ilin2 (947409), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(1.116) 4) Остается, сохраняя фиксированным х, устремить в формуле (1.116) номер р к бесконечности. Поскольку левая часть (1.116) не зависит от р, а предел 1!и!Я (х) в силу неравенств Р (1.115) н теоремы 3.14 ч. 1 существует и равен единице, то сушествует и предел Р Вш П ~1 — "' ) = — ""', Таким образом, разложение (1.102) для зйпх установлено. 3 а м е ч а н и е. В полной аналогии с разложениями (1.102) для з!их и (1.103) для сов х можно получить разложения в бесконечные произведения гиперболических функций 3) Теперь в формуле (1.110) устремим число П5 к бесконечности, оставляя фиксированными значение х и номер р.
Поскольку !!гп тз!и — =х, 1!щл555!пя — =(йп)5, то существует т-~ба 1П т т т 51П Х предел левой части (1.110), равный , н предел конечнох х Р 5! П5 Р т 5-5 I х' го произведения П 1 —, равный 1 ) ( ! — — ). яп И~ „.,). А 1 51П5— 5=1 т Далее будем считать, что последний предел отличен от нуля, так как, когда он равен нулю, з|п х=0 и разложение (1.102) установлено. Но тогда существует предел !!гп 555р(х).
Обозначим этот предел через Я (х). Из неравенств (1.114), справедливых для любого номера т, и из теоремы 3.13 ч. 1 вытекает, что $7. Обобщенные методы суммнровання расходящнхся рядов бб Ю й х = х П (1 + — ), с)т к = П ~ 1 + е=-1 а=1 Заметим, что из разложений для з1п х, сов х, зЬ х, с!тх немедленно получаются разложения в бесконечные произведения функций 1пх, с1пх, 1(тх и с1)тх.
й 7. ОБОБЩЕННЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ Во всей гл. 1 мы называли суммой ряда 0 Х иаь их+их+ ... +ив+... а ! (1.117) му 17, а ряд ~)„оа имеет обобщенную сумму )У, то ряд тз (Аие+Воа), где А и  — любые постоянные, имеет обобд=! щенную сумму (А(т+В)У). Метод суммирования, удовлетворявший указанному условию, называется л н не йн ы м. В анализе и в его приложениях, как правило, имеют дело лишь с регулярными линейными методами суммирования. Остановимся на двух предел 5 последовательности (5е) частичных сумм этого ряда (при условии, что этот предел существует).
В ряде задач математического анализа, представляющих как теоретический, так и практический интерес, приходится оперировать с рядами, у которых последовательность частичных сумм не сходится и сумма в указанном выше обычном смысле не существует. Естественно, возникает вопрос об обобщении понятия суммы ряда и о суммировании расходящегося в обычном смысле ряда (1.117) с помощью каких-либо обобщенных методов. В настоящем параграфе мы и остановимся на некоторых обобщенных методах суммирования расходяшихся рядов. Прежде всего дадим общую характеристику тем методам суммирования, которые будут рассматриваться.
Разумно требовать, чтобы обобщенное понятие суммы включало в себя обычное понятие суммы. Точнее, ряд, сходяшийся в обычном смысле и имеющий обычную сумму 5, должен иметь обобщенную сумму, и притом также равную 5. Метод суммврования, обл ада юший указанным свойством, называется р е г у л я р н ы м. Далее естественно подчинить понятие обобщенной суммы следующему условию: если ряд ~„иа имеет обобщенную суме=1 Гл. 1.
Числовые ряды методах обобщенного суммирования, представляющих особый интерес для приложений. !. Метод Чезароя'1 (метод средннх арнфметнческнх). Говорят, что ряд (1.117) суммируем методом Чеза ра, если существует предел средних арифметических сумм этого ряда: 11щ '+ '+'''+ (1.118» л-на л Прн этом предел (1.118) называется обобщенно й в ем ыел е Ч е з а р о с у м м ой ряда (1.117). Линейность метода суммирования Чезаро очевидна.
Его регулярность вытекает нз леммы 1, доказанной в п. 3 $2. В самом деле, нз указанной леммы вытекает, что если последовательность (5„) частичных сумм ряда (1.117) сходится к числу 5, то предел (1.118) существует н также равен 5. Приведем примеры рядов, не сходящихся в обычном смысле, но суымнруемых методом Чезаро.
Примеры. 1'. Рассмотрим заведомо расходящийся ряд Поскольку все ч етн ы е частичные суммы 55„этого ряда равны нулю, а все нечетные частичные суммы 55 1 равны единице, то предел (1.118) существует н равен 1/2. Таким образом, рассматрнваемый ряд суммируем методом Чезаро, н его сумма в смысле Чезаро равна 1/2. 2'. Считая, что х — любое фиксированное вещественное чнсло нз интервала 0<х(2п, рассмотрим заведомо расходящнйся тм ряд ~~„сових=созх+соз2х+созЗх+ .. (1.119» Частичная сумма этого ряда 5„уже подсчитана нами в примере 2' 9 4: 11 Х 51П (Л+ — ) Х вЂ” 51П— 5„= Х 2 51П 2 5'1 Эрнесто Чеааро — итальянский математик (1959 — 1906) . 551 Расходимость ряда (1.119) беа труда усматривается иа приведенного ниже выражении для его частичной суммы.
