ilin2 (947409), страница 55
Текст из файла (страница 55)
гл. 8 Ряды Фурье 322 Для оценки последнего интеграла в правой части (8.71) заметим, что с помощью кусочно непрерывной функции (8.67) этот интеграл записывается в виде ! 5!и (л+ ) ! — а! = " ~ я(!)е!и [оп+ — ) !]с(!. е~!!(~л 2 Мп— 2 — л я|п (л+ — ) ! 1!х! ~ 2 ~ е е(!р!(л 2 ып— (8.74) для всех и «Жя и всех точек х из сегмента [ — и, и].
Обозначив через М наибольший из двух номеров )у'! и Ля, в силу (8.71) — (8.74) получим, что для фиксированного нами произвольного е)0 найдется номер М такой, что [5„(х, 1) — [(х) [(е для всех п)7ь! н всех х из сегмента [ — и, и]. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Очевидно, что в условиях теоремы 8.13 тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно не только на сегменте [ — л„п], но и на всей прямой (к функции, являющейся периодическим (с периодом 2п) продолжением функции [(х) на всю прямую). 3 а меч а н и е 2.
Отметим, что при оценке интегралов (8.73) и (8,74) мы использовали лишь кусочную непрерывность (и вытекающую из нее .ограниченность) функции !(х) на сегменте [ — и, и] (принадлежность [(х) классу Гельдера С" при оценке этих интегралов не использовалась).
3 а м е ч а н и е 3. Естественно возникает вопрос о том, можно ли в теореме 8.13 ослабить требование гладкости на функцию 1(х), сохраняя утверждение этой теоремы о равномерной на сегменте [ — л, и] сходимости тригонометрического ряда Фурье этой функции. Напомним, что принадлежность !(х) на сегменте [ — и, л] классу Гельдера Сл по определению означает, что модуль непрерывности [(х) на этом сегменте имеет порядок (8, [) =О (ба) Интеграл, стоящий в правой части последнего равенства, при и— '-«пп сходится к нулю в силу все того же следствия 4 п. 3 (достаточно применить это следствие к функции [(х) — = 1).
Учитывая также, что функция г(х) во всяком случае ограничена на сегменте [ — я, л], получим, что для фиксированного нами произвольного е~О найдется номер й!я такой, что 323 й 5. Более точные условия сходимости Отметим без доказательства так называемую т е о р е м у Дини — Липшица: Для равномерной на сегменте [ — л, я] сходимости тригонометрического ряда Фурье функции 1(х) достаточно, чтобы эта функция удовлетворяла условию ) ( — тс) =[(я) и чтобы ее модуль непрерьчвности на сегменте [ — и, и] имел порядок от (х, 7) = о ( т.
е. является при б — «О бесконечно малой величиной более вы- 1 сокого порядка, чем !п (1!б) Теорема Дини — Липшица содержит окончательное (в терминах модуля непрерывности функции) условие равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье функции, так как можно построить функцию 7(х), удовлетворяющую условию 7( — я) =!(я) с модулем непрерывности, имеющим на сегменте 1 [ — п, и] порядок О ( ) и с тригонометрическим рядом 1п(1)б) Фурье, расходящимся на множестве точек, всюду плотном на сегменте [ — я, и] ац. В условиях теоремы 8.13 после периодического (с периодом 2п) продолжения функция [(х) оказалась принадлежащей классу Гельдера С» на всей числовой прямой.
Естественно возникает вопрос о поведении тригонометрического ряда Фурье функции 7(х), принадлежащей классу Гельдера С" только на некотором сегменте [а, Ь], а всюду вне этого сегмента удовлетворяющей лишь обь!чному требованию кусочной непрерывности. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорем а 8.14. Пусть функция 1(х) кусочно непрерывна на сегменте [ — я, и] и периодически (с периодом 2п) продолжена на всю числовую прямую. Пусть далее на некотором сегменте [а, Ь], имеющем длину, меньшую 2п, эта функция принадлежит классу Гельдера С с произвольньгм положительным показателем а (О< <а<1).
Тогда для любого б из интервала 0<8<(Ь вЂ” а))2 тригонометрический ряд Фурье функции Цх) сходится (к этой функции) равномерно на сегменте [а+б, Ь вЂ” б]. Д о к а з а тел ь с т во. Построим функцию д(х), которая на сегменте [а, Ь] совпадает с [(х), на сегменте [Ь, а+2я] является линейной функцией вида Ах+В, обращающейся в 1(Ь) прн х=Ь »»> Доказательство теоремы Дини †Лн«ипа и построение только что указанного примера можно найти, вапример, в книге А. Зигмунда «Тригонометрические ряды.
