ilin2 (947409), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Пусть (!л) — произвольная последовательность такая, что 1л-э+ оо. Введем в рассмотрение функциональную последователь.ность тл 1л(у)= ~ 1(х, у)с(х, а которая равномерно на множестве У сходится к функции 1(у), определяемой равенством (7.5). В силу утверждения 2 5 1 для каждой из функций 1„(у) существует конечный предел при у-эуо. Более того, гл гл 1пп1л(у)=!пп ) 1(х, у)с(х=) (11гп1(х, у)!с!х ~ д(х)т(х. У У» У У» а а У У» О Но тогда существует и предел Сл О 1ип 1 (у) = !пп ~ у (х) с(х = ~ д (х) с!х, а-'у» тл«л" а а поскольку согласно теореме 2.7 гл.
2 символ 1пп предела равл номерно сходящейся последовательности (1л(у)) и символ !пп пре- У У» $3 Несобственные интегралы, аааианщие от параметра 263 дела функции 1,(у) можно переставлять местами. Теорема доказана. Допустим, в частности, что точка уа принадлежит множеству У и функция ~(х, у) непрерывна в точке уа, т. е. 7(х, у) при любом Ь)а стремится равномерно на сегменте а(х~Ь к 1(х, уа) прн у — «уа. Тогда 1!пт1(у)=1(уа), т. е.
1(у) непрерывна в точке уа. а ы« Таким образом, мы приходим к следующей теореме. Т е о р е м а ?.9* (о непрерывности несобственного интеграла по параметру). Пусть 1(х, у) как функция двух переменкых непрерывка при х)а и у из [с, й], а интеграл 1(у)=] )(х, у)йх а равномерно на [с, й] сходится. Тогда функция 1(у) непрерывна ка [с, й]. Доказательство, Можно утверждать, что для каждого прямоугольника П=(а~х~1, с(усй) функция 1(х, у) равномерно на сегменте а(х -1 стремится к 1(х, уа) =д(х) при у — «уа (см. утверждение 6 9 1). Поэтому при 1=1„для интегралов 1,(у), введенных при доказательстве теоремы 7.9, выполнены условия предельного перехода под знаком интеграла. Отсюда н из равномерной на [с, й] сходимости 1,(у) к 1(у) получаем, что 11п1 1(у) = и ит =1(уа), т.
е. функция 1(у) непрерывна. Теорема доказана. Теор ем а 7.10, Пусть )(х, у) как функция двух переменных непрерывна и кеотрицательна при х, принадлежащем полупрямой [а, оо), и у, принадлежащем сегменту [с, й]. Пусть далее интеграл 1(у)=] 1(х, у)йх непрерывен по у на [с, й]. Тогда этот а интеграл сходится равномерно по у на [с, й]. Доказательство.
Рассмотрим последовательность 1„(у)= а =~~(х, у)с(х непрерывных на [с, й] функций, н пусть 1,— «+со а не убывая. Последовательность (1,(у)), монотонно не убывая, сходится к непрерывной функции 1(у). Следовательно, можно применить признак Дини (теорема 2.4 гл. 2). Теорема дол эан: . Теорема 7.11. Пусть )(х, у) как функция двух переменных непрерывна и неотрицательна при х, принадлежащем полупрямой [а, со), и у, принадлежащем сегменту [с, й]. Пусть при у — «уа функция 7'(х, у), монотонно не убьгвая в каждой точке х по у, сходится к непрерывной функции у(х), Тогда из сходимости интеграла ] у(х) йх следует возможность предельного перехода при и у- уа под знаком интеграла (7.5). ЯФ Гл. 7, Интегралы, зависящие от параметров ] 1„(у) ду = ~ дх ~ 1 (х, у) ду. (7.7) Поскольку на [с, д] последовательность 1,(у) равномерно схо- дится к 1(у), то под знаком интеграла, стоящего слева в формуле (7.7), можно сделать предельный переход при и — с-оо.
Следова- тельно, при и-с-ею существует предел последовательности интег- ралов, стоящих в правой части (7.7). Таким образом, а а л с а 11 щ '] 1„(у) Ну = ] 1(у) ду = 1(щ ] е(х ] 1(х, у) е(у = ] Нх ] 1(х, у) ду, с с с с с что и требовалось доказать.
Теперь докажем теорему об интегрировании несобственного интеграла (7.5) по бесконечному промежутку изменения параметра у. Теорема 7.13. Пусть [(х, у) как функция двух переменных непрерывна и неотрицательна в области а(х<о, с(у<ею, ин- Доказательство. Действительно, интеграл (7.5) сходится равномерно на [с, д] по признаку Вейерштрасса (теорема 7.8), поскольку 1(х, у)(д(х) н у(х) — интегрируема на [а, сю). Поэтому в силу теоремы 7.9* можно переходить к пределу под знаком интеграла, что и требовалось доказать. Перейдем теперь к рассмотрению вопроса об интегрировании несобственного интеграла по параметру.
Теорем а 7.12 (об интегрировании несобственного интеграла по параметру). Пусть функция 1(х, у) как функция двух переменных непрерывна при х, принадлеакащем полупрямой [а, оо), и при у, принадлеакащем сегменту [с, д], и пусть интеграл !(у)=] Г(х, у)дх равномерно сходится. Тогда функция 1(у) интегрируема на [с, с(] и имеет место формула ] 1(у) т(у = ] ау ] 1 (х, у) е(х = '] ах ] 1(х, у) ду.
