ilin2 (947409), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Тогда для любых у из [с, д] таких, что [у — уо] <6, и для любых х из [а, Ь] выполняется неравенство ]) (х, у) — ](х, уо) [<з, Но это и означает равномерное на [а, Ь) стремление 7(х, у) к 7(х, уо) при у-+-уь. Утверждение доказано. У т в е р ж д е н и е 3. Если функция [(х, у) непрерывна по х на [а, Ь] при каждом фиксированном у из множества У и 7(х, у) равномерно на [а, Ь] стремится к д(х) при у-+ур, то д(х) — непрерывная на [а, Ь] функция. Для доказательства следует воспользоваться следствием ! из теоремы 2.7.
У т в е р ж д е н н е 4. Пусть функция 7(х, у) непрерывна по х на [а, Ь] при каждом фиксированном у и при стрел<лении у к уо в каждой фиксированной точке х сегмента [а, Ь) эта функция, не возрастая (не убывая), сходится к непрерывной предельной функции д(х). Тогда !'(х, у) стремится к у(х) равномерно на [а, Ь], Это утверждение является аналогом теоремы 2.4 гл. 2 (признак Дини).
При переходе к последовательности (у.) необходимо выбирать ее возрастающей и так, чтобы у„-уь. Утверждение 5. Если при киждом фиксированном у из множества у функции от х !(х, у) и ),'(х, у) непрерывны на а, Ь] и при у- уо функция !(х, у) стремится к д(х), а функция '(х, у) стремится к Ь(х) равномерно на [а, Ь], то функция у(х) дифференцируема на [а, Ь], причем Гл.
7. Интегралы, аавнеащне от параметров $2. СОБСТВЕННЪ|Е ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ НАРАМЕТРА 1. Свойства интеграла„зависящего от параметра. Пусть функт|ия двух переменных 1(х, у) определена для х, принадлежащих сегменту [а, Ь[, и для у, принадлежащих некоторому множеству (у)=У. Допустим, что при каждом фиксированном у из У функция 7(х, у) интегрируема по [а, Ь[. Тогда на множестве У определена функция 1(у)=) 1(х, у) дх, а (7.
Ц что и требовалось. Т е о р е и а 7.3 (об интегрировании интеграла по параметру). Если функция 1(х„у) непрерывна в прямоугольнике П= ь =(а(х(Ь, с(у(д), то функция 1(у)= ~1(х, у)йх интегрируема на сегменте [с, й]. Кроме того, справедлива формула а у ь ь у ~1(у)ду= [ Ц1(т, у)йх1 йу= ~ [) 7'(х, у) ду~ дх, Иными словами, в условиях теоремы интеграл, зависящий от параметрц можно интегрировать по параметру под знаком интеграла. ттазываемая интегралом, зависящим от параметра у.
Изучим свойства интеграла, зависящего от параметра. Заметим сначала, что согласно утверждению 2 из З 1, если функция 1(х, у) стремится равномерно на [а, Ь) к функции у(х) при у — уа, то в интеграле (7.1) можно сделать предельный переход под знаком интеграла. Теорема 7.2 (о непрерывности интеграла по параметру). ауусть функция 7(х, у) непрерывна на прямоугольнике П=(а(х( ь (Ь, с(у(4. Тогда интеграл 1(у)= ) 1(х, у)дх является непреа рывной функцией параметра у на [с, д[. Доказательство. В силу утверждения 6 5 1 функция 1(х, у) стремится равномерно на [а, Ь[ к функции 1(х, уе) при у-~-уо. Следовательно, как было отмечено выше, можно сделать предельный переход под знаком интеграла: ь ь ь 1ип 1(у) = 1ип ) 1(х, у)дх = [ 11ш г (х, у) дх = [ | (х, у ) дх = 1(у ), у у.
у"еуа а а у ут а $ и. Собственные интегралы, зависящие от параметра 257 I'(у)= ) 7„(х, у)дх. а (7.2) Иными словами, в условиях теоремы можно дифференцировать под знаком интеграла. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим получаемое из формулы Лагранжа соотношение 1(х, У+а)-1(л, Р) Т (ху +ОЬ) Ь где О<0(1. Заметим, что (и'(х, у+ОЬ) стремится равномерно на [а, Ь[ к )з'(х, у) при Ь вЂ” «О.
Следовательно, при Ь- О допустим предельный переход под знаком интеграла в соотношении ь + ) ~ ( ) = [ ~„(х, у+ ОЬ) с(х. Ь а Отсюда и получаем формулу (7.2). Теорема доказана. 2. Случай, когда пределы интегрирования зависят от параметра. Пусть функция [(х, у) определена на прямоугольнике П= =(а<х<р, с<у<д), а заданные на [с, 4 функции а(у) н Ь(у) отображают [с, 4 в сегмент [а, р). Если прн любом фиксированном у из [с, д) функция 1(х, у) интеррируема по х на сегменте [а(у), Ь(у)[, то, очевидно, на [с, с([ определена функция 7(у) = [ )'(х, у) дх, (7.1') вил представляющая собой интеграл, зависящий от параметра у, у которого пределы интегрирования также зависят от этого параметра. Т е о р е м а 7.5 (о непрерывности интеграла по параметру).