Т. 1» (Мс Мир, 1965. С. 108 н 477). Гл. 8 Ряды Фурье 324 и в /(а) прн хм=а+2яаз~, и которая периодически (с периодом 2п) продолжена с сегмента [а, а+2п] на всю прямую (на рис. 8.1 жирная линия изображает график функции /(х), а штриховая линия — график построенной по ней функции д(х)). Очевидно, что построенная нами функция п(х) удовлетворяет условию и( — хс) д(зт) и принадлежит классу Гельдера С (с тем же положительным показателем а, что и /(х)) на всей пря- Рис. 8.! мой за>. В силу теоремы 8.13 и замечания 1 тригонометрический ряд Фурье функции сг(х) сходится равномерно на всей числовой прямой, а поэтому в силу теоремы 8.11 тригонометрический ряд Фурье функции /(х) при любом 6 из интервала 0<6<(Ь вЂ” а)/2 сходится (к этой функции) равномерно на сегменте [а+6, Ь— — 6].
Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 4. Утверждение теоремы 8,14 остается справедливым н для сегмента [а, Ь], имеющего длину, равную 2п (т. е. для случая Ь=а+2п, но в этом случае при доказательстве теоремы следует, фнксировав произвольное 6 из интервала О< <6<я, взять функцию а(х) совпадающей с /(х) на сегменте [а+ +6/2, а+2п — 6/2], линейной на сеюленте [а+2п — 6/2, а+2п+ +6/2] и периодически (с периодом 2п) продолженной с сегмента [а+6/2, а+2я+6/2] на всю числовую прямую. Если же сегмент [а, Ь] имеет длину, превосходяп(ую 2п,' то из принадлежности Г[х) классу Гельдера Се на этом сегменте и из условия периодичности /(х) (с периодом 2п) вытекает, что /(х) принадлежит еп Условие обращения функции Ах+В в /(Ь) при х=Ь и в /(а) при х= =а+2п однозначно определяет постоянные А и В: А= /(а) — /(Ь) (а+ 2п) /(Ь) — Ь/(а) , В= а+ 2п — Ь а +2п — Ь еп достаточно учесть, что п(х) всюду непрерывна и что линейная фуниция имеет ограниченную производную и поэтому принадлежит классу Гельдера С» при любом а~(.
э б. Более точные условия сходнмостн классу С" на всей прямой, т. е. в этом случае мы приходим к теореме 8.13. 6. О сходнмости тригонометрического ряда Фурье кусочно гельдеровой функции. Определение 1. Будем называть функцию «(х) кусок но гельдеровой на сегменте «а, Ь], если эта функция кусочно непрерывна на сегменте [а, Ь] и если этот сегмент при помощи конечного числа точек а=хо<х,<хя«... х„=Ь разбивается на частичные сегменты [хь ь хь] (/с=1, 2,..., и), на каждом из которых функция /(х) принадлежит классу Гельдера С а с некоторым положительным показателем ад (0<аа<1).
При этом при определении класса Гельдера на частичном сегменте [хд !„хь] в качестве значений функции на концах сегмента следует брать предельные значения /(х +О) и /(хь — О) зз>. Иными словами, область задания всякой кусочно гельдеровой функции распадается на конечное число пе имеющих общих внутренних точек сегментов, на каждом из которых эта функция принадлежит классу Гельдера с некоторым положительным показателем, Каждый из этих сегментов мы будем называть у ч а с т к о м гладкости функции. Определение 2.
Будем называть функцию [(х) кусочно гладкой на сегменте [а, Ь], если эта функция кусочно непрерывна на сегменте [а, Ь] и имеет на этом сегменте кусочно непрерывную производную"), т. е. если функция /(х) кусочно непрерывна на сегменте [а, Ь] и ее производная /'(х) существует и непрерывна всюду на этом сегменте, за исключением, быть может, конечного числа точек, в каждой из которых функция /'(х) имеет конечные правое и левое предельные значения. Ясно, что всякая кусочно гладкая на сегменте [а, Ь] функция является на этом сегменте кусочно гельдеровой. Те о р ем а 8.15.
