ilin2 (947409), страница 41
Текст из файла (страница 41)
С л едет в и е 2. Размерность пространства АР(У) равна С„Р. В дальнейшем, как правило, мы будем считать, что выбранный базис еь е,, е„нами зафиксирован, и линейные формы е<(5) будем обозначать символом е<(в)=$<, Тогда любая форма в~А (У) примет вид в(~ы ~„..., ~,)= ~ вь л,ГЛ.. Л$'». (6.117) <, <л.«р й 2. ДнффеСтенннааьные формы 235 Примеры. 1. э!Ля!=(есЛе' )($т, ва)=,) (здпо)о[в!(й!) еа(йа)) = р = е' Я!) е' ($а) — е' (Еа) е' (й!) = Ц Ц вЂ” Е! Ц, где $с! — 1-й коэффициент в разложении вектора $! по бази- су «е!).
й'. $сЛй'Л...Лйн=с(е1 «йсс), н где $с =У Цес. с ! $2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНЫЕ ФОРМЫ 1. Основные обозначения. Рассмотрим произвольную открытую область 6 и-мерного евклидова пространства Е". Точки области 6 будем обозначать символами х=(х', ха, ..., х'), у= = (у', уа, ..., у") и т. д. Определение. ДиФференциальной формой степени р, определенной в области 6, будем называть функцию от(х, вс, 42, ..., ер), которая при каждом фиксированном х~6 представляет собой знакопеременную р-форму из Ар(Е"). Множество всех дифференциальных р-форм в области 6 обозначим через 0 (6) =1)р(6, Е").
Мы будем считать, что при фиксированных 4т, ..., ЕрееЕн р-форма от представляет собой бесконечно диффереацируемую в 6 функцию. Используя результаты $1, мы можеь! каждую р-форму от записать в виде и= Х','в!....с,1сЛ" Л$'р (6.! .18) с,«...! р Всюду в дальнейшем вектор 4 будем обозначать символом дх=(с(хс, атх', ..., йх"), а векторы Ь, — символами дьх= =(с(ахт, баха, ..., с(ах"). В качестве базиса в Ен выбеРем векторы ер= — «О, О, ..., 1, О, ..., О), где единица стоит иа й-м месте. Элементамт! сопряженного базиса будут функции еа(1) =е'(дх), определяемые равенствами е'(йх)=йх". Тогда дифференциальная форма (6.1.18) примет вид нт(х, с1 х, ..., дрх)= У, свс, с (х)с(х" Л...ЛдхР.
с,«...с П р и м е р ы. 1'. Дифференциальная О-форма — это любая функция, определенная в области 6 (и, в силу наших предположений, бесконечно дифференцируемая в 6). 2'. Дифференциальная 1-форма имеет внд л в(х, йх)=~ в»(х)йх». В частности, когда ~=1, в(х, йх) =! (х) с!х. Дифференциальную форму степени 1 называют также ли ней н ой д и ф ф е р е нциальной формой. 3'. Дифференциальная 2-форма имеет вид в (х, й,х. й ) Е в, (х) йхгЛйх».
кс» По определению йх Лс(х»=(е Ле»)(й х, д х)=ег(с! х)е»(йех) — е'(йвх)е»(йгх)= 1 йехие йьх»! = И х' Ивх» — йвх' й,х» =1„ 1йвхг авх» !' В частности, при ~=2 получим ! й,х' й,х'! в (х, й х, йах) = 1".(х)~ ~ йвх' йехе ~ Определитель равен элементу площади, соответствующему векторам й1х и йах. В случае, когда ~=3, обозначая в1в=)т, ввз=Р, вв — Я, по- лучим Р Я )т в=рйх'Лйхв — 0йх'Лйхв+Рйх'Лйха= й,х' й„ха й,ха й,х' й,х' й,х' 4'. Дифференциальная 3-форма в трехмерном пространстве имеет вид с(,х' йгха йтхв' йехг йаха й ха йвхь й,х' й,х' в (х, й,х, йах, й х) = !' (л) йх'ЛйхеЛйха =-1 (х) Определитель равен элементу объема, отвечающему векторам 4х, йтх, йах. 2.
