ilin2 (947409), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

а„= 1пп е!н т 'нн " ' '" = е!" с = Ь ! а 1 (!.33) (а — любое вещественное число). В конце и. 2 мы установили, что при а<1 ряд (1.33) расходится, однако остается открытым вопрос о сходимости этого ряда (Эти рассуждения справедливы и при Ь=О, если считать 1пЬ= = — оо.) Лемма 2 доказана. Д оказ атель ств о у тв ер ж де пня. Применяя лемму 2 к числам а,=р„а,=р,/р!, ..., а„=р,/р„!, мы, опираясь на существование равного Ь предела (1.21), установим существование равного тому же Ь предела (1.26). 4.

Интегральный признак Коши — Маклорена. Признаки Даламбера и Коши оказываются непригодными для выяснения вопроса о сходимости некоторых часто встречающихся рядов с положительными членами. Так, например, с помощью этих признаков нельзя выяснить вопрос о сходимости обобщенного гармонического ряда Гл.

!. Числовые ряды ~ )'(й)=~(т)+~(т+1)+~(т+2)+ ... (1.34) сходится в том и только в том случае, когда существует предел при и-~со последовательности я а„= ) Т(х)дх. и (1.35)! Д о к а з а т е л ь с та о. Пусть й — любой номер, удовлетворяющий условию й>т+1, а х — любое значение аргумента из сегмента й — 1(х(н. Так как по условию функция )(х) не возрастает на указанном сегменте, то для всех х из указанного сегмента.

справедливы неравенства 1(й) <) (х) <! (й — 1). (1.3б) Функция 1(х), будучи ограниченной и монотонной, интегрируема на сегменте 1Й вЂ” 1, я) (см. п. 2 $ 3 гл. 9 ч. 1). Более того, из неравенства (1.36) н нз свойства б) (см, п. 2 $4 гл. 9 ч. 1) вытекает, ~ ~(й)д» < ~ ~(~)дх < ~ ~(й — 1)дх, ь — 1 ь — ! я — ! или ((я) < ~ Т(х) дх ~ 7(я — 1). ь-! (1.37)! Эти неравенства установлены нами для любого й==:т+!. Запишем их для значений я, равных т+1, т+2, ..., и, где и — любой номер, превосходящий т: я!+1 7(т+1) ~ ~ 7(х)дх <Цт), гл т+2 1(т+2) < ) 7'(х)дх с; Г'(т+ 1), ы+ ! при а>1. В этом пункте мы установим еще один общий признак сходимости ряда с неотрицательными членами, из которого, в частности, будет вытекать сходимость ряда (1.33) при а>1. Теор е ма 1.7.

(признак Коши — Маклорена). Пусть функция 1(х) неотрицательна и не возрастает всюду на полупрямой х>т, где т — любой фиксированныи номер. Тогда числовой ряд з 2. Ряды с неотрицательными членами 23 л 1 (п) < ) ! (х) дх < ! (п — 1). л — 1 Складывая почленно записанные неравенства, получим л л л †! ((я) < ~ ~ (х) с(х < ~~ ~(й). (1.38) Договоримся обозначать символом 5л и-ю частичную сумму ряда (1.34), равную л 5л лл ) ~ (й). Приняв это обозначение и учитывая обозначение (1.33), мы можем следующим образом переписать неравенства (1 38); 5л ! (тп) чмаллм5л-!. (1.39) л! "— 1 при се~1, 1 — а л Г 1 а =~ — дх= л ) 3 л" ! 1пх!,":'!'=1пп при а=1.

Из вида элементов а вытекает, что последовательность (а ) расходится при а(! и сходится при а)1, причем в последнем ! случае 1ппал= —. Таким образом, ряд (1.33) расходится при л-~ Я вЂ” ! чт(1 (это мы уже установили выше другим способом) и сходится Эти неравенства позволяют без труда доказать теорему. В самом деле, из формулы (1.33) очевидно, что последовательность (а,) является неубывающей. Следовательно для сходимости этой последовательности необходима и достаточна ее ограниченность.

Для сходимости ряда (1.34) в силу теоремы 1.2 необходима и достаточна ограниченность последовательности (5,). Из неравенств (1.39) вытекает, что последовательность (5 ) ограничена тогда и только тогда, когда ограничена последовательность (а,), т. е. тогда и только тогда, когда последовательность (ал) сходится. Теорема доказана. П р им е р ы, 1'. Прежде всего применим интегральный признак Коши — Маклорена для выяснения сходнмости обобщенного гармонического ряда (1.33). Поскольку ряд (1.33) можно рассматривать как ряд вида (1.34) при пт=1, 1(х) =1/хл и функция 1(х) убывает и положительна на полупрямой х)1, вопрос о сходнмости ряда (1.33) эквивалентен вопросу о сходимости последовательности (ал), где Гл.

!. Числовые ряды 24 при а>1. В частности, при а=2 ряд (1.33) переходит в ряд (1.24), сходимость которого мы теперь можем утверждать. 2'. Исследуем вопрос о сходимости ряда Е 1 «!прй ' «-а где  — фиксированное положительное вещественное число. Ряд (1.40) можно рассматривать как ряд вида (1.34) при от=2 н 1 г (х) = —,а Поскольку функция 1(х) неотрицательна и ненозрастает на полупрямой х>2, вопрос о сходимости ряда (1.40) эквивалентен вопросу о сходимости последовательности (а,), где (1.40) 1п! Рх х " !п' Рл — 1п' "2 при В~!, 1 — В =т ! — В в 1 а„= ( — йх= ,! х !пах 2 !п1пх!;=",=!п1пп — !п1п2 при В=1. Из вида элементов а„вытекает, что последовательность (а«) сходится при В>1 н расходится прн В(1.

