ilin2 (947409), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Заметим, 1то ф*(дхл)=-аф*(хл) в силу только что доказанного, а тогда по основному свойству внешнего дифференциала с/ф' (дхсл) = О. По предположению индукции, справедливому для р — 1, йр'(Яхс Л...Лс(хсл-!) =ф*(4Лс1х' Л ... Лс(хсл-!). В результате получим йр (и) = ср*(с(/ Л с(х' Л... Л с/х'л- ) Л !р'(дх'л), и по свойству 1' йр (ю)= р (д/Л дхь Л Л с(хсл). 3'. Т р а из ити вность. Рассмотрим открытые области Ус." сЕ1, )/~Е"', Р/с~Ев, точки которых соответственно и= — (и! и2 ис) Π— (Ос О2 О~л) се — (Пс! СВ2 Н/о) Пусть !р отображает У-о)/, а ф отображает 1/-о-)г'. Через ф !р обозначим отображение, называемое к о м п о з и ц и е й, которое действует по правилу (фа!р) (и) =фр(и)1 Аналогично введем композицию фоофо, которая для любого р переводит 1сл(Ж') в 11 ((/), т.
е. (1Раафа) (СО) а фа(фв (СО)) Справедливо следующее равенство: (фоср) о=!роа ф* Доказательство. Обозначим р=фоф. Это означает, что р=(рс,ра, ..., р"), где рл=фа(ср' р' !р ) Проведем доказательство сначала для линейной формы с(пса~111()Р'). Получим 1 1 ат 1)" (с(псе) =с(р'(и/2) =с(ро(и) =~ — дис = ~ ~~ — — с/ис. с=! 1=1/=1 Далее (ф ф")( э') =ф'(ф'( ')) =ф" (дф'( ")1= = (Е дгд "')=~.'; до! / ! й 4. Интегрирование дифференциальных форм Но поэтому (!р* о ф ) (да!~) = (~~ ~~~ — йиг /=! !=-! Равенство доказано, Отсюда следует справедливость свойства 3' для любой линейной формы.
Далее доказательство проведем по индукции. Пусть а=!'(ш)дю! Л... Л йгв'лией (Ю'). Тогда р'(!и) = Р*()!(а!" Л Л йгв'л-!) Л Р*(йа!'л) = = (!р' е хр') Ц йгв! Л... Л аа!'г-!) Л (<р" е !(!*) (йгв") = =(р* хр)(рагв! Л...Л г(п!'л)=(!р*.ф")(!о). й 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 1. Определения. Обозначим через !' единичный куб в евнлидовом пространстве Е'"': 1"'=-((а=Ее', 0(Р(1, а=1, 2, ..., т). Под отображением !р куба 1 в и-мерную область 6~Е" будем понимать отображение в 6 некоторой области 0с:Ем, содержащей внутри себя !' . Аналогично дифференциальной р-формой м, определенной в !'™, будем называть р-форму, определенную в некоторой области В~Е™, содержащей 1"'.
Определение 1. Интегралом от р-форд!и .=)тйРЛ 1'Л .Л определенной в кубе хл, по кубу 1л будем назь!вать величину ! ! ~ о! = ) ... 1 Г'(1) д(га(а... д(л. !в е а Нашей ближайшей целью является определение интеграла от дифференпиальной формы по любой поверхности. Естественно, что при этом степень формы будет совпадать с размерностью поверхности.
Под поверхностью мы будем при этом пони. мать отображение единичного куба той же размерности (напомним, !то понятие отображения включает в себя как область 244 Дополнение и гл. а. Дифференцивльные формы в евилидовом прострвнствв значений, так и закон соответствия). Впрочем, иногда мы будем называть поверхностью только лишь образ куба. Определение 2. Назовем т-мерным сингулярным кубом в пространстве Е" (пт<п) дифферент(ируемое отображение куба 1 в Е". Таким образом, обозначая сингулярный куб через С, можно записать: С вЂ” «р.
