ilin2 (947409), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Б. Дифференциальные формы в евклидовом иространстве а величина аа определяется равенствами (6.1.1) и (6.1.2). Внешнее произведение форм сп' п сое обозначается симво. лом = Лы. Проиллюстрируем на примере, как действует перестановка а, удовлетворяющая условию (6.1.4), Предположим, что по некоторой дороге параллельно движутся две колонны автомоби. лей, в первой из которых р, а во второй д машин.
Через неко« торое время дорога сужается и обе колонны на ходу перестраи» ваются в одну. Прн этом автомобили первой колонны занимают места где-то среди автомобилей второй, однако порядок следования автомобилей внутри каждой колонны сохраняется. В результате мы получаем перестановку, удовлетворяющую условию (6.1.4). Легко видеть, что и обратно всякая такая перестановка может быть реализована на нашей модели.
Для того чтобы убедиться, что данное нами определение является корректным, необходимо доказать, что со=сов/~со'еи силле,(Р). Очевидно, в доказательстве нуждается только знакопеременность формы со. Покажем, что прн перестановке двух аргументов й, и $~ 1 форма со меняет знак. Отсюда легко будет следовать, что свен яАпе,(к'), Пусть театр+, является такой перестановкой. Убедимся в том, что тсо= — ы= (здп т) со. (6.1.5) Из равенства (6.1,3) получим тсо =,'~~(зяп а) (та) а. о Разобьем эту сумму на две: тсо=~, (зава)(та)а+~ (зяпа)(та) а. (6.1.6) К первой сумме отнесем те перестановки а, для которых либо а '(1)~р, а '(1+1)~р, либо а '(1))р+1, ог'(1+1)~р+1.
Для каждой такой перестановки (та)а= — аа. Для того чтобы сделать это утверждение более очевидным, обозначим й=о — '(1), 1=а '(с+1), т. е. (=а(й), 1+1=а(1). Фор. ма аа представляет собой произведение форм ыл и сои, причем аргументами ыл являются векторы $,~ш вмеь, воь а аргу ментами ще — векторы $меыь ..., 4мл+чь Если й<р и (~р, то в =ймв> и $+~=$,у> являются аргументами формы сов, которая по условию знакопеременна.
Следовательно, при перестановке ьч и в;ы форма сов, а значит, и аа меняют знак. Аналогично рассматривается случай, когда Аър+1 и Ыр+1. 231 $1. Знанопеременные полнлннеаные формы Итак, для первой суммы выполняется равенство (здпо) (то) а = — ~ (зяп о) оа. (6.1.7) Ко второй сумме отнесем те перестановки о, для которых либо о '(!)<р, о — '(!+1)~р+1, либо о !(!))р+1, о — !(!+1)~ <р.
Покажем, что множество перестановок (о), удовлетворяющих этому условию (а также, разумеется, условию (6.1А)), совпадает с множеством перестановок то, где оен(о). Обратимся к нашей модели с двумя колоннами автомобилей. Утверждение примет следующии очевидный вид. Если при каком-либо перестроении автомобиль с номером я из первой колонны окажется непосредственно перед автомобилем с номером 1 из второй колонны, то легко можнб указать другое перестроение, в результате которого эти автомобили меняются местами, в то время как порядок движения остальных сохранится. Таким образом, так как здпто= — аппо, то ,~~ (здп о) (то) а = — ~~„(здп то) (та) а = — т, (здп о) оа. (6.1.8) и и и Подставляя (6.1.7) и (6.!.8) в (6.1.6), получим (6.1.5), Примеры. 1'.
Рассмотрим две линейные формы 1(я)ен ~А!()т) и дД)енА!()т). Внешним произведением этих форм яв ляется билинейная форма ~Лй =',). (8") ~В) й В) =-~а) й(й) — й КМа) а 2'. Пусть 1(й)енА!()т), йД!, 5„..., $„)енА,(р). Внешним произведением !и=(/~д будет (д+1)-форма, аргументы которой мы обозначим через зо, Ф!, ..., 4п: !п=~'(здпо)о(($,)д(4н 4м ..., Я,)= 6.
Свойства внешнего произведения знакопеременных форм. 1'. Л и н ей ность: а) если !ппенА ()т), !ппенА ()т), го для любого вещественного числа Х ()„) т"!м в ы Л(Л ) =л(ы'Лы'); б) если вРе=АпЯ, ввпенАр('и) и вленАеЯ, то (, + ")Лв=; Лв+ "Лв. Доказательство очевидно. 2'. Антикоммутативность: если вленАр((г) енА,(1'), то впЛвл= (-1)'евлЛв'. Д о к а з а т ел ь с тв о. Пусть влЛве=в=в(йь Фв, ° ° ~ ал+е).
Легко видеть, что и в"е веЛвп=в(ввр+ь В+в ° ° ° вел+о веь ° Реп). Убедимся в том, что перестановку (й,+ь, йп-ьл 41 ьр) можно получить из векторов (~ь ..., $ +,) с помощью рд последовательных транспознций. Вектор $р,, можно передвинуть на первое место, используя р транспознций. Затем с помощью такого же числа транспозиций передвинем на второе место вектор К,+в и т. д. Всего мы передвинем а векторов, используя каждый раз р транспозиций, т. е. число всех транспозиций равно ра. В таком случае антнкоммутативность будет следовать из знакопеременности внешнего произведения.