Таким образом, ряд (1.40) сходится при В>1 и расходится при В(1. 5, Признак Раабе. Признаки Даламбера и Коши были основаны на сравнении рассматриваемого ряда с рядом, пред. ставляющим собой сумму членов геометрической прогрессия. Естественно, возникает идея о получении более тонких признаков, 'основанных на сравнении рассматриваемого ряда с другими стандартными рядами, сходящимися или расходящимися «медленнее», чем ряд, составленный из всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. В этом пункте мы установим признак, основанный на сравнении рассматриваемого ряда с изученным в предыдущем пункте стандартным рядом 1 1, ! ,— =1+ — + — + ...

(1.41) «о 2« Зо «-1 Теорем а 1.8 (признак Раабе'!). 1, Если для всех номеров й, по крайней мере начиная с некоторого номера, справедливо неравенство й (! — Р«" ~ > д ) 1 ( и ! ! — †'" ' ) < 1) , (1.42) т~ Иозеф Людвиг Раабе — швейцарский математик (1801 — 1859). О з~ Конечно, при этом предполагается, что ряд ~ р«, по крайней мере «-! начиная с некоторого номера, имеет строго положительные члены. $2.

Ряды с неотрицательными членами то ряд ~Г р„сходится (расходится). й-1 П. Если существует предел 11гпй (1 — Р"" ) =Е, Рй (1,43) — С вЂ” — ~ — >1 — — ), Рй е ~ рй.й 1 Рй Рй (1.44) Так как д>1, то найдется некоторое число а, удовлетворяющее неравенствам д>а>1. Разложив функцию (1+х)" по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано (см. п. 2 $9 гл. 6 ч. 1), будем иметь (1+х) =!+ах+о(х).

1 Полагая в последней формуле х = — —, получим й ' (1 — — ) =1 — +о~ — ). (1.45) Поскольку последовательность является бесконечно мао(1/й) 11й лой; то, начиная с некоторого номера )ее, справедливо неравен- ство о~ — ) ( у — и. ! (1.46) Сопоставляя (1.45) н (1.46), получим неравенство (1.47) Сравнение неравенств (1.44) и (1.47) дает — <( 1 — — ) 1 — > 1 — — ) (при Й » ~Йо). Раей т ! 1а Г р ! Рй й ~ Рй и то ряд «~, р„сходится при Е>1 и расходится при Е<1.

Теорей ! му П обычно называют признаком Раабе в п р е д ел ь н он форме. Доказательство. Докажем отдельно теоремы 1 и И. 1) Для доказательства теоремы 1 перепишем неравенство (1.42) в виде Гл. 1. Числовые ряды Последние неравенства можно переписать в виде 1 1 ૠ— "" < Рвы я — (при й 3- йя). (1.48~ Ря 1 р» 1 1)а я — 1 Поскольку ряд (1.41) сходится при а>! и расходится при а=1, то неравенства (1.48) и теорема сравнения 1.4 позволяют а утверждать, что ряд Я,рв сходится (расходнтся). Теорема 1 А=! доказана.

2) Точно так же, как и в признаках Даламбера и Коши, мы сведем теорему П к теореме 1. Пусть сначала 1.>1. Положим е= (1.— 1)/2, !/=1+в=А — е. По определению предела (1.43) для этого е можно Указать номеР /ее, начинаЯ с котоРого Й (! — — ") — /. ~ < з и, следовательно, справедливо левое Р» неравенство (1.42). Если же 8<1, то мы положим з=1 — 1. и, используя определение предела (1.43), получим, что, начиная с некоторого номера йв, справедливо правое неравенство (1.42). Теорема 1.8 полностью доказана.

Замечание. В теореме 1.8 (1) в левом неравенстве (1.42) нельзя взять !/=1 (при этом сходимость ряда может не иметь места). Прн /.=! теорема 1.8 (П) «не действует» (возможны и сходимость и расходимость ряда). В качестве примера исследуем вопрос о сходимости ряда 1 1 1 Ю вЂ” (1+ — + — Е "+ — ! 2 3 Я вЂ” 11 ~'р, где ряс а , а=сонэ! > О. Признаки Даламбера и Коши в применении к этому ряду «ие действуют». Применим признак Раабе.

Легко проверить, что 1 ( Ря!) а в — 1 (--') Последняя дробь прн й-»ео стремится к производной функции а" в точке х=О, т. е, стремится к !па. В силу признака Раабе рассматриваемый ряд сходится при 1п а>1, т. е. при а>е,и расходится прн 1п а<1, т. е. при а<е. При а=е вопрос о сходимости ряда требует дополнительного исследования, так как при- знак Раабе «ие действует» Другим примером ряда, в примене- 27 5 2. Ряды с неотрицательными членамн нии к которому «не действует» признак Раабе, может служить ряд (! .40) . б. Отсутствие универсального ряда сравнения. Мы уже отмечали, что признаки Даламбера и Коши основаны на сравнении рассматриваемого ряда с рядом, составленным из всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а признак Раабе — иа сравнении с более медленно сходящимся (или расходящимся) рядом (1.41).

Характеристики

Список файлов книги