1т ~,Еп Будем говорить, что сингулярный куб С содержится в 6~Еп, если «р(1т) ~6. Теперь можно определить интеграл от любой р-формы аеи ~Яр(6) по любому р-мерному сингулярному кубу Сс:6. Определение 3. Интегралом от формы ас:.(гг(6) по сингулярному кубу С=«р: 1л- Е", содержащемуся в 6, назовем величину ) «о=) «р (а). с тл Убедимся в том, что интеграл от р-формы а по р-мерному сингулярному кубу С зависит лишь от образа «р(1л), а не от закона соответствия «р. Прежде всего рассмотрим подробнее определение интеграла от а по сингулярному кубу С. Пусть а~0 (6) имеет внд а=1(х)дх' тп«...Т«йх'и, тогда «р х к (а) =1 1«р (г)1 «р' (дх' д ...д «(х'и).
В силу примера 2' п. 1 $ 3 получаем «, р*(а) =1( р(1)1 Р(«т, Ге, „,, Ьп) Следовательно, ! а ~ 11«р(1)1 (р ' ''' 'т ) с(1« Л.../~Ил. Р(!«, ..., м) с О предел ение 4. Пусть С«=«р«.'1л-+Еп и Св=«рв.'1л-~Еп— два сингулярных куба. Будем говорить, что С«=Сь если суще- ствует взаимно однозначное отображение т куба 1л на себя та- кое, что: 1) р«(1)=рят(1))' ) Р(т',те, ...,т ) )() Р(Г«,«е, ...,В) Ясно, что если С«=Се, то и Св С«, так как обратное отображение и — ' будет удовлетворять необходимым требованиям. 246 Дополнение к гл. б.
Дифференциальные формы а еаклидоаом пространстае где гл — вещественные числа, а С~ — р-мерные сингулярные кубы Г1ри этом будем использовать обозначение С=к,С +...+х С . Будем говорить, что С принадлежит 6, если все С~ принад* лежат 6. Множество р-мерных цепей образует линейное пространство, если ввести естественным образом операции сложения и умножения на ветцественные числа.
О пр еделение 2, Интегралом формы от по р-мерной й ц е и и С, содержащейся в 6, назовем величину ) от=~а.т) от„'+Ха( от+... +Ха ~ ы. с с, С» с„ Теперь можно определить границу произвольного сингулярного куба. Для этого определим сначала границу единичного куба. О и р е д е л е н и е 3, Границей к у б а 1л назовем (р — 1)-мерную цель Р д! = 'у' ( — !)'(1л(!) — 1л(1)1, »=! где 1„л(1) — пересечение куба Р с гиперплоскостью к'=а '(а= =О, 1). Для того чтобы это определение было корректнь|м, необходимо разъяснить, какой смысл вкладывается в утверждение о том, что 1ал(1) является (р — 1)-мерным сингулярным кубом.
Построим к а н о н и ч е с к о е отображение ф=ср;а л куба Р ' на куб 1 л(1). Пусть 5=(5', за..... зл-')~Р-'. Положим 1 5'., если ! < й < 1; гР (5)= и, если й=-1; 5а 1 сслн 1с кк р. Очевидно, ~р=(ф', ра, ..., »рл) отображает Р— ' на 1 л(1) взаимно однозначно, В частности, при а=О и 1=р отображение ф ! является сужением на 1ал(р — 1) тождественного отображения пространства Ел на себя.
Определение 4. Грани ц ей р-мерного сингулярного куба С= — ат: Р- Е" назовем (р-1) -мерную цепь дС ='$' ( — !)' [ср (Р(1)) — гр(Р (1))). 1 1 Такнсл образом, граница образа куба 1л является образом границы Р с естественной ориентацией. 247 5 4, Интегрирование дифференциальных форм Примеры. 1', Рассмотрим на плоскости квадрат Р. Оче. видно, этот квадрат можно рассматривать как сингулярный куб, взяв в качестве ф тождественное отображение. На рис.
