Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (947426), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Рассмотрим, для примера, множество в>т'= [Я) различных разбиений данного промежутка [а, Ь) на конечное число частей ь, прячем упорядочивание этого множества произведем по правилу 9) п' 764. Допустим, рассуждая от противного, что для еа' сушествует конфвнальн ая подпоследовательность йойа" й„ разбиений. Каждому Я„отвечает конечный наба р точек деления. Легко построить такой промежуток [аь Ь,] (а<' ат(Ь«(Ь), чтобы в нем не лежала ни одна точка деления из )Со Затем построим промежуток [аа, Ьв) (а, (аа (Ь, (Ьа), свободный от точек деления Яч Эти )7, как указывалось, могут служить <пометками>, например, длв сучм Д ар 6 у некоей функции, определенной в [а, Ь). 7В2] овщья точка зрения нь предел н т.
д. до бесконечности. На п-й стадии окажется построенным промежуток [а„, Ь„] (а„,(а„(Ь„(д„ь), в котором не содержится точек деления Я„. Если озаботиться при этом, чтобы было ܄— а„-ь О, то, по лемме о вложенных промежутках [33], найдется единственная точка с=Ища„=1нпЬ„, которая прннздлежит всем промежуткам [а„, Ь„]. Эта точка, очевидно, не совпадает ни с какой точкой деления ни одного Я„.
Если взять теперь любое разбиение)с" промежутка [а, Ь], в котором среди точек деления фигурирует с, то по правилу 9) 754 ни одно й„не может считаться следующим за К вопреки определению конфинальной подпоследовательностн. Это противоречие н доказывает, что на деле такой подпоследовательности нет. [Отсюда-то, между прочим, и следует, что указанный способ упорядочивания множества еп'=[)с] не поддается параметризапни в смысле предыдущего и'!] Предположим теперь, что множество «пометокь Ф, а с ним я область изменения .Т упорядоченной переменной х, вообще содержит конфинальные подпоследовательности.
В этом случае (и — понятно — только в этом случае) вопрос о пределе переменной х обычным образом сводится к вопросу о пределе варианты: для того чтобы переменная х имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы я этому пределу стремилась яаясдая варианта х„, пробегающая нонфинальную подпоследовательность для Я'. Действительно, если х-ьа (где мы, для определенности, предполагаем а конечным), то при любом ь)О имеем: [хр — а[(ь, лишь только Р~-Ре Но если взята любая конфинальная нодпоследовательность (4), то для достаточно больших и, по определению, будет Р„~-Ри так что ]х — а] =[хр — а [(ь.
Это и значит, что варианта х„-+а. Обратно, пусть каждая такая варианта стремится к а. Для того чтобы доказать, что тогда х-ьа„допустим противное: для некоторого ь ) О, какое бы ни взять Р из д', найдется Р ~- Р' такое, что ~ хр — а [~ь. Возьмем какую-нибудь конкретную конфннальную для йь подпоследовательность [Р„]. Согласно сказанному, по каждому Р„найдется в 4Р элемент Р„ ~- Р „', для которого [х„— а[=[хр — а[)«(п=1, 2, 3, ...). Легко показать, что и подпоследовательность [Р„] будет конфинальной для йь, а значит подпоследовательность [х„] — конфинальной для Х, а тогда предыдущее неравенство противоречит допущению. 762. Наибольший и наименьший пределы упорядоченной переменной.
Рассмотрим упорядоченную переменную х, значения которой снабжены «пометкамиь Р из д'. При любом Р составим множество 648 [762 дополнзнив Яр из тех значений х, которые следуют аа хр, т. е. отвечают «по- меткам» Р'е- Р, и найдем его точные границы зпр Яр и 1п1Хр (которые могут оказаться и бесконечными).
