ilin2 (947409)
Текст из файла
В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сеидов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОДОЛЖЕНИЕ КУРСА Под редакцией академика А.Н. Тихонова Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника лля студентов вузов, обучающихся по специальностям „Математика", „Прикладная математика", „М еханика" ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1987 УЛК 517 Рекеквекты: кафедра матаметккк МИФИ 1авв. кафедрой проф.
А. И. Прввеак 1], тв..корр. АИ СССР А. в. Вкквдае !(ч) Издательство Московского университета,, !987 г, 1702050000 — 164 И 1!9 — 87 077(02) — 87 Ильин В. А. н др. Математический анализ. Продолжение курса / В, А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сеидов. Под ред. А. Н. Тихонова. — Мд Изд-во МГУ, !987. — 358 с. Учебник представляет собой вторую часть (ч. ! — 1985 г.) курса математического анализа, написанного в соответствии с единой программой, принятой в СССР и НРБ, В книге рассмотрены теория числовых и функциональных рядов, теория кратных, нриволинейных и поверхностных интегралов, теория поля (включая дифференциальные формы), теория интегралов, зависящих от параметра, и теория рядов и иатегралов Фурье.
Особенность книги — три четко отделяемых друг от друга уровня изложения: облегченный, основной и повышенный, что позволяет использовать ее как студентам технических вузов с углубленным изучением математического анализа, так и студентам механико-математических факультетов университетов. ПРЕДИСЛОВИЕ Данная книга является второй частью учебника по математическому анализу и полностью охватывает материал второго года обучения, предусмотренный программой для студентов университетов СССР и НРБ, обучающихся по специальностям «Математика», «Прикладная математика» и «Механика». Книга содержит теорию числовых и функциональных рядов, теорию собственных и несобственных кратных интегралов Римана, теорию криволинейных и поверхностных интегралов и интегралов, зависящих от параметров, теорию поля (в том числе и теорию дифференциальных форм и евклидовых пространств), теорию ря.
дов и преобразований Фурье. Как и в первой части (В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сеидов. Математический анализ. Начальный курс. — М.: Изд-во МГУ, 1985), изложение материала ведется на трех легко отделяемых друг от друга уровнях: облегченном, основном и повышенном. Облегченный уровень отвечает программе технических вузов СССР с углубленным изучением математического анализа, основной уровень изложения — программе специальности «Прикладная математика», материал повышенного уровня изложеняя дополняет материал основного уровня рядом разделов, обычно излагаемых на механико-математических факультетах университетов.
Для понимания материала облегченного уровня изложения не требуется чтение материала основного и повышенного уровней, а для понимания материала основного уровня изложения не требуется чтения материала повышенного уровня. Текст, относящийся к повышенному уровню изложения, выделен в книге двумя вертикальными чертами; текст, относящийся к основному уровню изложения, выделен одной вертикальной чертой, остальной текст книги составляет содержание облегчепяого уровня изложения. В целом материал данной книги весьма приближен к тому курсу, который реально может быть прочитан для студентов университетов. При написании этой книги авторы использовали сложившиеся в Московском и в Софийском университетах лекционные курсы и Предисловие часть материала из книги В.
А. Ильина и Э. Г. Позняка «Основы математического анализа» (М.: Наука, 1980). Авторы выражают глубокую благодарность титульному редактору этой книги академику А. Н. Тихонову за многие ценные советы и замечания. Особую благодарность авторы выражают И. С. Ломову и С. Троянскому, которые оказали неоценимую помощь на всех этапах написания этой книги. Весьма существенному улучшению изложения материала учебника способствовал труд редактора Т.
И. Кузнецовой, которой авторы также выражают глубокую благодарность. Москва, октябрь 1986 г. Глава 1 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Еще в курсе средней школы читателю приходилось сталкиваться с суммами, содержащими бесконечное число слагаемых (например, с суммой бесконечного числа членов геометрической прогрессии). Исследование такого рода сумм, называемых рядами, может быть сведено к исследованию числовых последовательностей, тем не менее эти суммы требуют самостоятельного углубленного изучения, так как служат важным вспомогательным средством для представления различных встречающихся в анализе функций.