6.5 указана граница этого квадрата, причем если сторона квадрата входит в цепь дР со знаком +, то направление стрелок совпадает с направлением возрастайня параметра (е, по которому производится интегрирование; если же сторона берется со знаком —, то направление стрелок является противоположным на. Рис. 6.5 Рис. 6.6 правлению возрастания параметра Р. Таким образом, наше со. глашение о знаках приводит к обычному обходу границы против часовой стрелки.
2'. Рассмотрим сингулярный куб С=ф: 1'- )ст, где ф имеет вид ф~=(а+И') сов йпР; фв=(а+ЯР)зт 2п1т. Легко видеть, что ф(Р) — кольцо, граница которого образована окружностями радиусов а и а+)т. Выясним, что является границей сингулярного куба С. Очевидно, ф(1ев(1)) окружность ф~=а соз 2пР; фт=а з!п 2пР Далее, ф(1Р(1) ) — окружность радиуса а+)с. Наконец, р (1о' (2) ) и ф (1Р (2) ) — это отрезок хе=О, а ( х' ~ а+)с. На рис. 6.6 стрелками указано направление обхода границы дС, если обход границы дР совершается против часовой стрелки.
Поскольку ф(1ет(2) ) — ф(1Р(2))=0, то можно считать, что дС=ф(1Р(1) ) — ф (1ав(1) ), а это совпадает с обычным пониманием границы кольца. Выясним, каким образом связаны интегралы от формы го по границе куба С и формы фе(од) по границе 1Р. Утверждение. Пусть С=гр: 1Р- Е" — произвольный сингулярныи куб, содержащийся в 6, и пусть гоеиьд, 1(0). Справедливо равенство Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, в силу определения интеграла по цепи достаточно доказать равенство ) ф (<о) гЫР ЬЫ ге К) Рассмотрим каноническое отображение ф=ф~" Р: ТР '- 1 Р(1).
По определению ) ~р' (го) = ) Ч (~р" (го)]. гл г со В силу свойства 3' дифференцируемых отображений (см. и, 2 $3) имеем ф Рф =(фО Я)) Таким образом, ф (Од)= ) (~Реф)*(ЕО)= ) >= дРГО г~ ь <е ма '1 выдан поскольку (<р. ~р) (ТР— ') = ~р (1' (1)). 3. Формула Стокса. О с н о в н а я т е о р е м а. Пусть С=~р: 1Р .«Еи — произвольный сингулярный куб, содержаи(ийся в 6, и пусть го~0 ~(0) Справедлива формула Стокса Докажем эту формулу сначала в следующем частном случае: Пусть од — дифференциальная форма степени р-1, определенная в 1Р.
Тогда справедливо равенство '~ йев = ~ Од. ГР дли (6 1.19) 248 Дополнение к гл. 6. Дифференциальные формы в евклиловом проетранетве~ 249 $4. Интегрирование дифференциальных форм Доказательство. Пусть о!=1(()!((о/~.../!хЖл. По опреде. лению ы х~~ ( 1)1[ ~, ~ о!) д1Л 1"Щ 1Е!О Вычислим следующий интеграл: о1, где 1=1,2, ...,р, а=0,1. 1ноп Рассмотрим каноническое отображение !р: 11 ' ~11„(!). В силу результатов п. 1 имеем 1Л !1! 1 а По определению канонического отображения !рг"'л якобиан имеет вид 0(ав, ..., аг-х, !х, г', ..., ал-!) — О, если 1~1 .!)(а! аа и>"!) х!(51, ха, ..., 5н !) =1, если 1=1. !)(н! а! ае-1) Таким образом, отличными от нуля могут быть только интегралы по 1 л(1), и мы получаем =( — 1)~ ~ ы — ~ ы)= ~ 1(),а1,:, ..., -!) (з Л.. ага 1Л!и 1Е!!! о ! По определению интеграла по кубу /л ' ! ! о!=~ ... ~(~(1, ах, ...,зл — !) — ~(0, з!...з !)) 1(зтг(зв...<Ьа Ота О а 2% дополненне к тл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
