ilin2 (947409), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е. его сумма 5(х) имеет производную, являюи1уюся суммой ряда из производных ~'и'(х). 1=1 Замечание 1. Подчеркнем, что в теореме 2,9 предполагается только существование на сегменте [а, Ь] производной у каждого члена последовательности 1„(х). Ни ограниченность, нн тем более непрерывность указанной производной (как это делается в большинстве учебников по математическому анализу) не предполагается.
3 а м е ч а н и е 2. Если все же дополнительно предположить непрерывность производной у каждого члена последовательности на сегменте [а, Ь], то в силу следствия 2 из теоремы 2.7 н предельная функция )з(х) будет иметь производную, непрерывную на сегменте [а, Ь]. 3 а меча ние 3. Для функции гп переменных теорема 2.9 может быть сформулирована в следующем виде: Теорема 2.9*". Если каждая из функций [„(хТ=-[,(хь хь...
...,х ) имеет в замкнутой ограниченной области 6 пространства Е'" частную производную — по переменной ха и если послед)„ дха довательность производных ( — ~сходится равномерно в обладгл дха сти 6, а сама последовательность (1"„(х)) сходится в каждой точке области О, то последовательность ([„(х)) можно дифференцировать по переменной ха в области б почленно. Из теоремы 2.9 легко вытекает следующее утверждение.
Теорема 2.10. Если каждая функция 1„(х) имеет первообразную на сегменте [а, Ь] и если последовательность ([„(х)) сходится равномерно на сегменте [а, Ь) к предельной функции 1(х), то и предельная функция [(х) имеет первообразную на сегменте [а, Ь]. Более того, если хо — любая точка сегмента [а, Ь], то по- Гл. 2. Фуикциоивльиые иоследовательиости и ряды следовательность первообразнь!х Ф„(х) функций 1"„(х), удовлетворяющих условию Ф (хс) =О, сходится равномерно на сегменте [а, Ь] к первообразной Ф(х) предельной функции [(х), удовлетворяющей условию Ф(хс) =О. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Для последовательности первообразных Ф„(х) функций 1„(х), удовлетворяющих требованию Ф,(хо)=0, выполнены все условия теоремы 2.9. Это обеспечивает равномерную на [а, Ь] сходимость последовательности (Ф„(х)) к предельной функции Ф(х), у которой в каждой точке [а, Ь] существует производная, равная предельной функции последовательности (1„(х)). Теорема доказана. 3 а меча ние к теор е м е 2.10, В теореме 2.10 не требуется нн ограниченность, ни тем более интегрнруемость функций 1„(х) на сегменте [а, Ь].
Теоремы, доказанные в данном и в предыдущем параграфах позволяют нам сделать следующий замечательный вывод: У т в е р ж д е н и е. Равномерная сходимость не выводит из класса функций, имеющих предел в данной точке (теорема 2.7), из класса непрерь!еных функций (следствие 2 из теоремы 2.7), из класса интегрируемых функций (теорема 2.8), из класса функций, имеющих первообразную (теорема 2.10) и (в случае равномерной сходимости производных) из класса дифференцируемых функций (теорема 2.9). 3. Сходимость в среднем.
Потребуем, чтобы каждая функция 1„(х) из функциональной последовательности (1„(х)) и функция 7(х) являлись интегрируемыми на сегменте [а, Ь], Тогда (в силу $ 4 гл. 9 ч. 1) и функция [7„(х) — ~(х)]'= ~ (х) — 2~„(х) ((х) + ~в(х) также будет являться интегрируемой на сегменте [а, Ь]. Введем фундаментальное понятие сходимости в среднем. Определение 1. Будем говорить, что функциональная последовательность (1'„(х)) сходится в среди ем на сегменте [а, Ь] к функции 1" (х), если существует равный нулю предел 1нп ~ [~„(х) — ~(х)]Чх= О. (2. 48) а О п р е д ел е н и е 2. Будем говорить, что функциональный ряд ] и (х) ь 1 сходится в с редн ем на сегменте [а, Ь] к сумме 5(х), если последовательность частичных сумм этого ряда сходится в среднем на сегменте [а, Ь] к предельной функции 5(х). $4.
Почленное интегрирование и ночленное дифференцирование 9Ге Замечание. Из определений 1 и 2 непосредственно вытекает, что если функциональная последовательность (функциональный ряд) сходится в среднем к [(х) на сегменте [а, Ь], тсг зта последовательность (этот ряд) сходится в среднем к [(х) н на любом сегменте [с, й], содержащемся в [а, Ь]. Выясним вопрос о связи между сходимостью в среднем и равномерной сходимостью последовательности. Утверждение 1. Если последовательность ([„(х)) сходится к функции 1(х) равномерно на сегменте [а, Ь], то эта последовательность сходится к )"(х) и в среднем на сегменте [а, Ь], Фиксируем произвольное е>0. В силу равномерной на сегменте [а, Ь] сходимости последовательности (1„(х)) к 1(х) для положительного числа 1 найдется номер Лт(е) такой, что 1г 2(Ь вЂ” о) 1).
