ilin2 (947409), страница 11
Текст из файла (страница 11)
й к понятия сходимости в точке и РАВнОмеРнОЙ сходнмостн нА множестВе ~ ил(х) =и,(х)+ия(х) +... +и„(х)+ .. я 1 (2.1) 'г В случае лг-мерного евклидова пространства Е элементами множества (х) являются точки х (хя ха, ., х ) с координатами хо хм ..., х . 1. Понятия функциональной последовательности и функцио.Нального ряда. Предположим, что на числовой прямой Е' нли и пт-мерном евклидовом пространстве Ем задано некоторое множество (х)о. Если каждому числу и из натурального ряда чисел 1, 2, ... ..., и, ... ставится в соответствие по определенному закону некоторая функция 1 (х), определенная на множестве (х), то множество занумерованных функций 1г(х), 1я(х), ..., )„(х), ... мы и будем называть функциональной последовательностью, Отдельные функции 1„(х) будем называть члена м и или э л ем е н т а м и рассматриваемой последовательности, а множество (х), на котором определены все функции ) (х), будем называть областью определения этой последовательности.
Заметим, что если область определения (х) является множеством в т-мерном евклндовом пространстве Е, то кансдая функция 1,(х) ЯвлЯетсЯ фУнкЦией т пеРеменных 1',(х) =1л(хг хм ... х ), где хг, хм ..., х — координаты точек х. Для обозначения функциональной последовательности мы, как правило, будем использовать фигурные скобки: (1„(х)).
Рассмотрим функциональную последовательность (и„(х)), об.ластью определения которой является некоторое множество (х). Формально написанную сумму Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды л лх ! ! соз — прн О ~~ х Г„(х) = О при — ( х < 1. л На рис. 2,1 приведены графики функций 1,(х), )в(х) и 1.(х).
Областью определения функциональной последовательности (2.3а (2.3)~ Рис. 23 является сегмент [О, 11. Заметим, что каждая функция 1„(х) не- прерывна на сегменте [О, 1). бесконечного числа членов указанной функциональной последовательности будем называть функциональным рядом. При этом отдельные функции ил(х) мы будем называть член а м н рассматриваемого ряда, а множество (х), на котором определены эти функции, будем называть о б л а с т ь ю о п р еде л енияя этого ряда.
Как и в случае числового ряда, сумму первых п членов функционального ряда (2.1) будем называть л-й частичной суммойй этого ряда. Отметим, что изучение функциональных рядов совершенно эквивалентно изучению функциональных последовательностей, ибо каждому функциональному ряду (2.1) однозначно соответствует фуькциональная последовательность 5,(х), 5в(х), ..., 5„(х), ... (2.2) его частичных сумм и, наоборот, каждой функциональной последовательности (2.2) однозначно соответствует функциональный ряд (2.1) с членами и,(х) =5,(х), и,(х) =5л(х) — 5„,(х) при. п)2.
П р и м е р ы. !'. Рассмотрим последовательность функций (1,(х)), каждая из которых определена на сегменте О(х(1 и имеет вид й 1, Понятия сходнмостн в точке н равномерной сходнмостн на множестве 69 2'. Рассмотрим функциональный ряд 1 + ~Ь ' ( + У) = 1 + + " + (х ") + + (х + У) + (2 4) М 1! 21 в! е-! областью определения которого является плоскость Е'=( †( (х(оо, — оо(у(оо).
Используя разложение по формуле Маклорена функции и и' аа сч = 1 + — + — + ... + — + 1са е ! (и) 11 2! н! (см. п. 2 $ 9 гл. 6 ч. 1), мы придем к выводу, что (и+1)-я частичная сумма х-1- у (х+ у)е (х+ у)" Ял+1(х, у) — 1+ + +... + —— 1! 2! и! ряда (2.4) отличается от функции е"+в на величину Й е!(х+у), где )(в+!(и) — остаточный член в формуле Маклорена для е'. 2.
Сходимость функциональной последовательности (функционального ряда) в точке и на множестве. Предположим, что областью определения функциональной последовательности (функционального ряда) является множество (х) пространства Е':. Фиксируем произвольную точку х,=(хь хя, ..., х ) множества (х) и рассмотрим все члены функциональной последовательности (функционального ряда) в этой точке х,. Прн этом получим числовую последовательность (числовой ряд).
Если указанная числовая последовательность (числовой ряд) сходится, то говорят, что функциональная последовательность (функциональный ряд) сходится в точке х,. Множество всех точек х,, в которых сходится данная функциональная последовательность (функциональный ряд), называется областью сходимостн этой последовательности (ряда). В конкретных ситуациях область сходимости может совпадать с областью определения, являться подмножеством области определения или вообще быть пустым множеством.
Соответствующие примеры приведены ниже. Предположим, что функциональная последовательность (1„(х)) имеет в качестве области сходимости некоторое множество (х), Совокупность пределов, взятых для всех точек х множества (х), порождает множество всех значений вполне определенной функции 1(х), определенной на множестве (х). Эту функцию называют п р е дел ь н о й ф у н к ц и ей функциональной последовательности (1 (х)).