4 7. Обобщенные методы суммирования расходящнхся рядов 57 Подсчитаем среднее арифметическое частичных сумм: — 51п (лт+ — ) х]— 2л 5|п— 2 л 1 Г~| ~ ~' (созтх — соз(лт+1)х)~ — — = | 1 Х 1 4л.51па 55=-1 2 со5 х — со5 ! л + 1 ) х 1 Х 4л 5|пав 2 Отсюда очевидно, что ~1+55-| -. -т-5л л м л 2 Таким образом, ряд (1.119) суммируем методом Чезаро, и его сумма в смысле Чезаро равна ( — 1/2). 2. Метод суммирования Пуассона 55| — Абеля. По данному ряду (1.!17) составим степенной ряд я ихха-1|-из+ иях т изхя+...
псих х' — '+... (1.120) а-| Если этот ряд сходится для всех х из интервала 0<х<1 н если его сумма 5(х) имеет левое предельное значение!пп 5(х) Х 1 — О в точке х = 1, то говорят, что ряд (1.117) с у и м и р у е м м е т одом м П у а се о н а — А б ел я. При этом указанное предельное значение называется суммой ряда (1.117) в смысле Пуа с с о н а — А б е л я. Линейность метода Пуассона — Абеля не вызывает сомнений.
Докажем регулярность этого метода. Пусть ряд (1.117) сходится в обычном смысле и имеет сумму, равную 5. Требуется доказать что: 1) ряд (1.120) сходится для любого х из интервала 0<х<1, 2) сумма 5(х) ряда (1.120) имеет в точке х=1 левое предельное значение, равное 5. Докажем сначала утверждение 1). Так как ряд (1.117) сходится, то последовательность его членов является бесконечно малой и, следовательно, ограниченной, т.
е. найдется такое число М, что для всех номеров й (1.121) ) иа)(М. "1 Снмон Дени Пуассон — французский математик (1781 †15). Гл. 1. Числовые ряды Используя это неравенство, оценим модуль й-го члена ряда (1.120), считая, что х — любое число из интервала 0<х<1 Получим ~ и~х»-! ) <М ~ х ~ »-'. Так как 1х~<1, то ряд ~)х~» ! сходится. Поэтому в силу » ! замечания 2 к теореме сравнения 1.3 сходится и ряд (1.!20). Докажем теперь утверждение 2). Пусть 5, — и-я частичная сумма ряда (1.117), а 5 — его обычная сумма.
С помощью преобразования Абеля зо1 легко убедиться в том, что для любого х из интервала 0<х<1 справедливо тождество ,У и»х» ' =(1 — х) ~5»х» '. »=! »-! (1.122) Вычтем тождество (1.122) из следующего очевидного тождества: 5= — (1 — х) У5. !. »=1 При этом, обозначая через г» й-й остаток ряда (1 117), будем иметь са 0 5 — Яп»х»-! =(1 — х) ~'" г х»-', или Ф 5 — 5(х) =(1 — х) Хг„х" — !, »=! (1.123) Наша цель — доказать, что для любого в>0 найдется 6)0 такое, что левая часть (1.123) меньше в для всех х, удовлетворяющих неравенствам 1 — 6<х<1.
Так как остаток г» ряда (1.117) стремится к нулю при й- оо, то для положительного числа е/2 найдется номер йо такой, что ~г»~ <е/2 прн й=»йа. Таким образом, ~(1 — х) ~~~~ г»х» !~ — ~(1 — х) ~ х» !~ < — . »=Ц .=»» аа! Преобразование Абеля (!.77) установлено нами в й 4. В рассматривае мом случае следует налонсить в (1,77) л=О, ба=О и затем устремить р к бесконечности. 59 $8.
Элементарная теория двойных и новторных рядов Остается доказать, что для х, достаточно близких к единице, (1 — х) ~ гада-'~( —, Ъ а=- г но это очевидно, так как сумма, стоящая в последнем неравенстве, ограничена. Регулярность метода Пуассона — Абеля доказана. В качестве примера снова рассмотрим расходящийся ряд (1.124) Для этого ряда составим степенной ряд вида (1.120) ( 1)з-1 ха — 1 1 х+ха хз Р а=! Очевидно, что последний ряд сходится для всех х из интервала 0(х(! и имеет сумму, равную 5(х) =1/(1+х). Так как )пп 3(х) = 1пп 1 ! з 1 — о з 1 — о 1; х 2 то ряд (1.124) суммируем методом Пуассона — Абеля и его сумма в смысле Пуассона — Абеля равна 1/2.
Обратим внимание на то, что сумма ряда (1.124) в смысле Пуассона — Абеля совпадает с его суммой в смысле Чезаро. Этот факт не является случайным: можно доказать, что если ряд суммируем методом Чезаро, то он суммируем и методом Пуассона — Абеля, причем сумма этого ряда в смысле Чезаро совпадает с его суммой в смысле Пуассона — Абеля.
Более того, существуют ряды, суммируемые методом Пуассона — Абеля, но не суммируемые методом Чезаро зо. Детальное изучение всевозможных' методов обобщенного суммирования расходящихся рядов проводится в монографии Г. Харди «Расходящиеся ряды» (Мд ИЛ, 1951). $8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ДВОИНЫХ И ПОВТОРНЫХ РЯДОВ Рассмотрим счетное множество бесконечных числовых последовательностей пы, пнь п1з ., анн "' Таким образом, можно сказать, что метод Пуассона — Абеля является более «сильным» методом суммирования, чем метод Чезаре. Гл. 1. Числовые ряды азь азз, азз,, а„, ...; азь азь азз,, аз (1.125) аьаз,аз".,а„...; О 2 ам (й=1, 2,,). ! ! (1.126» Просуммировав эту последовательность, получим формальную сумму Ф (1.127) Зту сумму принято называть повторным рядом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