(') с с а с ° Доказательство. Согласно теореме 7.9* функция 1(у) непрерывна на [с, д], а следовательно, и интегрируема на [с, Ы]. Докажем формулу (а). Рассмотрим последовательность функций л 1„(у)=] 7'(х, у)дх, где 1„+ею. В силу теоремы 7.3 для каждой с функции 1„(у) получаем $3, Несобственные ннтетралы, аавнсяшне от параметра теграл 1(у) = ) !(х, у)йх непрерывен на полупрямой [с, оо), а а интеграл К(х) = ) !(х, у) йу непрерывен на полупрямой [а„со). с л Тогда из сходимости одного из двух интегралов ) 1(у) ду и К(х)йх следует сходимосто другого из этих интегралов и спра- ведливость равенства л ЮВ ) 1(у)йу=) К(х)йх, с л или ) йу ) 1(х, у) йх = ') йх ) 1(х, у) йу.
с а л с Таким образом, в условиях этой теоремы несобственный интеграл, зависящий от параметра, можно интегрировать по параметру под знаком несобственного интеграла и в случае бесконечного промежутка изменения параметра. Доказательство. В силу условий доказываемой теоремы н в силу теоремы 7.10 интегралы !(у) и К(х) сходятся равномерно: первый на сегменте [с, й[ при любом й>с, а второй на сегменте [а, о[ при любом Ь>а.
Пусть, например, сходится повторный интеграл)1(у)йу. Рассмотрим неубывающую последовательность тл Сл л ю 'л (1,), 1;-е. + оо. Тогда ) К (х) йх = ) ~ ! (х, у) йу = ~ йу ) 1 (х, у) йх. л л Ф с л Последовательность ~л 1(у, !л)=) !(х, у)дх л при любом д, превосходящем с, равномерно на сегменте [с, й) сходится к 1(у). При этом последовательность (!(у, г„)) не убывает на [с,й). Отсюда и из теоремы 7.11 вытекает, что интеграл 1(у, !)ду сходится равномерно.
Но тогда под знаком этого интеграла согласно теореме 7.9 можно сделать предельный переход, т. е. имеет место формула Гл. 7 интегралы, зависящие от параметров ~ К(х) дх= 1(пт ~ К(х) дх= !пп ] 1(у, гл) с!у= ~ 1(у) ду, а 'л "а л а с что и требовалось доказать. Рассмотрим теперь вопрос о дифференцировании по параметру несобственного интеграла. Теорем а 7.14 (о дифференцируемости несобственного интеграла по параметру). Пусть функция 1(х, у) и ее производная )в'(х, у) непрерывны в области а=»<со, с(у(д. Пусть, далее, интеграл 1(у)= ]1(х, у)дх сходится в каждой точке у сегмента [с, д], а интеграл ] 1„(х, у)дх сходится равномерно на сегменте а [с, с(].
Тогда при любом у из [с, д] функция 1(у) имеет производную г>, причем 1'(у) = ] 1„(х, у)дх. а 1'(у) = Нгп 1„(у). л-тс Сл Но 1„(у)= ~ ~'(х, у)с(х. Следовательно, а 1(у)=~6(х, у)~. а 2. Несобственные интегралы второго рода, зависящие от параметра. Пусть функция 1(х, у) определена при х, принадлежащем [а, Ь], и у, принадлежащем У. Пусть при каждом фиксированном у из у функция 1(х, у) является неограниченной при х — еа, но такой, что сходится несобственный интеграл ь 1(у) = ] 1 (х, у) г(х. а (7.8) и При у=с 1(у) имеет правую производную 1'(с+О), а при у=т( — левую производную р(Š— О). с, Доказательство.
Пусть 1л — +.+оо, а 1„(у)=~П» у)г(х. О Последовательность непрерывных функций 1„(у) сходится в каждой точке [с, д] к функции 1(у), а последовательность производных 1 '(у) сходится равномерно на сегменте [с, д]. Тогда согласно утверждению 5 $1 для любой точки у сегмента [с, д] существует 5 4. Применение теории интегралов, зависящих от параметра 267 О п р е д е л е н и е 3. Несобственный интеграл второго рода (7.8) называется равномерно сходящимся по параметру у на множестве У, если для т', удовлетворяющего неравенствам а<1<в, функция ь с (1, у) = ) 7' (х, у) дх с лри 1 — ~-а+О стремится к функции |(у) равномерно относительно уя У. Отметим, что с помощью преобразования переменной х, указанного в дополнении 1 к гл.
9 ч. 1, несобственные интегралы второго рода сводятся к несобственным интегралам первого рода. Поэтому на интегралы (7.8) могут быть распространены основные теоремы о предельном переходе под знаком несобсгвенного интеграла, об условиях его непрерывности по параметру, Об интегрировании и дифференцировании по параметру под зна,ком интеграла. В заключение параграфа заметим, что интеграл вида ) 7 (х, у) ах = ) 7 (х, у) с1х+ ~ 7(х, у) ь(х, а а ь где первое слагаемое — интеграл от неограниченной функции, а второе — интеграл по неограниченному промежутку, называется равномерно сходящимся, если равномерно сходятся оба интеграла, стоящие в правой части. 5 4.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА, К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕКОТОРЪ|Х НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Развитые в предыдущих параграфах методы позволяют вычислять различные несобственные интегралы. 1'. Вычислим интеграл |г'= ~ — йх. в а'ходимость этого интеграла была установлена ранее (см. дополнение 1 к гл. 9 ч. 1). Рассмотрим вспомогательную функцию е — ва при хчъО; 7(х, у)= ю 1 при х=О. Гл. 7, Интегралы, зависящие от параметров ФУнкциЯ !' (х, У) и ее пРоизводнаЯ 1з'(х, У) = — е-з" ебп х непРеРывны в области х>0, у- 0 и 1(х, О)= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