$1. ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОГО РЯДА 1. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Рассмотрим произвольную числовую последовательность иь иь ..., им ... и формально образуем из ее элементов бесконечную сумму вида и +и,+...+и„+...=~ и„. ь=! Формально составленную сумму (1.1) принято называть ч нсл о в ы м р я д о м или просто р я д о и. При этом отдельные слагаемые иь принято называть ч л е н а м и р я д а (1.1). Сумму первых и членов ряда (1.1) принято называть и-й ч а ст и ч ной су мм о й р я д а и обозначать символом 5.. Итак, по определению (1.1) я 5„=и, +и, +...
+и„=~~ им (1.2) ь=! Определение. Ряд (1.1) называется сходящимся, если сходится последовательность (5 ) частичных сумм (1,2) этозо ряда. При этом предел 5 указанной последовательности (5,) называется суммой ряда (1.1), Таким образом, для сходящегося ряда (1.1), имеющего сумму 5, мы можем формально записать равенство 5=~и,.
л=! Гл. 1. Числовые вилы В случае, если для данного ряда (1.1) предела последовательности частичных сумм (1.2) не существует, этот ряд называется расходящимся. Мы видим, что понятие суммы определено лишь для сходящегося ряда, причем (в отличие от понятия суммы конечного числа слагаемых) понятие суммы ряда вводится посредством операции предельного перехода. В современной математике и в ее приложениях часто приходится сталкиваться с расходящимися рядами, для которых предела последовательности частичных сумм (1.2) не существует.
Для таких рядов вводится понятие суммы в некоторых обобщенных смыслах. В 2 7 настоящей главы будут рассмотрены наиболее употребительные методы обобщенного суммирования расходящихся рядов. Одним из главных вопросов теории числовых рядов является установление признаков, позволяющих решить вопрос о сходимости или расходимости данного ряда.
В $ 2 такие признаки будут установлены для рядов, все члены которых являются неотрицательными числами, а в 2 4 — для рядов с произвольныели членами. При меры. 1'. Изучим вопрос о сходимости ряда, составленного из членов геометрической прогрессии (1.3) Так как п-я частичная сумма 5„этого ряда при е/=~1 вид 5 11 )+ 14и — 3 1 — ов ! — д имеет (1.4) то очевидно, что при ~д) < 1 последовательность частичных сумм (5е) имеет предел, равный 1/(1 — д). Таким образом, при ~д~ < 1 ряд (1.3) сходится и имеет сумму, равную 1/(1 — 4).
Если ~с/~ >1, то из выражения (1.4) очевидно, что предела последовательности частичных сумм (5л) не существует, т. е. при 1д) > ! ряд (1.3) расходится. Для полноты картнны остается рассмотреть случай )д~ = 1, т. е. случай, когда д равно либо +1, либо — 1. В случае, когда с/= + 1, все члены ряда (1.3) равны единице и а-я частичная сумма этого ряда 5 равна а. Отсюда следует„ что и в случае д= + 1 предела последовательности (5„) не существует, т. е. ряд (1.3) расходится.
Наконец, в случае е/= — 1 ряд (1.3) имеет внд 1 — 1+1 — 1+..., так что последовательность (5„) частичных сумм совпадает с заведомо расходящейся последовательностью 1, О, 1, О, ..;. Стало быть, и при д= — 1 ряд (1.3) расходится. $1. Понятие числового ряда 2'. Фиксировав любую точку х числовой прямой, рассмотрим вопрос о сходимости трех числовых рядов '>: х хв „» — 1,-~ „» — 1 1+ — х+ — х+... + +...=~,', (1.6) П 2! (» — 1)! (>> — 1)! ' »-1 хз хв ( — !)" — ' х⻠— ' ь- ( — !)' — 'хтз-1 х — ~ -1- — —... -1- -<-...
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
