. Так как правая часть представляет собой непрерывную и периодическую, а значит, ограни че н ную функцию от х, то необходимо с=О, а также а,= — ~ в(х)Нх=О. 1 75Ц а а.
вдинствзнность таигономзтгичзского глзложвния б29 630 1751 ГЛ. ХХ. РЯДЫ ФУРЬЕ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) Теперь окавывается, что ряд — а+ (»» — л») с<в их + (Р» — Ь») яп лх ! повсюду сходится к О, н притом равномерно. Отсюда 1678 или 749] следует, что все его коэффициенты суть нули, так что выполняются условия 119): а„= а„= — ~ 7 (х) соа лх Ых, 1 Г »» — я в„=р„= — ~ 1~(х)з1п лхг1х, 1 чем и завершается доказательство. Таким образом, мы подвели, наконец, фунламент под всю изложенную выше теорию тригонометрического разложения функций н обосновали то исключительное внимание, которое уделялось именно рядам Фурье.
ЛОПОЛНЕ1! ИЕ ОБЩАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ НА ПРЕ)(ЕЛ 762. Различные виды пределов, встречающиеся в анализе. Понятие предела пронизывает весь курс аиалнаа, но в разных его частях принимает весьма различные формы. Мы начали с изучения простейшего случая — пределз варианты, пробегающей нумерованную последовательность значений [22, 23); применительно к нему и была подробно развита теория пределов (глава 1). Затем понятие предела было обобщено на случай предела функции от одной или от нескольких переменных [62, 166[ «. Предельный процесс усложнился, но в общем сохранил свой характер.
Интегральное исчисление привело нзс к рассмотрению пределов интегральных сумм Римана и )(арбу [29Б, 296, 301). Здесь предельный процесс оказался связанным с дроблением на части данного промежутка и, по сравнению с ранее изученным, представил уже значительное своеобразие, К этого типз пределам в известной мере примыкзют пределы, с которыми мы столкнулись в главе Х при определении понятий длины дуги (предел периметра вписанной ломаной, 330), плошади плоской фигуры (предел площади входящих и выходящих прямоугольных фигур, 336) и т. п. Наконец, в третьем томе читатель встретил еще другие предельные образования, получаемые в результате других предельных процессов, отличных от указанных выше.
Все улолгянутые разновидности предела лрингрглиально могут быть сведены к пределу варианты. Эту мысль мы подчеркивали на протяжении всего изложения, входя поначалу в подробности [БЗ, 166, 296), а азтем ограничиваясь уже лишь упоминанием о возможности перефразировки определения предела «на языке последовательностей». Конечно, сведдние сложных предельных процессов к простому пределу варизнты представляет интерес само по себе. Но для нас оно было важно еще и з том отношении, что освобождало от необходимости всякйй раа вновь устанавливать элементарные теоремы иэ теории пределов.
в Мм все время имеем в виду определения предела на языке <»-3»„ 632 дополнение Хотя подобным путем и восстзнавливается единство всех встрет и в ш и х с я нам видов предела, однако самая необходимость «анатомирования» для этого переиенной, выделение из множества ее значений особых нумерованных последовательностей, несомненно, содержат в себе элемент искусственности. Общего определения предела переменной это все же не создает. Цель настоящего дополнительного параграфа и состоит в том, чтобы установить общую точку зрения на предел, которая охватила бы как частные случаи все встречающиеся в анализе различна<с видьс предела, и на ее основе наметить контуры общей теории пределов.
Излагаемые ниже идеи впервые были высказаны С. О. Ш а туна вским, а затем ал<ериканскими учеными Муром (Е.Н. Мооге) и Смитом (Н.Ь. Бш!!й). [Заметим, впрочем, что принадлежащая им постановка вопроса отнюдь не является единственно возможной.] 753. Упорядоченные множества (в собственном смысле). Изученные выше образцы переменных, имеющих пределы, подсказываюг мысль, что для того чтобы вообще имело смысл говорить о пределе переменной, ее область изменения не может оставаться «аморфной» и должна быть определенным образом направлена или упор я д о ч е н а. В связи с этим мы установим сначала в обшей форме основные понятия, относящиеся к у п о р я д о ч е н н ы м м н о ж ее т в а м.
Пусть имеем множество «тл=[Р[, состоящее ив элементов Р какой угодно природы. Если для определенной пэры различных элементов Р, Р' согласились считать, что один из них (напрнмер, Р') следует за другим (Р), то обозначают это так: Р'с-Р, и говорят, что для пары Р, Р' установлен порядок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