Пусть кусочно гельдеровая на сегменте [ — и, и] функция /(х) периодически (с периодом 2п) продолжена на всю прямую. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции-/(х) сходится в каждой точке х прямой к значению /(х) = [/(х+О)+ +/(х — О)]/2, причем сходимость этого ряда является равномер- зз) Как у всякой кусочно непрерывной функдпн, у кусочно гельдеровой функции значения в каждой точке хь обязаны быть равны полусумме правого н левого предельных значений в этой точке, т. е. должно быть справедливо равенство 1 /(ха) = — 1/(ха+ 0) + /(хь — 0)1. 2 м! См. определение 1 из п.
2 $4. '326 Гл, 3 Ряды Фурье ной на каждом фиксированном сегменте, лежащем внутри участка .гладкости функции !(х). Л о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение теоремы о равномерной сходимости на каждом фиксированном сегменте, лежащем внутри участка гладкости, сразу вытекает из теоремы 8.14. Отсюда же вытекает и сходимость тригонометрического ряда Фурье функции 7(х) в каждой внутренней точке участка гладкости функции 7(х) 5'!. Остается доказать сходимость тригонометрического ряда Фурье функции !(х) в каждой точке соединения двух участков гладкости, Фиксируем одну из таких точек и обозначим ее через х. Тогда найдутся постоянные М, и Мя такие, что при любом достаточно малом положительном ( будет справедливо неравенство ~~(х+ ~) — ((х+ О) ~ < Мд("' (О < а, < 1), (8 75) л при любом достаточно малом отрицательном à — неравенство 1/ (к+ 1) — /'(х — О) ~ < М, !1!"' (О < а < 1).
(8 76) Обозначим через М наибольшее нз чисел М, и Мя, а через а наименьшее из чисел а! и ая. Тогда при ~1~(1 в правой части каждого из неравенств (8.75) и (8.76) можно писать М~(!». Фиксируем теперь произвольное в>0 и по нему 6>0, удовлетворяющее неравенству (8.70) н настолько малое, что при )1! 6 справедливы оба неравенства (8.75) и (8.76) и в правой части зтнх неравенств можно брать число М~(!».
Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 8.13, мы придем к равенству (8.71), и для доказательства теоремы нам остается убедиться, что в фиксированной нами точке х справедливы оценки (8.72), (8.73) и (8.74). В замечании 2 п. 5 мы отметили, что оценки (8.73) и (8.74) справедливы для любой только кусочно непрерывной и периодической (с периодом 2п) функции. Остается доказать справедливость для всех номеров и оценки (8.72). Так как !(х) =1(2(!(х+О)+!(х — О)) иав> ! ( 1 / 1 ьып (и-(- — / а51П (л-!- — ) / ойп ~п-1- — ) / а 2мп— 2 о 25!и†2 — 25!П 2 еп Так как каждую внутреннюю точку участка гладкости можно охватить сегментом, лежащим внутри этого участка.
'5' Функция 1 ЯП(»+в 2 / ч (/) = 2йп— 2 327 э 5. Более точные условия сходимости то интеграл, стоящий в левой части (8.72), можно переписать так: 1 51П (Л+ ) 1 — ~ (р(х+1) — р(х)) 1МВ 2 51П 2 51П (П+ ) 1 = — '1 [)" (х+ р) — 7(х+ 0)] с(р+ и В о 2ып— 2 1 о мп (л.( — ) 1 + — ~ (~(х+1) — ~(х — ОЯ с(1. (8.77) — о 2 51П (при )1) ~ и) 2(51П— и неравенство (8.70), будем иметь 1 51П (л+ — ) 1 — 1 17(х+1) — р(х)) Ж ~ < и 4 1 Н1(д 2ып— 2 о о < — 1 ) р" 'с(1+ 1 )1)" '511 1 = — б < —, 2 ь,) ,) 1 сс 3 о — о Оценка (8.72), а с ней н теорема доказаны.
) 1р(г)ж= о является четной, поэтому легко убедиться, что для нее о = ) гр(1) Ю (достаточно в одном из -о Следовательно, зтих интегралов сделать замену 1= †). ) р(1),и=2~ р(1)оп=2 ~ гР(1)нг — о о — о Для оценки интегралов, стоящих в правой части (8.77), воспользуемся неравенствами (8.78) и (8.76), беря в правой части этих неравенств число М)Р)е. Учитывая уже применявшуюся прн доказательстве теоремы 8.13 оценку 328 Гл. В Роды Фурье Следствие 1. Утверждение теоремы 8.15 будет тем более справедливо, если в ее формулировке вместо кусочно гельдеровой взять кусочно гладкую (на сегменте [ — и, и)) функцию, периодически (с периодом 2п) продолженную на всю прямую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
