Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Таким образом, для Р»- Р, выполняется неравенство ]хр — а](а, откуда хр-+а. Если переменная хр не ограничена, то для каждого числа Е)6 найдется такое Р, что хр )Е. Тогда для Р$- Р и подавнс хр)Е, так что хр-++ ос. Теорема доказана. В этой теореме, как части ые случаи, содержатся теорема пч 34 о пределе монотонной варианты и теорема и'67 о сушествовании предела для монотонной функции, а также теорема п' 394 о сходимости положительного двойного ряда.
Проведенное здесь рассуждение, как читателю ясно, в общей форме лишь. воспроизводит те, которые были осуществлены в указанных местах для доказательств порознь частных теорем, 642 дополнвнив Заметим, что из доказанной обшей теоремы сразу вытекает и существование конечных пределов для сумм в н 8 )«арбу, но лишь если стоять на точке зрения правила 9) и' 754; совпадение нх с пределамн, рассмотренными в 301, еше подлежало бы доказательству. В качестве более сложного примера остановимся на доказательстве принципа сходимости !ср.
39): Для того чтобы упорядоченная переменная хр имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа а)0 существовала токая «пометка» Р„что неравенство 1хр — хр 1(а выполняется, лишь только Р'; Р, и Р' 1- Ре Перефразируя рассуждение п' 39, прежде всего установим необходимость ь этого УсловиЯ.
Если хр — а, то по числУ а!2 найдетсЯ такое Р, что для Р~-Р будет (хр — а)(а/2 Пусть лРи РЕ- Р, тогда сразу )хр — а!(аг2 и !а — хр )(а!2, так что !хр — хр ~(е; за Р. в этом случае можно взять Р. )тля доказательства д о с т а т о ч н о с т и предположим условие выполненным. Произведем в области всех вещественных чисел сечение по следующему правилу. В класс А отнесем каждое вещественное число а, для которого — начиная с некоторого места— х»а. В клзсс А' отнесем все остальные вещественные числа а'.
Легко видеть, что зто правило действительно определяет сечение. Мы остановиися лишь на доказательстве иепустоты обоих классов При произвольном а)0 найдется, по предположению, соответствуюцгее ему Р, такое, что лишь только Рг- Р, и Р Е- Р„тотчас же !хр — хр )(а или хр — а(хр(хр+е.
Отсюда уже ясно, что (при Р~-Р,) хр — а есть одно из чисел а, а хр+а — одно нз чисел а'; последнее, собственно, опять требует использования условия ИЕ если бы хр + а было одним из а, так что неравенство хр)хр +а выполнялось бы, скажем, для Р Е- Р, то, взяв (в силу 11!) Р так, чтобы сразу было Р(-Р, и РЕ-Р, имели бы одновременно хр(хр + а и хр) хр + а! По теореме )«едекинда !9) существует пограничное между обоими классами число а а -а~а'. В частности, при Р' $- Р, хр — а ~ а ( хр + а, то есть !хр — а ~~ а, откуда н следует, что хр а. Эта теорема находит себе интересные применения. Она не только содержит, как частные случаи, уже известные нам теоремы пп' 643 озщая точка зияния нл п»вдвл 39 и 58, но приводит и к новым результатам.
Так, с ее помощью принцип сходимости распространяется на функции нескольких переменных, на двойные ряды и т. п. Оно дает также условие спрямляемости дуги [330[. Предоставляя читателю самому сформулировать это условие, обращаем внимание на то, что условие явно выполняется для части дуги, если выполняется для всей дуги; таким образом, сейчас можно было бы в два слова доказать утверждение, которое раньше потребовало от нас длинных рассуждении [247[. 759. Одинаково упорядоченные переменные. Для обобщения таких утверждений, в которых участвуют одновременно две (нли несколько) переменных, введем понятие одинаково упорядоченных переменных. Так называются две переменные х и у, которые могут быть упорядочены с помощью одного и то го же упорядоченного множества Ф=[Р[, с элементами которого их значения ставятся в однозначное соответствие (соответствующими мы будем считать их значения хр, ур с одинаковыми «пометками» Р). Если, например, имеем две функции У(х) и я(х) от одной и топ же независимой переменной х, с упорядоченной областью изменения Я; то эти функции будут одинаково упорядоченными переменными.
Соответствующими будут те их значения, которые определяются одним и тем же значением х (оно и играет роль «пометки» Р). Вот другов пример. Пусть для функцииУ(х) и я(х), определенных в некотором промежутке [а, Ь|, построены интегральные суммы Здесь соответствующими следует, очевидно, считать суммы, определяемые одним и тем же набором точек деления х, и промежуточных точек Ц; этот набор играет в рассматриваемом случае роль «пометки» Р, если упорядочить их, а с ними и суммы о, «, по убыванию 1=шахдхь то снова получим одинаково упорядоченные переменные. Соединяя теперь две переменные х, у знаками равенства или знанами арифметических действий, мы будем предполагать эти переменные одинаково упорядоченными и подразумевать, что речь идет о соответствующих значениях их, хр и ур, с одинаковыми «пометками». Обращаясь с этими пометками, как раньше обращались с номерами и значений варианты, легко воспроизвести все прежние рассуждения, относившиеся к вариантам.
