ilin2 (947409), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В самом деле, для любого выбранного 6 найдется номер до, начиная с которого все элементы )„(х) равны нулю на всем сегменте [6, 1). Так как и предельная функция 1(х) равна нулю на сегменте [6, 1), то левая часть (2.6) равна нулю на всем сегменте [6, 1], начиная с найденного номера Лто. Таким образом, начиная с номера Уо, неравенство (2.6) справедливо для всех х из сегмента [6, 1) при любом е>0. Определение 2, функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве (х) к сумме 5(х), если последовательность (5„(х)) его частичных сумм сходится равномерно на множестве (х) к предельной функции 5(х). Заметим, что функциональный ряд (2.4) из примера 2' п.
1 сходится к сумме е +к равномерно в круге х'+ут(гя произвольного фиксированного радиуса г. В самом деле, всюду в этом круге [х[(г, )у)<г, и потому [к+у[<)х)+ )у)<2г, откуда в силу опенки (6.62*) из п. 2 э 9 гл. 6 ч. 1 получаем, что всюду в указанном круге [)с„+1(х+у)~ <, е". Из последнего неравенства вытекает, что Рл+1 (х+у) стремится к нулю при и — «оо равномерно в круге х'+уз(ге, а это и означает, что ряд (2.4) сходится равномерно в этом круге к сумме е"+к.
4. Критерий Коши равномерной сходимости последовательности (ояда). Справедливы следу|ощие фундаментальные теоремы. Теорема 2.1. Для того чтобы функциональная последовательность ([„(х)) равномерно на множестве (х) сходилась к некоторой предельной функции, необходимо и достаточно, чтобы для произвольного е>0 нашелся номер У(е), гарантирующий справедливость неравенства (2.7) [)л+„(х) — )л(х) [ <е для всех номеров и, идовлетворяющих условию п>Л'(е), всех натуральных р (р=1, 2, ...) и всех точек х из множества (х).
Теорем а 2.2. Для того чтобы функциональнтяй ряд (2 з8) и, (х) А-! равномерно на множестве (х) сходился к некоторой сумме, необходимо и достаточно, чтобы для произвольного е>0 нашелся номер йт(е), гарантирующий справедливость неравенства й П Понятия сходимости в точке н равномерной сходимости на множестве 73 ли р ), иа(х)~ ( е а «-л (2.9) для всех номеров л, удовлетворяющих условию л)М(е), всех натуральных р (р=1, 2, ...) и всех точек х множества (х), Достаточно провести доказательство только теоремы 2.1, так как теорема 2.2 является следствием теоремы 2.1 (заметим, что в левой части (2.9) под знаком модуля стоит разность 5«ер(х)— — 5.(х) частичных сумм с номерами л+р и п функционального ряда (2.8)).
Доказательство теоремы 2.1. Необходимость. Предположим, что последовательность (1«(х)) сходится равномерно на множестве (х) к предельной функции 1(х). Тогда, фикспровав произвольное е>0, мы найдем для него номер й1(е) такой, что неравенство [7„(х) — 7(х) [ (— (2. 10) (Г Ь (х) — 7(х)( ( —. (2.1 1) Так как модуль суммы двух величин не превосходит суммы их модулей, то в силу (2.10) н (2.11) получим, что 1 ~« ~ и (х) — 7 „(х) 3 = — / [7,+р (х) — 7 (х)) + [1 (х) — тл (х)) $; .< Ц+р(х) — [(х)[ + [[(х) — )л(х)[ ( е (для всех номеров л, удовлетворяющих условию п)Л(е), всех натуральных р и всех х из множества (х)).
Необходимость доказана. Достаточность. Предположим, что для произвольного е>0 существует номер 7тт(е) такой, что неравенство (2.7) справедливо для всех номеров и, удовлетворяющих условию п)7т (е), всех натуральных р и всех точек х множества (х). Из неравенства (2.7) и из критерия Коши сходимостн числовой последовательности (см. п. 3 й 3 гл. 3 ч. 1) вытекает сходимость последовательности (7„(х)) в каждой точке х множества (х) н существование определенной в каждой точке х множества (х) предельной функции 1(х). будет справедливо для всех номеров л, удовлетворяющих условию п У(е), и для всех точек х множества (х).