Аналогично, если функциональный ряд (2.1) имеет в качестве области сходимости некоторое множество (х), то иа этом множест- Гл. 2, Функциональные псследсаатсльиссти н ряды 70 ве определена функция Б(х), являющаяся предельной функцией последовательности частичных сумм этого ряда и называемая его с у и гн о й. Последовательность (2.3) из рассмотренного в предыдущем пункте примера 1' имеет в качестве области сходимости весь сегмент 0(х(1.
В самом деле, 1,(0) =1 для всех номеров и, т. е. в точке х=О, последовательность (2.3) сходится к единице. Если же фиксировать любое х из полусегмента 0<х(1, то все функции 1„(х), начиная с некоторого номера (зависящего, конечно, от х), будут в этой точке х равны нулю. Отсюда следует, что в любой точке х полусегмента 0(х(! последовательность (2.3) сходится к нулю. Итак, последовательность (2.3) сходится на всем сегменте 0(х~1 к предельной функции 1(х), имеющей вид (1 при х=О, ( О при О ( х ч,.
!. График этой функции изображен на рис. 2.2. Сразу же отметим, что эта функция не является непрерывной на сегменте (О, 1] (она имеет разрыв в точке х=О справа). Убедимся теперь в том, что ряд Ух) (2.4) из рассмотренного в предыду- щем пункте примера 2' имеет в каг честве области сходимости всю бесконечную плоскость Е'=( — со<х( (со, — сс(у(сс), В самом деле, в п. 2 9 9 гл. 6 ч. 1 доказано, что остаточный член )тл+~(и) в формуле Маклорена для функции еи стремится к нулю при п — исс для любого вещественного и. е Это и означает, что (и+1)-я частичная сумма Б„+1(х, у) ряда (2.4) отличается от е"+и на величину )та+1 (х+у), стремящуюся к нулю прн п-исо в каждой точке (х, у) плоскости Е'. Итак, ряд (2А) сходится на всей плоскости Е', и его сумма равна ел+и 3. Равномерная сходимость на множестве.
Предположим, что функциональная последовательность 1,(х), гя(х)... „ (л(х),, (2.5) сходится на множестве (х) пространства Е™ к предельной функции 1(х). О переделение 1. Будем говорить, нто последовательность (2.5) сходится к функции 1(х) равном е р но на ми агнес т в е Е 1 Понятия сяоиимости в точис и рввиомериой сходимости ив множестве 71 (х), если для любого е>0 найдется номер У(е) такой, что для всех номеров и, удовлетворяющих условию п)й/(е), и для всех точек х множества (х) справедливо неравенство ]/. (х)-1(х) ] <е.
(2.6) Замечание 1. В этом определении весьма существенно то, что номер Лг зависит только от е и не зависит от точек х, т. е. утверждается, что для любого е>0 найдется универсальный номер /тг(е), начиная с которого неравенство (2.6) справедливо с р а з у дл я всех точек х множества (х). Заме чан ие 2. Отметим, что равномерная на множестве (х) сходимость функциональной последовательности (/„(х)) к функции /(х) эквивалентна бесконечной малости числовой последовательности (е,), каждый член е, которой представляет собой точную верхнюю грань функции ]/„(х) — /(х) ] на множестве (х), 3 а м е ч а н и е 3. Из определения 1 непосредственно вытекает, что если последовательность (/ч(х)) равномерно сходится к /(х) на всем многкестве (х), то (/„(х)) равномерно сходится к /(х) и на любом подмножестве множества (х).
Приведем пример, показывающий, что из сходимости функциональной последовательности (/„(х)) на множестве (х) не вытекает, вообще говоря, равномерная сходимость (/ч(х)) на этом множестве. Обратимся к последовательности (2.3) из примера 1', рассмотренного в п. 1. В п. 2 было доказано, что эта последовательность сходится на всем сегменте [О, 1] к предельной функции 1 при х=О, 0 при Ок,, х<1.
Докажем, что эта последовательность не сходится равномерно на (О, 1]. Рассмотрим последовательность точек х =1/(2п) (п=1, 2, ...), принадлежащих сегменту (О, 1). В каждой из этих точек (т. е. для каждого номера и) справедливы соотношения /„(х„) = соз — = —, /(х„) = О.
и Г2 Таким образом, для любого номера и ]/,(хч) — /(х,) ] =)12/2; следовательно, при е()12/2 неравенство (2.6) не может выполняться сразу для всех точек х сегмента (О, 1] ни при одном номере и. Это и означает отсутствие равномерной на сегменте (О, 1] сходимости рассматриваемой последовательности. Гл. 2. Функциональные последовательности я ряды Отметим, что рассматриваемая последовательность (2.3) сходится к предельной функции 7(х) равномерно на кажоом сегменте [6, 1[, где 6 — любое фиксированное число из интервала 0<6<1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