Для примера докажем предложение, обобщающее лемму 2 и' 29: Если переменная хр ограничена (по крайней мере, начиная с некогпорого меся«а), а одинаково с нею упорядоченная переменная ар — бесконечно малая, то и их произведение бдгдепг бесконечно малой. дополнвнив Пусть же !хр) ~М, скажем, для Р ~- Р. Задавшись произвольным ч) О, по числу— найдем такое Р", что для Р 1- Р'" будет ~ аР~ (л(. В согласии с условием П1, существует такое Р„что Р,~- и Р«~-~'. Если РГ-Рм то (в силу П) одновременно Р1- Р и Р 1-Р", так что выполняются сразу оба предыдущих неравенства, а тогда ) храр ( = ) хр ! ° ~ ар ) ( М ° у~ —— а, что и докааывает наше утверждение.
После приведенных примеров читателю ясно, что вся теория пределов (с сохранением основных линий в доказательствах) действительно переносится на общий случай упорядоченных переменных. 760. Упорядочение с помощью числового параметра. Во всех встречавшихся нам случаях применения в анализе понятия предела упорядочение множества й'=(Р) «пометок» для значений переменной хр осуществлялось однообразно.
В общем виде применявшийся способ упорядочивания может быть описан следующим образом. Каждому элементу Р из ег' ставится в соответствие значение ! некоторого параметра, причем и многим Р может отвечать одно и то же 1; множество всех таких Р обозначим через д'р Предположим, что все !) О и существуют сколь угодно малые значения 1, для которых й', не пусто. Условимся теперь что из двух элементов Р ечитаетен следуюгиим то, которому отаечает меньшее значение параметра ! (т.
е. расположим элементы Р «по убыванию параметра»). Для двух элементов Р, которым отвечает одно и то же 1, так что они входит в одно и то же множество й', (равно как и для соответствующих им значений х), порядок не устанавливается. При этом будут соблюдены все условия 1, П, 1П. Это очевидно по отношению к 1, П; проверим выполнение Ш. Пусть Р и Р— любые два элемента нз множества й', и им отвечают значения 1 и !' параметра.
По предположению, найдется такое значение !", меньшее, чем ! и г', для которого иге, не пусто. Тогда любое Р" из Р,„будет следующим и за Р, и за Р'. Читатель легио проверит, что все известнме ему случзи использования понятия предела подходят под эту схему. Для варианты х„ 761) ОБШАя точка зРения нА ИРедел 1 с «пометкой» и, мщкно принять С= —. Если речь идет о функции и' у(х) и ее пределе при х — а, то множество «пометок» х упорядочивается по убыванию параметра 1=(х — а!.
Также и в случае функции,г (М) =у(х, у) двух переменных, где роль «пометкн» играет точка М(х, у), определяя предел функции при ',х а, у — Ь, можно охарактеризовать процесс с помощью любого из параметров 1,=шах()х — а), )у — Ь~), 1»=~х — а~+(у — Ь| или ~д Для сумм Д арбу а=~ т,-йхь 8= ЯМ;Ьх; «пометкой» служит набор точек деления", при переходе к суммам Римана а = '5',У'(1;)Ьх, к нему присоединяется еще набор точек 1» В обоих случаях зги «пометки» упорядочиваются с помощью параметра Т=шахбхе При определении длины дуги параметром служит наибольший из диаметров частичных дуг и т. д. Во всех случаях, когда область изменения Хпеременной х или— вернее — множество «пометок» д'=(Р) упорядочены указанным выше образом с помощью числового параметра 1, очевидно, определение предела (мы ограничиваемся случаем конечного предела) может быть дано в следующем виде: число а палпетсп пределом х, если казкдому числу а >О отеечает такое 3)0, что — ~< лтиь только соответствующее ему значение параметра 1< й.
Упорядочением с помощью числового параметра мы пользовались и в третьем томе Однако втот простой способ упорядочивания все же не покрывает потребностей математического анализа в его более высоких ветвях. В качестве примера такого упорядочения, которое вообще нельзя осуществить подобным путем (с привлечением числового параметра), можно привести правило 9) по 764: это станет ясным из рассмотрений следуюгдего п'.
761. Сведйние к виривите. Во всех конкретных случаях, когда мы статпвались с понятием предела, до сих пор оказывалось возможным в некотором смысле свести вопрос к пределу варианты. Эта возможность выражения понятия предела на «языке последовательностей» играла важную рот в предыдущем изложении.
Исследуем [76! дополнении теперь„как обстоит дело в общем случае упорядоченной перемен но й х=хр. С этой целью введем понятие конфинальной подпоследовательности для данного упорядоченного множества й>=Я. Так мы будем называть последовательность Рь Ра, ..., Р„..., (4) элементов, извлеченных из йа, если выполнено следующее условие; кзкой бы элемент Р' нз «7> ни взять, элементы Р„ для достзточно больших номеров оказываются следующими за Р'. Рл Р- Р (для п) М). Если переменная х упорядочена с поиошью «пометок» Р из У, то, при наличии конфннальной подпоследовательности (4) для множества й', соответствуюшую извлеченную из Я' последовательность значений х хь хь > хл> ° ° ° > где х„=хр, будем называть конфинальной подпоследовательностью для Х=[х).
Прежде всего встает вопрос о салом суиаествоватги хоть одной подпоследовательносгпи (4), конфинальной для й>, или, что то оке, подиоследовательности (б), конфинальной для сь". Нужно сказать, что во всех случаях, когда упорядочивание множества й> осушествляется с папашью некоторого числового параметра ! (как это разъяснено в предыдущем п'), построение подобной подпоследовательности не ' предстзвляет труда: взяв последовательность [(„), („-ь 0 так, чтобы все множества й', были непусты, >л выберем из каждого Уг по элементу Р,: составленная нз них послел довательность [Р„) очевидно и будет искомой. В обшем случае, однако, для упорядоченного множества и> = [Р) может н не существовать ни одной конфинальной подпоследовательности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