Каждая из ник является упорядоченной переменнояспометкамиР и притом первая— монотонно убывающей, а вторая — монотонно возрастающей (в смысле и= 768). В таком случае, по теореме о монотонной переменной, существуют определенные (конечные или нет) пределы М» =11ш (зцр Яг), М =11ш (1п1 Яг) « (6) Их, в общем случае, и называют, соответственно, н а и б о л ь ш и м или наименьшим пределом переменной х и пишут М"=1ппх, М„=!ппх. Равенство втих пределов есть условие, необходимое и достаточное для существования предела переменной х в обычном смысле [7Щ. Действительно, если существует конечный предел (7) а =1ппх, то для любого а) О найдется такая «пометка» Р„что (8) а — а(хр(а+а для Р~-Ре Тогда и а — е ~1п1 Яе (Мз (М* — знр Яя (а+3, так что, ввиду произвольности а, Обратно, если имеет место это равенство (при а конечном), то, ввиду (6), снова по а ) О найдется такое Р„ что а — а(1п1Я~ ~зпрЯ~ (а+з, так что выполняется (8), а отсюда следует (7).
Предоставляем читателю провести рассуждения для случая а= ы оо. Числа Мч и М, в случае их конечности, могут быть охарактеризованы ик свойствами, которые вполне аналогичны свойствам 1 и 11, изученным в 42. Для примера остановимся на М'". ь То обстояте»ьство, по рассматриваемые переменные могут принимать и несобственные значения -~-ю, ие создает затруднений. ОБЩАЯ ТОЧКА ЗРБНИЯ НА ПРБДБЛ 649 Если взять по произволу число «)О и «пометку» Рь, то существует такое Р,[- Р„ что М * — а(зпр Я р (М*+ «. Отсюда, по определению точной верхней границы, следует ! свойство числа М*: для всех Р'; Р, будет ,(м'+ .. П свойство числа М*: найдетея хоть одно значение хр' (где Р' г-Рл), такое, что хр ) М" — а. 1!усть теперь множество 0'=[Р[ допускает конфинальные подпоследовательности (4), которым отвечают конфинзльные для Я" подпоследовательности (5) значений нашей переменной. Если какая-либо из таких последовательностей имеет предел, то его называют ч асти ч вы м пределом переменной х [ср.
40 и 59[. В этом случае можно доказать, что наибольший и наименьший пределы М* и М„, определенные выше, являются в то же время, соответственно, наибольшим и наименьшим из всех частичных пределов переменной х [как и в 40 или 59[. Действительно (если снова ограничиться пан больш им пределом в предположении его конечности), из свойства ! сразу ясно, что ни один частичный предел не может превзойти М". Для того чтобы построить конфинальную для Я подпоследовательность (5), стремящуюся к Мь (и тем показать, что М* само служит частичным пределом), мы исходим наперед из некоторой подпоследовательности Р! Ра ° ° ° ~ Рл конфинальной для У. А затем, с помощью свойств ! и П [ср.
40», индуктивно строим подпоследовательность(4) так, чтобы, во-первых, было Р„г- Р„' (так что и (4) будет конфинальной для У!) и, во-вторых, чтобы х„= =хр удовлетворяло двойному неравенству М* — «„(х„< М~+ « где «„— произвольно взятая положительная варианта, стремяшаяся к О.