Если р — любое натуральное число, то при п)й(е) номер л+р тем более будет удовлетворять условию л+р)У(е), а поэтому для всех номеров л, удовлетворяющих условию п)А'(е), всех натуральных р и всех точек х множества (х) тем более будет справедливо неравенство Гл, 2 Функциональные последовательности и ряды Фиксировав произвольный номер и, удовлетворяющий условию п)А!(е), и произвольную точку х множества (х), перейдем в неравенстве (2,7) к пределу при р- оо.
Используя теорему 3.13 п. 4 5 1 гл. 3 ч. 1, мы получим, что для произвольного номера и, удовлетворяющего условию п)А!(е), и произвольной точки х множества (х) справедливо неравенство ~((х) — )„(х) ~(е<2е. Это и доказывает, что последовательность ()»(х)) сходится к предельной функции )(х) равномерно на множестве (х). Достаточность доказана. Наличие критерия Коши не снимает вопроса об установлении удобных для приложений достаточных признаков равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов, к которому мы сейчас и переходим. 5 2.
ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ РАВНОМЕРНОА СХОДИМОСТИ ФУНКНИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕА И РЯДОВ е У и,(х) » 1 (2.12) определен на множестве (х) пространства Еы и если существует сходящийся числовой ряд ~,' с, (2.13) » ! такой, что для всех точек х множества (х) и для всех номеров й справедливо неравенство ~и»(х)~ (с», (2.14) то функциональный ряд (2,12) сходится равномерно на множестве (х). В п. 1 $1 мы убедились в том, что изучение функциональных рядов эквивалентно изучению функциональных последовательностей. С этой точки зрения каждый признак равномерной сходимости имеет две эквивалентные формулировки: од!!у в терминах функциональных рядов, а другую — в терминах функциональных последовательностей.
В зависимости от удобства мы будем формулировать устанавливаемые признаки либо в терминах последовательностей, либо в терминах рядов (а иногда будем приводить обе эквивалентные формулировки). Т е о р е м а 2.3 (прнзнак Вейерштрасса). Если функциональный ряд $2. Достаточные признаки равномерной сходимооти Доказательство. Фиксируем произвольное г)0. Так как числовой ряд (2.13) сходится, то в силу критерия Коши сходимости числового ряда (см. теорему 1.1 из гл.
1) найдется зт!(г) такое, что л+р с» ( з (2.15) » л+! для всех номеров п, удовлетворяющих условию п)Л'(г), и всех натуральных р. Из неравенств (2.14) и (2.15) и из того, что модуль суммы р слагаемых не превосходит сумму их модулей, получаем и+Р л+р ит.р 'у" и»~< ~' 1и»( < з)," с»(г ». л+1 »=л-! ! » и+! (для всех номеров и, удовлетворяющих условию п Л!(г), всех натуральных р и всех точек х множества (х)), В силу критерия Коши равномерной сходимости (см, теорему 2,2) ряд (2.12) сходится равномерно на множестве (х).
Теорема доказана. 3 а и е ч а н и е 1. Признак Вейерштрасса кратко может быть сформулирован так: функциональный ряд сходится равномерно на данном множестве, если его можно мажорировать на этом множестве сходящимся числовым рядом. 3 а и е ч а н и е 2. Признак Вейерштрасса является достаточным, но не необходимым признаком равномерной сходимости функционального ряда. В самом деле, функциональный ряд л Х ( — 1)» 'х» » »-! сходится равномерно на сегменте 0(х(1 к сумме 1п(1+х), поскольку (см. и.