3'. А с с о ц и а т и в н о с т ь: если вленА, Я), в'енАр ( г'), в'~А,(Р), то (влЛв')Лв'=влЛ(веЛв'). Доказательство. Пусть аенЕрь,+,. Рассмотрим вели- чину в= у (зйпа) а[во($и ..., а ) в'(й ~ь ..., ~л+е)х '!о х '(4,++, ..., В,ч. +,)). (6.1.9) Сумма (6.!.9) будет равна (влЛвл)Лв', если вначале произвести суммирование по всем перестановкам, оставляющим без изменения числа р+а+1, р+д+2, ..., р+д+г и удовлетво. ряющим условию (6.!А), а затем просуммировать по всем перестановкам, сохраняющим получившийся порядок первых р+д аргументов и порядок аргументов 4р+р+ь..., йр+е+' Аналогично можно получить величину влЛ(влЛв'). Покажем, что в обоих случаях получается сумма по всем перестановкам, удовлетворяющим условиям а(1) < а(2) « ...
а(р); а(р+1)< а(р+2)« ... а(р+д); (6.1.10) а(р+а+ 1) « ... а(р+ а+г). Для этого снова обратимся к нашей модели с колоннами автомобилей. Предположим, что по дороге движутся три ко. 232 дополненне к гл. 6. днфференпнвльные формы в евклнловом прострвнетве й И Знакопеременные полилинейные формы 2зз лонны автомобилей, в первой из которых р, во второй д, а в третьей г машин. Один из способов перестроения этих трех колонн в одну заключается в том, что вначале сливаются первая н вторая колонны, а затем полученная соединяется с третьей. При другом способе вначале сливаются вторая н третья колонны, а к ним присоединяется первая.
Очевидно, перестановка о, получаемая в результате любого из этих перестроений, удовлетворяет условию (6.1.10), и, наоборот, любая перестановка, удовлетворяющая условию (6.1.10), может быть получена как с помощью первого, так и с помощью второго способа перестроения.
Это и означает совпадение (еолЛые) Лео" и ылЛ(еоеЛ Лы). Ассоциативность внешнего умножения дает возможность рассматривать любое конечное произведение ы1ЛеоеЛ ..Лео, где оыеиА„($'). Пример. Пусть а~($), а,(4), ..., а ($) — линейные формы. Тогда алЛаеЛ... Ла = ~' (здп о) о (а, фг) ае Я )... а (й )), (6.! . 11) е где суммирование производится по всем перестановкам АХ„. Это равенство легко проверяется с помощью индукции.
Заметим, что если ввести матрицу (а;Д;)), то равенство (6.1,11) можно переписать в виде (алЛаеЛ...Ла ) Ды 4„..., $„) =де1(а,($~)). (6.1.12) 7. Базис в пространстве знакопеременных форм. Выберем какой-либо базис (еД~ 1 в пространстве т' и обозначим через (е')," 1 сопряженный к нему базис в пространстве С(У). Напомним, что е'(й) — линейная форма, которая на элементах базиса (е ) принимает значение е'(е~) =бп. В п. 3 мы показали, что всевозможные произведения ец($1) ен($е)...е~л($ ) образуют базис в Ц(т). Поскольку Ар(У)с:Ер(У), то каждая знакопеременная р-форма может быть разложена единственным образом в линейную комбинацию указанных произведений.
Однако эти произведения не образуют базиса в Ар(к'), поскольку они не являются знакоперемениыми р-формами, т. е. не принадлежат Ап(У). Тем не менее с помощью внешнего умножения из них можно сконструировать базис в Ар(У). Теорема 6.6. Пусть (е)~ ~ — базис в пространстве (ее)" 1 — сопряженный базис в пространстве Ь(1/). Любая зна- 264 Дополнение к гл. 6. Дифференциальные формы в евкаидовом пространстве копеременная р-форма венАР(У) может быть представлена, и притом единственным образом, в виде о>=,г„в<,<,,< е' Ле< Л...Ле'Р, (6.1.13) «<,<... «<в Каждое слагаемое суммы в правой части (б.1.1д) представляет собой произведение постоянной в<а, л на знакопеременную '"' 'Р р-форму е' Ле<*Л... Ле».
До к аз а тельство, В силу результатов п. 4 можно записать; в = ',) .. ,')„в;,<, л е' е'*... е<Р, <, > с > где числа вп<,.,,с =в(е', е'*, ..., е>) определены однозначно. Так как форма в(В<, Ва, ..., ВР) знакопеременна, то для лю* бой перестановки озим» в(в«>, в,<в>, ..., фк»>)=(здпо)в($<, вт, ..., в ). Следовательно (6.1.16) о><о<и<о<а>., <о<Р> =(зкп о) в<А..,< Сгруппируем слагаемые в сумме (6.1А4), отличающиеся перестановкой индексов <>, <в, ..., <р, и воспользуемся равенством (6.1.16).
Получим в =,~, ), в< . е<Р«> ете<Р>— о<»" <ерп «,«,...« о вп<,,л Д (зйпо)е~о<н...ее<»>1, (6.!.16) С,«,«...С и В силу примера из п. 6 сумма, стоящая в квадратных скобках, есть е'*Ле" Л... Ле<Р, теорема доказана. Следствие 1. Элементы е' Ле<*Л...Ле<Р(1««<а«... <!Р<п)образуют базис в пространстве АР(У). Этот базис пуст для р>п и состоит из одного элемента, если р=п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
