ilin2 (947409), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Прн изучении сходимости тригонометрического ряда Фурье возникает и другой вопрос: должен ли тригонометрический ряд Фурье любой кусочно непрерывной (или даже строго непрерывной) на сегменте [ — д, д[ функции 7(х) сходиться хотя бы в одной точке этого сегмента? Положительный ответ на этот вопрос был получен только в 1966 г. !) Этот ответ является следствием фундаментальной теоремы, доказанной в 1966 г. Л. Карлесоном "> и решившей знаменитую проблему Н.
Н. Лузина ">, поставленную еще в 1914 гл тригонометрический ряд Фурье любой функ>(ии [(х), для которой существует понимаемый в смысле Лебега интеграл [(з(х)дх, сходится к этой >рунк>(ии почти всюду на сегменте д д) >з> Из теоремы Карлесона вытекает, что ряд Фурье не только любой кусочно непрерывной, но и любой интегрируемой на сегменте [ — д, д] в собственном смысле Римана функции )(х) сходится к этой функции почти всюду на сегменте [ — д, д[ (так как для такой функции существует интеграл ) )а(х)дх в — и смысле Римана, а следовательно, и в смысле Лебега).
Заметим, что если функция 1(х) интегрируема на сегменте [ — д, д[ не в смысле Римана, а только в смысле Лебега, то тригонометрический ряд Фурье этой функции может не схо- и> Л. Карлесон — современный шведский математик. Полное доказательство теоремы Карлесона можно найти в сборнике переводных статей серии «Математика» (т. 11, >>й 4, 1967, с. 1!3 — !32). '«> Николай Николаевич Лузин — советский математик, основатель современной московской математической школы по теории функций (1883 †19). Постановку проблемы Лузина, решенной Карлесаиом, и других его проблем можно найти в книге Н.
Н. Лузина «Интеграл и тригонометрический ряд» (й44 Лл Гостехнздат, !951). "> Определение интеграла в смысле Лебега н сходнмости почти всюду на данном сегменте будет дано в ч. 3. 306 Гл. 6 Ряды Фурье — +йт ([а,созйх[+ [Ььз(пях[), (пе) ч ч 2 й=! (8. 41) сходится равномерно иа сегменте [ — и, и], так как отсюда будет вытекать как равномерная иа сегменте [ — п, п] сходимость самого тригонометрического ряда Фурье функции [(х), так и сходимость этого ряда (в силу следствия 5 из п. 3 $ 3) именно к функции [(х).
В силу признака Вейерштрасса (см. теорему 2.3) для доказательства равномерной на сегменте [ — я, я] сходимости ряда (8.41) достаточно доказать сходимость мажорирующего его числового ряда "! Построение примера А. Н. Колмогорова можно найти на с. 412 — 421 книги Н. К. Бари «Тригонометрические ряды» (Мл Физматгиз, 1961), "! При этом функция у(х) может оказаться ие определенной в конечном числе точек сегмента (а, Ь). В этих точках мы доопределим ее произвольным образом (например, положим равной полусумме правого и левого предельных значений). литься ии в одной точке сегмента [ — и, и].
Первый пример иитегрируемой на сегменте [ — и, и] в смысле Лебега функции 1(х) со всюду расходящимся тригонометрическим рядом Фурье был построен в 1923 г. советским математиком А. Н. Колмогоровым '4! 2. Простейшие условия абсолютной и равномерной сходимести тригонометрического ряда Фурье. Определение 1. Будем говорить, что функция [(х) имеет на сегменте [а, Ь] кусочно непрерывную производи ую, если производнан 1«(х) существует и непрерывна всюду на сег.менте [а, Ь], за исключением, быть может, конечного числа точек, в каждой из которых функция 1'(х) имеет конечные правое и левое предельные значения "1, О п р е дел е ни е 2. Будем говорить, что функция [(х) имеет на сегменте [а, Ь], кусочно непрерывную производнуюю по рядка и)1, если функция [!"-!!(х) имеет на этом сегменте кусочно непрерывную производную в смысле определения 1.
Теор е м а 8.9. Если функция 1(х) непрерывна на сегменте [ — и, и], имеет на этом сегменте кусочно непрерывную производную и удовлетворяет условию 1( — и) =[(и), то тригонометрический ряд Фурье функции 1(х) сходится к этой функции равномерно на сегменте [ — и, я]. Более того, ряд, составленный из модулей членов тригонометрического ряда Фурье функции [(х), сходится равномерно на сегменте [ — и, п].
До к аз а тельство. Достаточно доказать, что ряд, составленный из модулей членов тригонометрического ряда Фурье функции 1(х): 4 4. Простейшие условия равномерной сходимости ([а»[ + [Ь„[). »-1 (8.42) Обозначим через а» и р» тригонометрические коэффициенты Фурье функции )'(х), доопределив эту функцию произвольным образом в конечном числе точек, в которых не существует производная функции [(х) ">. Производя интегрирование по частям и учитывая, что функция 1(х) непрерывна на всем сегменте ] — и, >т] и удовлетворяет соотношениями 1( — и) =[(и), получим следующие соотношения: а» = — ~ ~' (х) сох кхс[х = А — ~ у (х) з[п Йх>(х = ЬЬ»; г 1 1 Г 1 Р» = — ~ [' (Х) З>П )тХС[Х = — й — ~ У' (Х) СОЗ кХГ(Х = — Аа», которые связывают между собой тригонометрические коэффици- енты Фурье функции 1'(х) и самой функции )(х) ">.
