Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Легко перефразировать последнее определение для случая, когда речь идет о бесконечности определенного знака, + ео или — оо. Прн этом пишут, как обычно: Вшх=а(оо, +эо, — эо) или х-»а(оо, +со, — оо). Обратимся к примерам. 756. Примеры. Начнем с примера переменной х, у которой область изменения 2 н е п о с р еде т в е н н о упорядочена. 1) Пусть Я'=[х) будет любое множество вещественных чисел с точкой сгущения а, упорядоченное по убыванию (х — а~ [см. пример 3) и» 754]. Очевидно, соответствующая переменная х имеет пределом а: какое бы е)0 ни взять, в 2 найдется х„отличное от а, такое, что [х,— а)(э„а тогда для х»-х, и подавно (х — а[(а. Аналогично, если 2 =(х) имеет точку сгущения оо и множество это упорядочить по возрастанию [х[ [см.
пример 4) и' 754), то х-» оо. Чаще встречаются, однако, случаи, когда значения переменной поставлены в соответствие «пометкам» Р из некоторого упорядоченного множества У. Приводимые ниже примеры этого рода имеют особую важность: они показывают, что изученные в нашем курсе различные виды пределов действительно могут быть рассматриваемы как частные осуществления изложенного выше общего определения. 2) Рассмотрим понятие предела функции [52) Вщ г(х)=А, ограничиваясь для простоты случаем конечных а и А.
Пусть функция У(х) определена в области 2 =(х), имеющей точку сгущения а; значение а само в ь не входит или, по крайней мере, не учитывается при определении предела (1). Эта функция н есть здесь та переменная, о пределе которой идет речь, х же играет ВЗВ дополнении роль «пометки» Р. Условимся понимать указание х-+а в том смысле, что область Я' изменения х упорядочена по убыванию ~х — а~ [764, 3)[.
Тогда соответственным образом упорядочивается и множество значений функции [г (х)[, и равенство (1) — в согласии с общим определением — приобретает определенный смысл. Именно, оно означает, что по заданному ь ) 0 всегда найдется такое значение х, из Я, что неравенство [ г (х) — А ) ( ь (2) выполняется для х«-х„т. е. лишь только )х — а/([х, — а!. Положив / х, — а ) = 3, последнее условие можно записать так: / х — а / (3. Обратью, если неравенство (2) имеет место при )х — а)(В, то, взяв х, под условием )х,— а[(3, можно утверждать, что (2) выполняется для хь-х, Таким образом, новое определение предела функции равносильно прежнему [62). 3) Определение предела функции двух переменных 5ш г'(М)=Иш,г(х, у)=А (3) мо л а э ь может быть выражено в терминах упорядоченной переменной совершенно аналогично.
Пусть функция г'(М) =У(х, у) определена в области ву = = [М (х, у)[ с точкой сгущения М,(а, Ь); сама зта точка при определении равенства (3) в расчет не берется. Точки М (х, у) иа гВ играют роль «пометок». Упорядочив множество лВ так, как зто сделано в п' 754, 5) (именно в этом смысле мыуславливаемся понимать указание М-»Мь или х-~-а, у-»Ь), мы тем самым упорядочиваем и мнсжество значений функции [г (М)[ = [г (х, у)~. Тогда равенство (3) приобретает смысл — в согласии с общим определением предела упорядоченной переменной. И здесь сразу видно, что новое понимание равенства (3) равносильно прежнему [166].
Определение предела по существу останется тем же, если вместо закона упорядочения множества аФ= [М (х, у)~, указанного в 754, 6), положить в основу те правила, которые были проведены в 6). 4) Для переменной х „, зависящеи от двух натуральных значков т и л, понятие предела Пшх „=А строится на таком законе упорядочения пар (т, и): (т', и') ,'-(т, и), если ппп(т', п')) ппп(т, и) [см. 764, 7)1. Оно совпадает с тем определением, о котором была речь в конце п' 165, 7йт) озщля точка в»виня нл пгвдзл Тот же результат получился бы, если бы мы исходили и ив более простого, также упомянутого в 7), правила упорядочения (т', и')»-(т, п), если т' ~т, и')п. Распространение всего сказанного на случай функций от нескольких переменных не представляет затруднений. 5) Обратимся, наконец, к вопросу о пределе сумм Р и м а н а илн Д а р бу лля заданной в промежутке [а, Ь[ ограниченной функции У(х). Эти суммы связаны с разбиением Я промежутка [а, Ь» на части с помощью произвольных точек деления а=х,(х,( ...
(х;(хгп( ... х„=Ь, причем предельный процесс направляется тем, что Л-+О, где Л= =шахах» В 7Б4, 8) мы уже упорядочивали множество всевозможных разбиений промежутка на части еУ=[!с» по убыванию Л. Соответственно этому упорядочиваются и значения сумм Дарбу, а и 8. Для построения римановой суммы о, кроме разбиения промежутка на части, нужно еще выбрать в каждой части по точке. Таким образом, риманова сумма характеризуется н а б о р о м не только точек деления, но и промежуточных точек; эти наборы (а с ними и рнмановы суммы) также можно упорядочить по убыванию Л. Теперь уже ясно, что пределы 1!ша, Вша, !!шЯ ха хз ьа подходят под общую схему, развитую здесь.