(х) — г ( И С 1„Г (2.49) )г 2 (б — о) для всех номеров и, удовлетворяющих условию п еЛт(е), и всех точек х сегмента [а, Ь]. Но тогда в силу известной оценки из теории определенного интеграла (см. п. 2 $ 4 гл. 9 ч. 1) б ь ~[)л(х) — ~(х)]айх~ ]тих= — ( е для всех номеров и, удовлетворяющих условию и )Ч(е). Это н означает сходимость последовательности ([„(х)) к Цх) на сегменте [а, Ь! в среднем. Утверждение 2. Сходимость последовательности на некотором сегменте в среднем не влечет за собой не только равномерной на этом сегменте сходимости, но и сходимости хотя бы в одной точке указанного сегмента.
Рассмотрим последовательность принадлежащих [О, 1] сегментов 1ь 1ь...,у„,..., имеющих следующий внд: т [О 11] Гл. 2. Фуикциоиальиые последоеетельиости и ряды Определим п-й член [„(х) функциональной последовательности [1„(х)) следующим соотношением: 1 на сегменте Т„, л 0 в остальных точках [О, 1]. Убедимся в том, что последовательность (1„(х)) сходится к г!редельной функции [(х) — = 0 в среднем на сегменте [О, 1). В самом деле, ! ] [)„(х) — )(х)]одх= ] с(х=длина сегмента 1„, о с„ так что существует предел ! 1нп ] [~„(х) — ~(х)]одх= О. 6 Ф существует и равен ~ 1(х) дх. о Д о к а з а т е л ь от во, Фиксируем произвольное е >О. В силу сходимостн последовательности ([„(х)) к [(х) в среднем на сегменте [а, Ь] найдется номер Л!(г) такой, что для всех и'-е)у'(г) ь [! (.) е(.)]ел.,~ а (2.
50) Убедимся, наконец, в том, что построенная последовательность не сходится ни в однои точке сегмента [О, 1). В самом деле, какую бы точку х, сегмента [О, 1] мы ни фиксировали, среди как угодно больших номеров и найдутся как такие, для которых сегмент !'„содержит точку хо (для этих номеров )„(хо) = =1), так и такие, для которых сегмент !', не содержит точку х, (для таких номеров [„(хо)=0). Таким образом, последовательность (1„(хо)) содержит бесконечно много членов, равных единице, и бесконечно много членов, равных нулю. Такая последовательность является расходящейся. Оказывается, сходимость последовательности в среднем обеспечивает возможность почленного интегрирования этой последовательности: Теорема 2.!1.
Если последовательность (1„(х)) сходится в среднел! к [(х) на сегменте [а, Ь], то эту последовательность можно почленно интегрировать на сегменте [а, Ь], т. е. предел ь 1цп ) у„(х)дх а й о. Равностепенная непрернвиость последовательности функций От Аа Ва Записав очевидное неравенство'> [А[.)В! < — + — для ве- 2 2 личин А=[1„(х) — ~(х)1:; В= получим [~„(х) — ~(х) / < [~„(х) — ~(х))а:+ . (2.51) 2е 2 (Ь вЂ” а) Из (2.51) и известной оценки из теории определенного интеграла следует ь ь [у„(х) — ~(х) [йх < — [ [~,(х) — )'(х)1а йх+ —, 2е ) 2 а а Отсюда и из (2.50) ясно, что при всех п)У(е) ь У.( ) — П Нйх( — ', + — '= .
2 2 а Так как ь ь ь 1 ) ь „(х) с(х — ) 1 (х) дх ~ = ~ ) [)".„(х) — )"- (х)) Дх ~ к, а а е ь < ~ ~У„(х) — )(х) ~йх, а то нз (2.52) получим, что для всех номеров п)У(е) ь ь ~ ) ~„(х) йх — ) ~(х) йх~ к. е. Теорема доказана. $6. РЛВНОСТЕПЕННЛЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ последОВлтельности Функций Предположим, что каждая из функций [„(х) функциональной последовательности (1„(х)) определена на некотором плотном в себе множестве (х) пространства Е'". О предел ение, Последовательность ([„(х)) называется равностепенно непрерывной на множестве (х), если для любого з>0 найдется 5>0 такое, что неравенство о Это неравенство внвивалентно неравенству (1А1+)В1)а» О. 4 Заа. бб Гл.
2. Фуикпиональные последовательности и ряды 98 [[ (х') — [„[хл) [<е (2.53» справедливо для всех номеров и и всех точек х' и хл множества (х), связанных условием р(х', х") <6. Из этого определения очевидно, что если вся последовательность ([„(х)) равностепенно непрерывна на множестве (х), то и любая ее подпоследовательность равностепенно непрерывна на этом множестве. Для простоты будем рассматривать последовательность (1„(х)) функций од н о й переменной х, равностепенно непрерывную на сегменте [а, Ь). По определению для любого в>0 найдется 6>0 такое, что неравенство (2.53) справедливо для всех номеров и и всех точек х' и х" сегмента [а, Ь), связанных условием ]х' — х" ] < <6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