Таким образом, [а»]+ ]Ь„[ = — + —, [а»[ [[)»[ й» и для доказательства сходимости ряда (8.42) достаточно доказать сходимость ряда О а 1 (8.43) Сходимость ряда (8.43) вытекает из элементарных неравенств "> (8.44) "> Например, можно положить функцию р(х) в указанных точках равной полусумме правого и левого предельных значений. "> Прн интегрировании по частям следует разбить сегмент [ — и, и[ на конечное число не имеющих общих внутренних точек частичных сегментов, на каждом из которых производная Р(х) непрерывна, и, беря формулу интегрирования по частям для каждого из этих частичных сегментов, учесть, что при суммировании интегралов по всем частичным сегментам все подстановки обра. тятся в нуль (вследствне непрерывности [(х) на всем сегменте [ — и, и[ и условий [( — и) =[(и)).
"> Мы исходим из элементарного неравенства [а[ [Ь[ к (аз+Ьз)/2, вытекающего из неотрицательности величины ([а[ — [Ь[)'. Гл, 8 Ряды Фурье и из сходимости рядов (8.46) первый из которых сходится в силу равенства Парсеваля для кусочно непрерывной функции у'(х), а второй — в силу интегрального признака Коши — Маклорена (см. п. 4 $2 гл. 1). Теорема доказана. 3 а меч анне. Если функцию [(х), удовлетворяющую условиям теоремы 8.9, периодически (с периодом 2п) продолжить на всю бесконечную прямую, то теорема 8.9 будет утверждать сходимость тригонометрического ряда Фурье к так продолженной функции, равномерную на всей бесконечной прямой. 3.
Простейшие условия почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье. Прежде всего докажем следующую лемму о порядке тригонометрических коэффициентов Фурье. Л ем м а. Пусть функция [(х) и все ее производные до некоторого порядка т (т — целое неотрицательное число) непрерывны на сегменте [ — я, и] и удовлетворяют условиям (8.46) г(м) ( и) г(м) (и) Пусть, кроме того, функция Г(х) имеет на сегменте [ — и, и] ку- сочно непрерывную производную порядка т+1.
Тогда сходится следующий ряд: ~ й ([аь) + (Ьь')), (8.47) ") При интегрировании ио частям сегмент 1 — и, к) сведуат разбить иа конечное числа не имеющих общих внутренних точек частичных сегментов, на в котором аь и ()в — тригонометрические коэффициенты Фурье функции 1(х). Доказательство. Обозначим через аь и рь тригонометрические коэффициенты Фурье функции Г( +))(х), доопределив эту функцию произвольным образом в конечном числе точек, в которых не существует производной порядка т+1 функции 1(х). Интегрируя выражения.для аь и рь т+1 раз по частям и учитывая непрерывность на всем сегменте [ — и, и] самой функции 1(х) и всех ее производных до порядка т, а также используя соотношения (8.46), установим следующую связь между тригонометриче« скими коэффициентами Фурье функции [( +')(х) и самой функции 1(х) )в): $5.
Более точные условия сходимостн [аь[+ [рь[ =й +'([аь[+ [Ь„[). Таким образом, ?Г" ([а [+ [Ьа[)= ь + —" а и и сходнмость ряда (8.4?) вытекает из элементарных неравенств (8.44) н из сходнмостн рядов (8.45), первый нз которых сходится в силу равенства Парсеваля для кусочно непрерывной функции )ч"'чп(х), а второй — в силу признака Коши — Маклорена.
Лемма доказана. Непосредственным следствием леммы 1 является следующая Т е о р е и а 8,10. Пусть функция ((х) удовлетворяет тем же условиям, что и в лемме 1, причем т~~1. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции 1(х) можно т раз почленно дифференцировать на сегменте [ — и, гг[. Доказательство. Пусть з — любое из чисел 1, 2,...,т. В результате з-кратного почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье функции ?(х) получается ряд ~~) ~ Ь' ~аь соз [ Ьх — — ) + Ьь з)п ~йх — — ) ), (8.48) Заметим, что для всех х из сегмента [ — и, и[ как исходный тригонометрический ряд Фурье, так и ряд (8.48) (с любым з=1, 2,...,т) мажорируются сходящимся числовым рядом (8.47).
По признаку Вейерштрасса (см. теорему 2.3) как исходный тригонометрический ряд Фурье, так и каждый из рядов (8.48) (при з и =1, 2,...,т) сходятся равномерно на сегменте [ — и, и[, а это (в силу теоремы 2.9) обеспечивает возможность т-кратного почленного дифференцирования исходного ряда Фурье. Теорема доказана. й 6. БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РЛВНОМЕРНОИ СХОДИМОСТИ И УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ В ДАННОИ ТОЧКЕ 1. Модуль непрерывности функции. Классы Гельдерн.
Введем понятия, характеризующие гладкость изучаемых функций, и определим классы функций, в терминах которых будут сформулированы условия сходнмости тригонометрического ряда Фурье. Пусть функция ?(х) определена и непрерывна на сегменте [а, Ь).
каждом ив которых рм+о(х) непрерывна, и учесть, что при суммировании ин. тегралов по всем частичным сегментам все подстановки дают нуль. Гл. 8 Ряды Фурье 810 Определение 1. Для каждого 6>0 назовем модулем н е и р е р ы в н о с т и функции Г(х) на сегменте [а, Ь) точную верхнюю грань модуля разности [Г(х') — ) (х") [ на множестве всех х' и х", принадлежащих сегменту [а, Ь] и удовлетворяющих условию ) х' — х") <6. Будем обозначать модуль непрерывности функции [(х) на сегменте [а, Ь] символом ю(6, ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