Заметим попутно, что те же, по существу, пределы получились бы во всех случаях, если бы в основу упорядочения множеств [а», [а», Я было положено н правило 9) ц' 7Б4. В виде упражнения предлагается читателю доказать это, опираясь на результаты пп' 297 и 301. Аналогично исчерпывается вопрос о пределах, рассмотренных при определении длины дуги [330», площади плоской фигуры [336» криволинейных, двойных и поверхностных интегралов [644, 660, Б89, 631, 636» и т. д. 7Б7.
Замечание о пределе функции. Говоря о пределе (1), мы условились одним лишь вполне определенным образом упорядочивать множество .2'=[х» [764, 3)», а с ним и множество значений функции [г'(х)». Определение предела этой последней, 'построенное на рассмотрении упомянутого «стандартного» закона приближения х к а, оказалось равносильным тому определению, которое было дано в п' 62 «на языке а-й». Можно было бы, однако, отказаться от «стандартизации» закона приближения х к а, предоставляя х изменяться вдоль множества Х или любой из его частей, сохраняющих а в качестве точки сгущения и упорядоченных по произвольному правилу, но так, что а является их пределом. Значения функции У(х) всякий раз упорядочиваются сообразно с х.
дополмвнив Таким образом, равенство (1) можно понимать и ттс по какому бы закону независимая переменная х ни стремилась к пределу а, функция У(х) всегда стремится к одному и тому оке пределу А. Это определение сближается с определением и 63 чна языке последовательностей», лишь произвольная последовательность значение х, стремящаяся к а, здесь заменена вообще произвольным у в о р я по че н н ы м м н о ж е с т в о и, имеющим предел а. Для доказательства равносильности только что приведенного определения и данного в предыдущем и' достаточно установить, что нз существования предела (1) в смысле пь 62 следует сформулированное выше утверждение.
Пусть же для любого а)0 найдется такое д)0, что неравенство (2) выполняется, лишь только ] х — а ] ( 3. По какому бы закону х ни стремилось к а, по самому определению пределз должно существовать такое значение х, что для х г- х будет ]х — а](в," тогда для тех же значений х выполнится н неравенство (2), т. е., действительно, У (х) -» А. Такое же замечание можно было бы сделать и относительно функций двух (или нескольких) переменных.
768. Рвспрострвнеиие теории пределов. Обратимся, наконец, к распространению утверждений, доказанных в главе 1 для варианты, на общий случай упорядоченной переменнои. Это распространение осуществить нетрудно, если шаг за шагом проследить построение теории пределов для варианты. Всякий рав, когда там была речь о выполнении какого-либо соотношения для значении х„с номерами п„ббльшими некоторого М, здесь прндется говорить об его выполнения для значений х=хр с чпометками» Р, с л е д у ю щ и м и за некоторым Р'. Например, докажем утверждение, аналогичное 26, 1'.
Если упорядоченная переменная хр стремится к пределу а п а»р (а< Я, то и хе >р (хр у), по крайней мере, начиная с некоторого места. Взяв е (а — р (ь(д — а), найдем такое Р', что для Р г- Р' будет ]хе — а](а; для тех же х, очевидно, и хр» а — а)р (хр(а+а(д). Так же обобщаются и утверждения 26, 2' — 4'. Последнее, впрочем, перефразируется так: если переменная х имеет (конечный) предел а, то она является ограниченной, по крайней мере, н а ч и н а я с н е к о т о р о г о места [ср.
66, 1, 4']. При доказательстве единственности предела [26, 6'[ приходится своеобразно воспользоваться условием РД [764]. Допустим (рассуждая от противного), что одновременно хр-» а, хг-~»Ь, причем а(Ь. Если взять г между а и Ь, то, с одной стороны, хр ( г для Р ~- Р', с другой же стороны, хр) г для Р а- Р". овшая точка зркння на предел 641 Но именно в силу!П найдется такая «пометкаь Р, что сразу и Р»- Р н Р~-Р", тогда одновременно хр(г и хр >г, что и осушествляет требуемое противоречие. На упорядоченную переменную следуюшим образом распространяется определение монотонной переменной: ыременная хр на.
зывается монотонно возрастающей !или возрастающей в тираном смысле), если Р'»-Р всегда влечет за собой х „) хр !или х,)хр). Примером такой переменной может служить монотонно возрастаю. шая функция Дх), если ее значения упорядочены по возрастанию независимой переменной х, или частная сумма Ам п о л о ж и т е л ь ° 1Ю н о г о двойного ряда а, а, па-1 если считать А!"1)А„",! при т')т и и')и. Так же устанавливается памятия и о н о т о н гьо у б ы в а юш е в переменной. Во внимание к известным свойятвам сумм, Д арчу з и 8»296], если только упорядочитв разбиения промекутка так, как это сделана в примере 9) по 764, очевидно„' нижняя сумма з окажется монатоннс возраставшей переменной, а верхняя сумма 8 — монотонно убываю шей. Этого нельзя сказать, если взять другой способ упорядочению »764, 8)].
Теперь легко обобшить теорему и' 34 о монотонной варианте: Монотонно возрастающая переменная х=хр всегда имеем предел. Если переменная ограничена сверху, то вваогя предел конечен, в противном случае он равен + со. Предполагая переменную ограниченной, положим а = зпр ]хр» так что все хр(а и, с другой стороны, каково бы ни было числс а)0, найдется такая «пометка» Р„что хр )а — а. Но тогда, лишь только Р»- Р„будем иметь хр) хр, следовательно, и подавно хр) а — а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
