ilin2 (947409), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Фиксируем произвольный элемент рассматриваемого евклидова пространства и произвольное положительное число г. Так как система (фь) является замкнутой, то найдется такой номер и и такие числа С!, Ся, ..., С„что квадрат нормы, стоящий в правой части (8.16), будет меньше г. В силу (8.16) это означает, что для произвольного г)0 найдется номер п, для которого '! М. А. Парсеиаль — французский математик (1788 — !836). )1ПЯ вЂ” T !т ( г. ь=! Для всех номеров, превосходящих указанный номер и, неравенство (8.25) будет тем более справедливо, так как при возрастании и сумма, стоящая в левой части (8.25), может только возрасти.
Итак, мы доказали, что для произвольного е)0 найдется номер и, начиная с которого справедливо неравенство (8.25). В соединении с неравенством (8.19) это означает, что ряд '5" !ьг сходится к сумме ~фР. Теорема доказана. и-! й 2. Замкнутые и полные ортонормироеанные системы Теорем а 8.4. Если ортонормироеанная система (тре) является замкнутой, то, каков бы ни был элемент (, ряд Фурье этого элемента сходится к нему по норме расслатриеаемого евклидова пространстеа, т. е. (8.26) Доказательство. Утверждение этой теоремы непосредственно вытекает из равенства (8.1Т) и из предыдущей теоремы. 3 а меч ание 2.
В пространстве всех кусочно непрерывных на сегменте (-я, и) функций сходимость по норме (8.26) переходит в сходимость на этом сегменте в среднем (см. п. 3 $ 4 гл. 2). Таким образом, если будет доказана замкнутость тригонометрической системы (8.10), то теорема 8.4 будет утверждать, что для любой кусочно непрерывной на сегменте [ — и, и) функции 1(х) тригонометрический ряд Фурье этой функции сходится к ней на ука. ванном сегменте в среднем. Оп редел ение 2. Ортонормироеанная систела (три) наэыеается полно й если, кроме нулевого элемента, не существует никакого другого элемента р данного евклидова пространства, который был бы ортогонален ко всем элементам фе системы (те).
Иными словами, система (тре) называется полной, если всякий элемент 1, оРтогональный ко всем элементам фе системы (тйе), является нулевым элементом. Теорема 8.5. Всякая замкнутая ортонорлироеанная система (три) является полной. Д о к аз а тел ь от в о. Пусть система (фе) является замкнутой, и пусть 1 — любой элемент данного евклидова пространства, ортогональный ко всем элементам фе системы (фе). Тогда все коэффициенты Фурье 1е элемента у но системе (фе) равны нулю, и, стало быть, в силу равенства Парсеваля (8.24) и !!Д=О. Последнее равенство (в силу свойства 1' нормы) означает, что ) — нулевой элемент.
Теорема доказана. Замечание 3. Мы доказали, что в произвольном евклидовом пространстве из замкнутости ортонормированной системы вытекает ее полнота. Отметим без доказательства, что в произвольном евклидовом пространстве из полноты ортонормированной системы, вообще говоря, не вытекает замкнутость этой системы. В ч. 3 будет доказано, что для гильбертовых пространств полнота ортонормированной системы эквивалентна ее замкнутости. Теорема 8.6.
Для всякой полной (и тем более для всякой замкнутой) ортонормироеанной системы (фе) деа различных элемента ( и д рассматриваемого евклидова пространства не могут иметь одинаковые ряды Фурье. ы з.аи Гл. 8 Ряды Фурье Д о к а з а т е л ь с т в о. Если бы все коэффициенты Фурье элементов 1 и д совпадали, то все коэффициенты Фурье разности (1 — а) были бы равны нулю, т. е.
разность ([ — д) была бы ортогональна ко всем элементам ф, полной системы [чрл). Но это означало бы, что разность (1 — д) является нулевым элементом, т. е означало бы совпадение элементов 1 и и, Теорема доказана. На этом мы заканчиваем рассмотрение общего ряда Фурье 'по произвольной ортонормированной системе в любом евклидовом пространстве И.
Наша очередная цель — детальное изучение ряда Фурье по, тригонометрической системе (8.10). й 3. 3АЯКнутОсть триГОнОметРичесКОН СИСТЕМЫ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕЕ 1. Равномерное приближение непрерывной функции тригонометрическими многочленами. В этом параграфе будет установлена замкнутость (а следовательно, и полнота) тригонометрической системы (8.10) в пространстве всех кусочно непрерывных на сегменте [ — и, и) функций. Но прежде чем приступить к доказательству замкнутости тригонометрической системы, установим важную теорему о равномерном приближении непрерывной функции так называемыми тригонометрическими многочлеиами.
Будем называть тригонометрическим м ного чл е ном произвольную линейную комбинацию любого конечного числа элементов тригонометрической системы (8.10), т. е. выражение вида л Т (х) — С, + ~)" (С„соз йх + С, я'и йх), а=! где и — любой номер, а Сс, Сл и Се (и=1, 2,...,п) — произвольные постоянные вещественные числа. Отметим два совершенно элементарных у т в е р ж д е н и я; 1'. Если Р(х) — какой угодно алгебраический многочлен произвольной степени и, то Р(созх) и Р(ыпх) — тригонометрические многочлены. 2'. Если Т(х) — тригонометрический многочлен, то каждое из выражений [Т(х)ыпх) и [Т(х)з!пах] также представляет собой тригонометрический многочлен.