Очевидно, последовательность (5), конфинальная для Х, будет иметь своим пределом Мл. Можно указать еще один пример наибольшего и наименьшего пределов иэ уже знакомой читателю области. Так, очевидно, верхний н нижний интегралы Дар бу !л и !л [296, 301] являются, соответственно, наибольшим и наименьшим пределами для интегральной суммы (суммы Р и м а н а) « = ЯУ(1;) Ьх; при Л = шах Ьх; -ь О.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абеаь 237 Абсолютная сходнмость рядов Фурье 593 Аддитивная функция от области плоской !34, 165 — — — — пространственной 3!1 — — — —, определение ее по производной 136, 312 — — — промежутка 1!9, 137 Аппроксимация функции в среднем 583 — — равномерная 5?9 Архимеда закон 340 Арцела 119, 591, 626, 627 Астронда 35 Бернштейн 505, 593 Бесселевы функции 144, 235, 401, 41! 422, 478, 541, 548, 561 Бессель 584, 585, 586 Бно и Савара зэкон 44 Буннковского неравенство 146, 169 Бэта-функция 213, 230 Валле-Пуссен 626 Всйерштрасс 580, 610 Вектор 366 — потока тепла 370 Векторная линия, поверхность 367, 368 — трубка 368, 376 Векторное поле 367 — произведение 45, 367 Вивиани тело 163, 208, 210, 261, 263, 265 Винтовая поверхность 265 Виртингер 596 Вихревая линия 383, 384 — поверхность 383 — трубка 383, 384 В рь 373 Вихря поток 373 Вольтерра !58 Вращение плоской фигуры !70 Вращение тела 331, 332 Вращения поверхность 264, 266 — тело 170, 355 Гамильтон 369 Гамма-функция 159, 161, 230, 392, 394 — 403, 407, 411, 461, 541 Гармоники 492 Гармоническая функция в круге 605 — — — области плоской !80 — — — — пространственной 339, 381 Гармонические колебания 492 Гармонический анализ 492 — — практический, схема на 12 ординат 563 †††, схема на 24 ординаты 568 Гаусс 62, 336, 412 Гаусса †Остроградско формула 333 Гарусовы коэффициенты поверхности Гейне — Кантора теорема 62! Гельмгольц 383 Гиббс 495, 497 Главное зйэчение несобственного иятеграла 240, 533 Градиент 368 Грам 413 Грина формула 174 Гульдина теорема 171, 355 Гурвиц 596 Дарбу верхние и нижние интегралы 128 — — — — — как пределы 130, 649 — — Стилтьеса суммы 91 — суммы для интеграла двойного 127 — — — — тройного 310 Двойной интеграл 123, 126 — †, выражение через первообразную 147 — — как аддитивная функция области 135 — — классы интегрируемых функций 128 — — несобственный 214, 22! АлФАВитный уклзлтпль Двойной интеграл, приведение к повторному 123, 137, 149 — †, свойства 131 — —, условия существования 128, 131 — рзд, сопоставление с двойным интегралом 240 — — Фурье 483 Двусторонняя поверхность 242, 248 Декартов лист 36 Диаметр точечного множества 126 Дивергенция 371 Дини признаки 434, 487, 528, 531 Днрнхле — Жордана признаки 438, 489, 529, 531, 609 — задача для круга 605 — интеграл 423 — лемма 436, 486 — разрывный множитель 536 — условие 439 — формулы 158, 231, 237, 394, 407 Дифференциал точный, интегрирование 50, 52, 65, 68 — —, признаки 50, 65, 178 — —, связь с криволинейным интегралом 46, 65, 66, 306 Дифференциальное уравнение гидродииамики 379, 382 — — колебания струны 550 — — теплопроводности 380, 554, 561 Дифференцирование по области 135, 312 — ряда Фурье, почленное 577, 611 Длина дуги 14, 358, 643 Дю Буа-Реймойд 497, 625, 626 Жидкий контур 381, 383 Жордан 74, 87, 88 Жордана — Днрихле признаки 438, 489, 529, 531, 609 Замена переменных в интегралах двойных Ю4 — — — — несобственных 223 — — — — тройных 358 — — — — я-кратных 388 Замкнутая ортогональная система функций 585 Ззмкнутости уравнение 585, 586, 589, 590 Ззмкнутость тригонометрической системы 586 Изгибающий момент 108 Изопериметрическая задача 596 Инверсия 186, 344 Инерции главные оси 169, 170, 332 — момент плоской фигуры 166 Инерции номент полярный !68 — — поверхности 277 — — прямолинейного отрезка 106 — — тела 324 — — цилиндрического бруса 167 Интегральная сумма 12, 20, 90, 126, 274, 286, 308 Интегральное уравнение 158, 237, 534, 535, 539 Интегральный косинус 540 — логарифм 542 — синус 541 Интегрирование по частям для интегралов Стнлтьеса 97 — — — — обыкновенных интегралов 11Π— рядов Фурье,почленное574,599,591 — точныхдифференциалов51,52,65,68 Интегрируемая функция 90, 127, 310 Интегрируемости условие !