Пусть функция 1(х, у) непрерывна на прямоугольнике П, а функ- Эгй за.м Доказательство. Согласно предыдущей теореме 7.2 функция непрерывна на [с, 4. Поэтому она ннтегрнруема на этом сегменте. Справедливость формулы следует из равенства повторных интегралов, поскольку оба они равны двойному интегралу )) 1(х, у)т(хду (см. гл. 3). Теорема доказана. и Теорема 74 (о дифференцируемости интеграла по параметру). Пусть функция 1(х, у) непрерывна на прямоугольнике П и имеет на нем непрерывную производную (и'(х, у).
Тогда определяемая равенством (7.1) функция 1(у) дифференцируема на [с, д]' и Гл, 7. Иитегрелм, зависли(ие от параметров ции а(у) и Ь(у) непрерывны на сегменте [с, д]. Тогда функция ыв) 1(у) ] 1(х, у)йх непрерывна на [с, с(]. а(а) Доказательство. Зафиксируем произвольное уо из сег- мента [с, й]. Тогда в силу свойства аддитивности интеграла ь(а,) ые> аол 1(у) = ] 1(х, у) йх + ] 1(х, у) йх — ] 1(х, у) дх. а(аа) ыь > а(ае> Первый интеграл в правой части представляет собой интеграл, зависящий от параметра у, с и о сто я н н ы м и пределами интег- рирования. Следовательно, он является непрерывной функцией от у и поэтому при у- у, стремится к 1(уе).
Для двух других интег- ралов получаем оценки ыа) ~ '] 1(х, у)дх~ <М]Ь(у) — Ь(уе)!, ьГы) а(а) ~ ]' [(х, у)дх~<М]а(у) — а(уеИ, а(уа) где М=зпр]1(х, у)]. Из непрерывности функций а(у) и Ь(у) и следует, что при у — т.уо оба эти интеграла стремятся к нулю. Таким образом, 1(у)-с-1(уе) при у — т-уе. Теорема доказана. Докажем теперь теорему о дифференцируемостн интеграла 1(у), определяемого равенством (7дс'). Теорема 7.6 (о дифференцируемости интеграла по парамет- у). Пусть функция ((х, у) непрерывна вместе с производной и'(х, у) на прямоугольнике П, а функции а(у), Ь(у) дифференци- руемьс на [с, й]. Тогда интеграл 1(у), определяемый равенством (7.1а), дифференцируем по у на [с, д] и справедливо равенство ь(а) 1(у)= ] 1„(х, у)дх+1[Ь(у), у]Ь'(у) — 1[а(у), у]а'(у). (7.3) а(у) Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем произвольное уе и запи- шем соотношение Ыае+М ь,) Ь Л (,) — 1(х Уе + Ь) дх — 1(х, У,) дх ] (7.4) т(уа+Ю а(и,) (Ь выбрано так, что у,+Ь ен [с, й]).
Так как ыа,+ь> аон) 1(х, у, +Ь) с)х= ] 1(х, у,+ Ь) дх+ а(у,+Ы а(ве+М $3 Несобственные интегралы, зависящие от параметра 23й ьм) ыу,+и + ~ 1(», у.+ Ь) ( + ~ ~(х, у, + Ь) ~:(, «)уе) му,> Муе) 7(у«+а) — 7(уе) (' 7(», ре+А) — 7(», ре) (х+ й .) А «(уе) «О)е) Ыуе+М + — ~ 7'(х, У,+Ь)~х+ — ~ 1(х, Уа+Ь)с(х. «И)е+а) ЬФа) В первом слагаемом правой части этого равенства согласно теореме 7.4 можно перейти к пределу под знаком интеграла при Ь-).0. Воспользуемся первой формулой среднего значения для интегралов н представим второе и третье слагаемые в виде «Нее) +Ь)( у(и ( Ь) е)(ра) е)(У«+й) а)у,+м где $ заключено между числами а(уо) и а (уе+Ь); ыуе+Ь) — Г(х У +Ь)д»=(Я' У +Ь) Ыуе) где $' заключено между числами Ь(уе) и 6(ус+А).
Из этих равенств и из непрерывности функций а(у) и Ь(у) получаем, что при Ь-+О а)уа — ~ (», уь+ Ь) ~ — — Й (и (уа) уа) и'(уь); «)уе+М ыуе+и — 1(»е Уь+Ь)дх-~-1(й(Уе) Уе1й'(Уь)* Ыуе) Таким образом, в равенстве (7.4) допустим предельный переход при Ь-~0 и справедлива формула (7.3). Теорема доказана. й 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА В этом параграфе мы будем изучать случай равномерного относительно ус=(у) стремления функции двух переменных г(х, у) к предельной функции б(у) при»-е-+ со. 91/ « Гл. 7.