Внешний дифференциал. Определение. Внешним дифференциалом р-линейной дифференциальной формы вен()л(б) будем называть форму йве=ь1л+1(б), определяемую соотношением йв = ~ йвь ллЛйх" Л Лйх'л, ь с...(а 236 Дополнение к гл, б, Дифференциальные формы в евклндовом пространстве $2. Дифференциальные формы 2зт где л де! л'. с дха 4.=! Таким образом, если в= х вс, х йх"Л...Лйх'л, п«...с то л ъ~ дыс,...с в=~','»„'" ' йхьЛйхсЛ...Лй2 . дха 4-! С,«...
Примеры. 1'. Дифференциал формы степени нуль (т. е. функции ) (х) ) имеет вид й~ (х) =- ~ — йха, ъ"1 дс 2.~ дха 2'. Вычислим дифференциал от линейной формы в=в(х, йх)=,1 вс(х)йх', с 1 Получим л л йв=йв(т, й,х, й х) =~~Ъ ~ — 'йхаЛ"х' 1,4 дха 4=! С=! Так как йхаЛйхс = — йх'Лйх' н йх'Лйха = О„ то й = Ъ~ †"' йХ4ЛйХс + Ъ~ дни йХ'Лйлс = 4' 4 дха с!' с дх" 4<! С<4 1~1 дла ЛлС дХС 4<с 4<С 4<С В частности, когда п=2, для в=Рйхс+эйха получим йв = ~ — — — ~ йх Лйх .
l дСс дР ! д ~ дх дд ) 3. Свойства внешнего дифференциала. Непосредственно из определения вытекают следующие свойства: 238 Дополнение и гл. 6. Дифференциальные формы в евилидоиом пространстве 1) если сосе=ьср(6), все=сир(б), то сс(вс+вг) =ссвс+ссвг,' 2) если вень! (б) и Л вЂ” вещественное число, то сс(Хв) =ХАо; 3) еслсс вс~(ср(6), в»~Яр(6), то с( (ос! Лвг) =с(ос! Лвг+ (-1) рсо! ЛАог. Докажем свойство 3).
Пусть в=-,)„вс,, с с(х'Л...Лах'р, с,«...ср Введем следуюпсее обозначение! дв '" ' с(хс Л.../Мх'р. дх» Тогда асо можно записать в виде и й =~,'й"Л— 'ды дх» »-! Вспомним, что о! от!Лвг ( 1)ррвгЛв! Далее, дх» дх» дх" дх» дх» Тогда с(со = ~~с~~ с(х» Л вЂ” в = г~ с(х» Л вЂ” ' Лв, + дх» А4 дх» +( — 1)рр~ х»Л — ",* Лв,=Ь,Лв,+( — 1) йв,Лв,. дх» »-! Поскольку с(вг есть (сс+1)-форма, то йосгЛвс=(-1) "! .Лйвг.
Отсюда йо=йосЛвг+( — 1)РвсЛЙог. Основное свойство внешнего ссифференциала: сс (йо) =О. Доказательство. Предположим вначале, что в — форма степени О, т. е. в (х) =) (х). Тогда $ 3. Дифференцируемые отображении 239 Так как в виде д(д|г) =д~' — дх| =~ '~' дхаЛдх', ~,1 дх' ~.( 24 дха ах' |=1 ||=! |'=! дх"Лдх'= — дх|Лдха, зто равенство можно переписать дЯ) =-~~~ ~ — ) дх|Лдх', !«е откуда и следует, что д(дг) =О.
Пусть теперь |о= ~ ын л ах| Л...Лдл'», н«...| Тогда дан=~~' ~~~~ йон.л Лдх|Л...Лдх'и, «=! |,«...| Заметим, что каждый член суммы представляет собой внешнее произведение дифференциалов форм степени О, а именно форм ын л (х), е' (дх), ..., еа(дх). Остается применить свой||... | ство 3) и воспользоваться тем, что для формы степени О основное свойство доказано. 3 3. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ео =,') ып „! дх! Л... Лдх и, |,<...« и 1. Определение дифференцируемых отображений.