Оба утверждения вытекают из того, что произведение двух (а поэтому и любого конечного числа) тригонометрических функций ту от аргумента х приводится к линейной комбинации конечного числа тригонометрических функций от аргументов типа ях (убедитесь в этом сами). " Под тригонометрическими функциями и данном случае нанимаются косинус или синус. 5 3. Замкнутость тригонометрической системы и следствия иа нее 299 В теории тригонометрических рядов Фурье важную роль играет понятие периодической функции.
Определение. Функция 1(х) называется периодическо й функцией с периодом Т, если: 1) 1(х) определена для всех вещественных х: 2) для любого вещественного х справедливо ра. венство )(х+Т) =1(х). Это равенство обычно называют условием периодичности. К рассмотрению периодических функций приводит изучение различных колебательных процессов. Заметим, что все элементы тригонометрической системы (8.10) являются периодическими функциями с периодом 2п.
Теорема 8.7 (теорема Вейерштрасса). Если функция 1(х) непрерывна на сегменте 1 — и, и) и удовлетворяет условию 1( — и) =1(п), то эту функцию можно равномерно на указанном сегменте приблизить тригонометрическими многочленами, т. е. для этой функции 1(х) и для любого положительного числа е найдется тригонометрический многочлен Т(х) такой, что сразу для всех х из сегмента 1" — и, гс1 справедливо неравенство ~~(х) — Т(х) ) =и. (8.27) Доказательство. Для удобства разобьем доказательство на два этапа.
1) Сначала дополнительно предположим, что функция 1(х) является четной, т. е. для любого х из сегмента 1 — и, п) удовлетворяет условию 1( — х) =1(х). В силу теоремы о непрерывности сложной функции у=у(х), где х=агссоз1 (см. $ 1 тл. 4 ч. 1) функция Р(1) =1(агссоз 1) является непрерывной функцией аргумента 1 на ~сегменте — 1<1< +1. Следовательно, по теореме Вейврштрасса для алгебраических многочленов (см. теорему 2.18) для любого е 0 найдется алгебраический многочлен РЯ такой, что ()'(агссозг) — Р(() ~<и сразу для всех 1 из сегмента — 1(1<1. Положив г=созх, мы получим (1(х) — Р(созх) )(е сразу для всех х из сегмента 0<к<я.
Так как обе функции )'(х) и Р(созх) являются четными, то неравенство (8.28) справедливо и для всех х из сегмента †я <О. Таким образом, неравенство (8.28) справедливо для всех х из сегмента — я(х<п, и поскольку (в силу указанного выше утверждения 1') Р(соз х) является тригонометрическим многочленом, то для четной функции 1(х) теорема доказана. Заметим теперь, что функцию 1(х), удовлетворяющую условиям доказываемой теоремы, можно периодически с периодом 2п продолжить на всю бесконечную прямую — осах(+со, так что 11» Гл. 8 Ряды Фурье продолженная функция будет непрерывна в каждой точке х бесконечной аьрямой. Кроме того, если функция /(х) продолжена таким образом, то (поскольку Р(соз х) также является периодической функцией периода 2п) для четной функции /(х) неравенство (8.28) справедливо всюду на прямой — оо«х«+со, 2) Пусть теперь /(х) — произвольная функция, удовлетворяющая условиям доказываемой теоремы.
Эту функцию мы периодически с периодом 2п продолжим на всю прямую и составим с помощью этой функции следующие четные функции: /(я)+ /( — л) 2 (8.29) /,(х) = 1(х) /( ") з1пх. 2 (8.30) По доказанному в 1) для любого е)0 найдутся тригонометрические многочлены Т,(х) и Т,(х) такие, что всюду на числовой прямой )/1(х) — Т1(х) ( «н/4; )/т(х) — Тт(х) ) «е/4, и поэтому ) /1 (х) я па х — Т1 (х) яп'(х) ! «е/4", (/а(х)япх Та(х)з(пх) «в/4.
Складывая эти неравенства и учитывая, что модуль суммы двух величин не превосходит сумму их модулей, а также принимая во внимание равенства (8.29) и (8.30), получим, что всюду на числовой прямой справедливо неравенство ~/(х)з(пах — Та(х) ~ «е/2, (8.31) в котором через Та(х) обозначен тригонометрический многочлен, равный Та(х) Т1(х)з(п'х+Та(х)з(пх.
В проведенных нами рассуждениях вместо функции /(х) можно взять функцию /(х+и/2)а>. В полной аналогии с (8.31) получим, что для функции /(х+и/2) найдется тригонометрический многочлен Т,(х) такой, что всюду на числовой прямой )/(х+и/2) япт х — Т4(х) ( «е/2. (8.32) а~ Так как ата функция удовлетворяет тем же услоаиям, что и полученная после продолжения функция /(л). Заменяя в (8.32) х на х — и/2 и обозначая через Т,(х) тригонометрический м~ногочлен вида Та(х) =Та(х — л/2), получим, что всюду на числовой прямой справедливо неравенство )/(х)совах — Та(х) ) «е/2.
(8.33) Наконец, складывая неравенства (8.31) ~и (8.33) и обозначая через Т(х) тригонометрический миогочлен вида Т(х)=Та(х)+Та(х), й 3. Замкнутость тригонометрической системы и следствия нв нее 301 получим, что всюду на числовой прямой справедливо неравенство (8.27).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