Интегралы, зависящие от параметров Пусть функция г(х, у) определена на множестве Е, состоящем из пар (х, у), где х принадлежит множеству (х)=-Х, а у принадлежит множеству (у)=У, Х и У вЂ” множества числовой оси. Предположим, что + оо является предельной точкой множества Х (т.е. для любого числа а множества (а, +оо) содержит по крайней мере одну точку из Х), Определение 1, Функция г(х, у) стремится равномерно относительно у на множестве Х к функции сг(у) при х, стремящемся к +оо, если для любого е>0 найдется такое число хе, что для любых х, принадлежащих Х и удовлетворяющих условию х>хе, и для любых у из У выполняется неравенство ~ р(», у) — ~(у)1<' 1. Несобственные интегралы первого рода, зависящие от параметра. Перейдем теперь к изучению несобственных интегралов.
Пусть функция ((х, у) определена при всех х>а, при всех у из некоторого множества (у)=У и при каждом фиксированном у из У интегрируема на (а, + оо), т. е. для каждого у из У сходится интеграл 7(у) = ~ 7(х, у)йх. (7.5) а Определение 2. Несобственный интеграл (7.5) называется сходящимся равномерно по параметру у на множестве У, если функция с Р(1, У)=) Г(х, У)йх (7.6) а равномерно на множестве У стремится к предельной функции Цу) при 1-а-+со. Справедлив следующий критерий равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра. Теорема 7.7 (критерий Коши). Для того чтобы несобственный интеграл (7.5) сходился равномерно на множестве У, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 существовало такое число 1а>а, что при всех 1', 1", превосходящих 1„и при всех у из У было справедливо неравенство Г (х, у) йх ~ ч, е.
с Справедливость этого критерия вытекает из теоремы 7Л, примененной к функции 261 6 3. Несобственные интегралы, аавнсянгне от параметра Из критерия Коши, в частности, вытекает следующий признак сравненвя. Теорема 7.8 (признак Вейерштрасса). Пусть при всех у из У и всех х, принадлежащих полуоси [аь оо), где аг>а, для функции 7(х, у) выполнено неравенство )~(х, у)1(гр(х), где гр (х) — интегрируемая (в несобственном смысле) на (а, оо) функция.
Тогда интеграл (7.5) сходлтся равномерно. Доказательство. Поскольку интеграл ) гр(х)дх сходится, О то для любого числа н)0 найдется такое число 1е~а„что при любых 1', ги таких, что 1с(У(1", выполняется неравенство ~р (х) х1х С н. Тогда ~ ~ ) (х, у) Й ~ ~ ~ 1 7 (х, у) ! дх «) гр (х) с(х ( н, е х' что и требовалось доказать. 3 а м е ч а н и е 1. Из критерия Коши равномерной сходимости несобственного интеграла вытекает, что интеграл (7.5) и его «остаток» (т.
е. интеграл вида ) 7(х, у)с(х, где а')а) равномерно схоа' дятся одновременно. 3 а и еч а н ив 2. Аналогично тому, как был доказан признак Дирихле — Абеля для несобственных интегралов (см. дополнение 1 к гл. 9 ч. 1), доказывается следующее утверждение (признак Дирихле †Абе): Если интеграл Р(1, у)=) х'(х, у)х(х равномерно ограничен, с т. е при всех 1>а и у из у выполнено условие ~1р(1, у) ~(я, а у(х) ограничена и монотонно стремится к нулю при х- +ос, то интеграл ) 7(х, у)д(х)дх сходится равномерно. е Перейдем теперь к изучению свойств зависящих от параметра несобственных интегралов. Теорема 7.9. Пусть для любого Ь, превосходящего а, функция 1(х, у) равномерно на сегменте а(х(Ь стремится к функции д(х) при у-х-уь, где уь — предельная точка множества У, и интег- 9 за» нн 262 Гл.
7. Интегралы, аавнсяшне от параметров рал 1(у)= ) 1(х, у)с(х сходится равномерно на множестве У. а Тогда О 11гп1(у)=1пп) 1'(х, у)дх=) д(х)дх. У «У» У У.о Доказательство. Докажем интегрируемость на (а, оо) функции д(х). Для произвольного е>0 найдем число !р=!о(е)>0 такое, что для любых !', !", превосходящих !о, и для всех у из У выполнено неравенство с' ( ~ 1(х, у) с(х ~е. е. Зафиксировав произвольные у и !", превосходящие !а, перейдем в атом неравенстве к пределу прн у«-уо, получим г ~ ) у (х) дх ~ < е. Это и доказывает сходнмость интеграла ) д(х)дх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