Рассмотрим произвольную пг-мерную область 0 евклидова пространства Ем и п-мерную область Ос:..Е», Точки области 0 будем обозначать символами 1=(1|, (г, ..., 1 ), а точки области 6 символами х=(х', х',..., х"). Будем говорить, что |р отображает 0 в 6, если (,|, г,») где ~" (!) определены в области О, а векторы х с координатами х =|ра(1) лежат в области б. Определим отображение ер*, которое переводит 11,(б) в й,(0) для любого р, О<р<а. При этом мы будем счнтать, что каждая компонента «р'(1) отображения ф является бесконечно дифференцнруемой. Определение. Пусть ер — отображение Й~Е" в Ос:.Е», Обозначим через |ре отображение, которое для всех О<р<п действует из О (0) в Ои(В) по следующему привалу: если !р'(в) =,~ вь л (<р(1)) !р* (дхч)Л...Л<р'(г(ха), г,(...(! где гр' (дх') = кт ~ — 'Р йа. а',р д!ь П р и м е р ы. 1'.
Пусть в — форма степени О, т. е. в=)'(х). Тогда р*(!') =1(ср(1) ) 2', Пусть гр отображает и-мерную область 0с:Е» в и-мерную область О~Е», н пусть в — следующая л-форма: в=г1х!ЛйхтЛ...Лр1х» Тогда » » р" (в)=(Š— "Ра', Ж") Л...Л~Е М Ж'") = а,=! а =1 » » » и„=! = йтЛ...
Л й» ~~!~ ~(зйп о) др!! о дср» дто!»! =й'Л Лй" бе1 !1 ~ 1. (дп)' Таким образом, <р'(с(хаЛс(х'Л... Л с(х") = В(рт, 22, ..., ж) йтЛй'Л ..Лй". Замечание. Форму !р*(в) называют дифференциальной формой, получающейся из формы со при помощи замены пере. менных ср. 2. Свойства отображения !р». Справедливы следующие свойства отображения !р*. 1'. Если в!Ыл(6), ваЯьар(6), то тр (в!Ли!2) =Ч~ (в!) Лтр (в2).
Доказательство. Пусть в,= ~~ а;.я (х)с(х"Л...Лс(х'л, т,<...<! 240 Дополнение к гл. 6. Дифференциальные формы н еаклидоном пространстве 24$ з 3. дифференцируемые отображения де, (х) с(х" Л... Л1тх Ф,«...и Тогда втЛвя= ~~, У. а, л,(х)ди, е (х)М 1,<...«Е,«'...Л х (х' Л... Лс(х'яЛ (х'Л...Лс(х'« и, следовательно, 1р'(в,Лто,) = '~~ а1(1р(~)) Ья(тр (1)) ф*(с(х") Л .
-Л ф'(Нх е) = и ='и! а,(ф) ф'(т(х')~Л... Л ф'(т(х'и) Л ~~~ д,(ф) ф" (т(хЦЛ ,/г Л... Л 1р" (с(х~е) ! = ф' (о1,) Л 1р (о! ) . 2'. Если веий (6), го 1р" (с(в)=Бр*(в). Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем зто равенство сначала для р=О, т. е. для в=((х). Получим и с(в =~~~~ ~— 1(хт, 1р" (в) = /(ф(1)), 1-1 т л дте иЬМ 4е4 дх! дм А=11=1 и дг ф.,((хт)=ф*(~ ). 1 Для произвольного р проведем доказательство по индукции.
Пусть в = /1,, 1 (х) йх! Л... Л т(х'и. Тогда с(в = с(/1, л Л(т(х" Л... Лт(х1р.. Поэтому по свойству 1' ф'(( ) =ф'(Ф Л ф*((хи) Л... Л ф'((хт ). С другой стороны, гдф" (в) = с(ф" Кт(х! Л... Л с(4-)) Л т/х'и) = = ((ф'ФЬ„и Л...Лдх' ) Лф*((х'и)). 242 Дополнение к гл. 6. Дифференциальные формы в евклиловом пространстве Далее, в силу свойства 3) внешнего дифференциала сйр" (о1) = — с/ф'(/с/х' Л... Л дхсл-!) Л !р" (с!и'и) + +( — 1)' — ' ср" (7с/хь Л... Л с(х'л-') Л аср'(с/х'л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