для дифференциальных выражений) 46, 50 Источники 372 †, плотность 372 †, производительность 372 Кантор 620 Кантора — Гейне теорема 621 Каталан 405 Каталана формула 160, 232, 270, 407, 409 Квздрируемая поверхность 251 Квази-стационарный процесс 43 Кеплера уравнение 547 Кинетическая знергия вращающегося тела 831 Колмогоров 502 КобнДинальная подпоследоватезьность Координатные линии 184 — поверхности 343 Косинус-преобразование Фурье 535, 545 Косинус-преобразование Фурье для функции двух переменных 547 Котангенс, разложение на простые дроби 452 Коши 524, 533, 535 Кратные интегралы 126, 309, 386 — — Фурье 545 — Ряды Фурье 483 Кривизна поверхности, гауссова 272 Криволинейные координаты п пространстве 343 — — на плоскости 184 ††, элемент объема 348 — зтемент площади 192, 257 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Криволинсйяый интеграл второго тина 20, 21 — — — —, вычисление череп перво- образную 49, 65 — — — — диффереммираманжа 46 — — — — независимость от пути 29, 46, 55, 65, 121, 178, 306 — — — —, поведение в случае наодносвязной области 57, 70 — — — — по замямутому конауру 25, 56, 67, 178, 305 — — — —, йриблпжение интегралом по ломайой 30 — — — — сведение к интегралу Стилгьеса 120 — — — —, сведение к обыкновенному интегралу 22 — — — — салль с криволинейным интегралом первого тина 38 — — первого типа 11 — — — —, сведемне к обыкновенному интегралу 13 Крылов 516„578 Кумиер 461 Кусков 355 Лагранж 383„470 Лаплас 381, 536, 605 Лебег 98, 497, 502, 624 Левая координатнав система 26, 246 Левая орнеггтация плоскости 26 — — пространства 245 Лежандр 230, 271 Лежандра мнцгочлены 233, 422 Лейбниц 234, 278, 376, 410, 448 Лемниската !96 Линейный интеграл 372 Липшиц 77, 93, 435, 489, о93 Лнпшица признаки 435, 489 Лнувилль 234, 405, 412 Лнувилля формулй 161, 213, 214, 231, 396, 403, 407 Ляпунов 586 Малнев 515 Масса кривой 11, 17 — — поверхности 277, 281 — плоской фигуры 137, !65 — тела 308, 323 Мебиус 242, 248 Многократные интегралы 387 ††, замена переменныя 388 — — сведение к повторному 387 Монотонная псремениап, возрастающая и убываютцая 641 Мур 632 Набаз 369 Направление на замкнутом контуре 26 Напряжение поля 40 Начзлвлые условия 550, 555, 556, 557, 560, 561 Неравномерная сходимость рядов Фурье 495, 497 Неразрывности уравнение 379 Несобственный двойной интеграл 215, 222, 240 — — —, абсолютная сходимость 2!7, 222 — — —, замена переменных 223 — — — приведение к повторному 2!9 — — — признаки сходимости 226 — троййай нжтеграл 3!5 Нечетная функция 442, 533, 535, 546 Нттрмальная ортогональная система ФУмкцнй 420 Нь!отона закон притяжеиив 18, 72, 277, 324, 364, 371, 384 Объем в криволинейных координатах 345, 34Ф вЂ”, выражение поверхностным интегралом 299', 333 —, различные формулы 301 — тела па поперечным сеченилм 323 —, формула Кускова 355 — цилиндрического бруса 122, 323 — и-мерного пзраллелепипеда 386 — — симплевса 391 — — тела 386 — и-мерной сферы 392 Ограниченного изменения функции 74 — — —, классы 76 — — —, критерии 82 — — — непрерывные 84 — — — ограниченность частичных сумм ряда Фурье 6Н вЂ” — — порядок коэффициентов Фурье 508 — ††, свойства 79 