2 2 9 гл. б ч. 1) разность между 1п(1+х) и и-й частичной суммой этого ряда, равная остаточному члену 1тл !(х) в формуле Маклорена для функции 1п(1+х), для всех х из сегмента 0(х(1 удовлетворяет неравенству ()т„+! (х) ) (1((п+ 1). Однако для данного функционального ряда не существует на сегменте 0(х(1 мажорирующего его сходящегося числового ряда, так как для каждого номера й гнр .1 ( 1)А-! „» РШО.!1 1 а числовой ряд ~з — расходится. »-! л Гл. 2. Функциональные последоаательности и ряды Применим признак Вейерштрасса для установления равномерной сходимости функционального ряда Мп(йал+ Ад + т) У йа Е=1 Можно утверждать, что этот ряд сходится равномерно во всем трехмерном евклидовом пространстве Е', так как для любой точки (х, у, г) этого пространства он может быть мажорирован схо- О че 1 дящимся числовым рядом йа е ! Т е о р е м а 2.4 (призиак Дини е)).
Если последовательность (1н(х)) не убывает (или не возрастает) в каждой точке х замкнутого ограниченного множества (х) пространства Е'" и сходится на этом множестве к предельной функции 1(х) и если все члены последовательности 1„(х) и предельная функция ! (х) являются непрерывными на множестве (х), то сходимость последовательности (1„(х)) является равномерной на множестве (х). До к а з а тел ь ство. Не ограничивая об!цности, предположим, что последовательность (1',(х)) не убывает иа замкнутом ограниченном множестве (х) (случай невозрастающей последовательности сводится к этому случаю умножением всех элементов последовательности на число — 1). Положим г„(х) =1(х) — 1„(х). Последовательность (г„(х)) обладает следующими свойствами: 1) все г„(х) неотрицательиы и непрерывны на множестве (х); 2) (г„(х)) не возрастает на множестве (х); 3) в каждой точке х множества (х) существует предел 1пп г„(х) =О. Достаточно доказать, что последовательность (г„(х)) сходится к тождественному нулю равномерно на множестве (х), т.
е. что для любого е>0 найдется хотя бы од и н но м е р и такой, что г„(х) <г для всех х из множества (х). (Тогда в силу невозрастания последовательности (г„(х)) неравенство г„(х) <е будет справедливо и для всех последующих номероь.) Допустим, что для некоторого г>0 не найдется ни одного номера и такого, что г„(х) <е сразу для всех х из множества (х). Тогда для любого номера и найдется хотя бы одна точка х„множества (х) такая, что г„(х„) >е. (2.16) В силу ограниченности множества (х) и теоремы Больцано— Вейерштрасса (см.
теорему 12.1 ч. 1) из последовательности то- '1 Улисс Дини — итальянский математик 11846 — !918). $2. достаточные признаки равномерной сконимости чек (х„) можно выделить подпоследовательность точек (х„„), сходящуюся к некоторой точке хс, принадлежащей в силу заикнутости множества (х) этому множеству. Так как каждая функция г (х) (с любым номером т) является непрерывной в точке хо, то для любого номера гп (2.
17) 1нп г (х„) =г„(х,). а с С другой стороны, выбрав для каждого номера т превосходя,щий его номер пд, получим (в силу невозрастания последователь- НОСТИ Гы (Х) ) Г р (Хна) ~ Гн~ (Хна) Сопоставление последнего неравенства с неравенством (2.16), справедливым для любого номера п, дает оценку (2.18) гм(хп,) 1~ ь (для любого номера пзо превосходящего фиксированный нами произвольный номер гп). Из (2.17) и (2.18) вытекает, что г (хр)~е (для любого номера т), а это противоречит сходимости последовательности (г (х)) в точке х, к нулю. Полученное противоречие доказывает теорему.
3 а м е ч а н и е 3. В теореме Дини весьма существенно требование монотонности последовательности (/„(х)) на множестве (х), так как немонотонная на множестве (х) последовательность непрерывных на этом множестве функций может сходиться в каждой точке х множества (х) к непрерывной на этом множестве функции /(х), но не сходиться равномерно на множестве (х). Примером может служить последовательность функций (/„(х)), для которой / (х) равна з(пах при 0«х«п/и н равна нулю прн и/п«х«п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