Одиосвязность плоской области 53, 178 — пространственной области 305, 336 Односторонняя поверхность 242 Ориентация плоскости 26 — поверхности 244, 245 — †, сввзь со стороной поверхности 245 — пространства 245 Ориентированная область, интеграл но ней 207, 359 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 653 Ортогональная система функций 420, 583 Ортогональные функции 420 — — с весом 423, 562 Особенностей выделение как метод улучшения сходимости 516, 578 Особенности рядов Фурье 497 Остаток ряда Фурье, оценка 505, 508 Остроградский 333, 335, 371, 379, 388 Остроградского — Гаусса формула 333 Парсеваль 585, 589 Первообпазная функция 46, 60, 65, 136, 147 Перерезывающее усилие 108 Периодическая функция 4!4 ††, интеграл по периоду 427 Плотйость линейная 11 — объемная 308, 324 — поверхностная 135, 277 Площадь винтовой поверхности 265 — кривой поверхности 248, 251, 356 †††, особые случаи 259 — — — параметрическое задание 252, 273 †††, явное задание 257, 273 — плоской фигуры в криволинейных координатах 189, 194 — — — выражение криволинейным интегралом 32, 121, 176 — поверхности вращения 264, 266 — — п-мерной сферы 393 — цилиндрической поверхности 266 Поверхностные интегралы второго типа 285, 287 — — — —, независимость от формы поверхности 336 — — — — по замкнутой поверхности 335 — — — —, сведение к двойному 288, 291 — — — —, связь с поверхностными интегралами первого типа 289, 291 — — в и-мерном пространстве 388, 405 — — первого тина 274 — — — —, сведение к двойному 275 Поверхность вращения 264, 266 — уровня 367 Поле векторное 367 — магнитное 44 — ньютоновского притяжения 72, 369, 371 — силовое 40, 71, 372 — скалярное 867 Поле скорости 42, 370, 374 — температуры 369 Полное изменение функции 74, 82, 86 Полнота тригонометрической системы 578, 610 Положительное ядро 600, 603, 608, 610, 612, 619 Полярное уравнение поверхности 266 Полярные координаты в пространстве 344 — — в я-мерном пространстве 401 — — на плоскости 184 — — обобщенные 198 — —, элемент площади 192, 195 Потейциал векторный 375 — ньютоновский, созданный материальнвп точкой 72 — —, — поверхностью 278 — —,— сферическим слоем 285 ††, — сферой 329 — †, — телом 325, 364 — †, — зллипсондом 363 — — тела на само себя 385 — — — — другое тело 385 Потенциальная функция 71, 374 Потенциальное поле 71, 374 Поток вектора через поверхность 370 — тепла 370 — †, вектор 371 Правая координатг~ая система 26, 246 — ориентация плоскости 26 — — пространства 245 Предел упорвдоченной переменной 636 — — — наиболыпий, наименьший 648 — — †, условие существования 642, 648 Предельные условии 550, 555, 556, 557, 559, 561 Преобразование плоских областей 182 — — —, сохраняющее площадь 203 — пространственных облзстей 342 Приложения к механике и физике: интеграла двойного 137, 165 †1, 208 — криволинейного второго типа 41, 43, 44, 72, 73, 382 — — первого типа 11, 17, 42 — многократного 384 — поверхностного 277, 281, 370, 379, 380 — Стилтьеса 106, 198 654 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТВЛЬ интеграла тройного 308, 324 †3, 340, 362, 364, 379, 380 — Фурье 558 рядов фурье 551, 555, 557, 560, 565, 570 Притяжение материальной точки кривой 19 — — — поверхностью 277 — — — сферическим слоем 284 — — — сферой 328 — — — телом 325, 364 — тела телом 385 Произведение инерции 169, 331 Производная обобщенная, первая и вторая 613, 614 — по направлению 368 — — области 135, 312 Простой слой 277 Пуассон 228, 280, 407, 603, 606 Пучностн 553 Работа силового поля 40, 71, 372 Равномерная сходимость рядов Фурье 4!9, 487 Расходимость 371 Расходящихся рядов суммирование, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
