ilin2 (947409), страница 14
Текст из файла (страница 14)
ПОЧЛЕННЫП ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ о Рассмотрим произвольную точку х пространства Е'" и произвольное множество (х) пространства Е, для которого эта точка Гл, 2 Фуннцнональные послелояательностн н ряды о является предельной. При этом точка х может сама не принадлежать множеству (х). Теор ем а 2.7. Если функциоь!альный ряд Я иь(х) л ! (2.31) сходится равномерно на множестве (х) к сумме 5(х) и у всех о членов этого ряда суи!ествует в точке х предел !ип ил(х) =Ь„, о л л о то и сумма ряда Я(х) имеет в точке х предел, причем О 1ип5(х) =~ [!ипил(х)[=~" Ь„, о о л л А=! л л 1=! (2.32) ь 5 (х) — ~' Ь, л-! т. е.
символ 1ип предела и символ Х суммирования можно пере- ставлять местами (или, как говорят, к пределу можно перехо- дить почленно). Д о к а з а тел ь с тв о. Сначала докажем сходимость числово- го ряда 1)„Ьл. В силу критерия Коши, примененного к функциол ! нальному ряду (2.31), для любого е)0 найдется номер Л!(е) та- кой, что [и„+, (х) + и„+о(х) +... + и,+„(х) [ <е (2.33) для всех номеров и, удовлетворяющих условию п)Л!(е), всех на.
туральных р и всех точек х множества (х), Считая в неравенстве (2.33) фиксированными номера и и р и переходя в этом неравено стве к пределу при х-ь-х (такой предельнь!й переход можно осуществить по любой последовательности точек множества (х), о сходящейся к точке х), получим [Ьн!!+Ьн+о+... +Ьнэр[<~е<2е (для каждого п)Л!(е) и каждого натурального р). В силу кри- терия Коши ряд у" Ьо сходится, л ! Оценим теперь разность 4 3. Почлепныа переход к пределу 88 для всех точек х множества (х) из достаточно малой окрестности о точки х.
Так как 0 5 (х)=2,' и»(х) » 1 для всех точек х множества (х), то для любого номера л справед- ливо тождество Ю л л 0 О 5(х) — ~ ܻ— = Д," и»(х) — ), Ь»~+ ~~' и»(х) — ~, Ь», »-1 »! »=1 »=л+1 » и+! из которого получаем неравенство Ю и л О О ~5(х) — ~ Ь»~<~~ и»(х) — ~ Ь»~+) ~) и»(х)~+~ ~, Ь»~~,(2.34) »-! »=! »=1 » и+1 » л+! справедливое для всех точек х множества (х). Фиксируем произвольное е>0. Так как ряд ~" Ь» сходится, »-1 а ряд у и»(х) сходится равномерно на множестве (х), то для »-1 фиксированного е>0 найдется номер в такой, что для всех точек х множества (х) и Ь»~< —, ! ~~~~ и»(х)(< —, (2.36) »=л+! »=л+1 Так как предел конечной суммы равен сумме пределов слагаемых, то для фиксированного нами е>0 и выбранного номера и можно указать б>0 такое, что л и ) ~~~„и» (х) — ~~~~ ~Ь» ~ < — ' »=1 »-1 (2.36) для всех точек х множества (х), удовлетворяющих условию О< о < р(х, х)<6.
Из (2.34) — (2,36) следует, что для всех таких х ~5(х) — )" Ь»~ < з. »-1 е Это доказывает существование предела 5(х) в точке х, а следовательно, и справедливость равенства (2.32). Теорема дока.зана. 86 Гл 2. Функциональные последовательности и ряды В терминах функциональных последовательностей теорема 2.7 звучит тзк: Т е о р е м а 2.7'. Если функциональная последовательность (1„(х)) сходится равномерно на множестве (х) к предельной функции 1'(х) и все элементы этой последовательности имеют о предел в точке х, то и предельная функция !(х) имеет предел а о точке х, причем !ип 7" (х) =1!пг (1ип 7„(х)) =1!рн (1ип 7„(х)), о О Л Ф л Ф о т.
е. символ !пп предела последовательности и символ ! 11п л-ьФ о. а предела функции можно переставлять местами (или, как говорят, о к пределу при х-+.х мозкно переходить поч лепно). Следствие 1 из теоремы 27. Если в условиях теорео мы 2.7 дополнительно потребовать, чтобьг точка х принадлежа- ла множеству (х) и чтобы все члены иь(х) функционального ряда о (2.31) бьгли непрерывны в точке х, то и сумма 5(х) этого ряда о будет непрерывна в точке х, о В самом деле, в этом случае Ьа=иь(х) и равенство (2.32) при- нимает внд о о 1ип 5(х) =~) иа(х) =Я(х), о л а а-1 о з это и означает Непрерывность суммы 5(х) в точке х, Следствие 2 нз теоремы 2.7. Если все члены функционального ряда (функциональной последовательности) непрерывны на плотном в себе множестве (х)зг и если этот функциональный ряд (эта функциональная пас гедовательность) сходится равномерно на множестве (х), то и сумма укаэанного ряда (предельная функция указанной последовательности) непрерывна на множестве (х).
Для доказательства достаточно применить предыдущее следо ствие к каждой точке х множества (х). м Напомним, что множество (л) называется плотным в себе, если каждая его точка является предельной точкой этого множества. $4. Почленное интегрирование и почлеиное дифференцирование 87 $4. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ 1.
Почленное интегрирование. Докажем следующую основную теорему. Т е о р е м а 2.8. Если функциональная последовательность .(!„(х)) сходится к предельной функции [(х) равномерно на сегменте [а, Ь] и если каждая функция [„(х) интегрируема на сегменте [а, Ь], то и предельная функция !'(х) интегрируема на этом сегменте, причем указанную последовательность можно интегри,ровать на сегменте [а, Ь] по членн о, т. е. предел ь 1!т ]')„(х) г(х о-~м а ь существует и равен ]г [(х) йх.
а Доказательство. Сначала докажем, что предельная функ44ия [(х) интегрируема на сегменте [а, Ь]. Фиксируем произвольное е)0. Достаточно доказать, что для предельной функции [(х) найдется хотя бы одно разбиение сегмента [а, Ь], для верхней суммы 5 и нижней суммы з которого справедливо неравенство 5 — з(е (см. п.
1 $ 3 гл. 9 ч, 1), Для этого достаточно доказать, что для фиксированного нами произвольного е)0 найдется такой номер и, что для любого разбиения сегмента [а, Ь] верхняя сумма 5 и нижняя сумма з функции [(х) н верхняя сумма 5„и нижняя сумма з„функции ,[„(х) связаны неравенством 5 — з ц,. (5„— з„) -1- — ', (2. 37) (В самом деле, если для любого разбиения будет доказана справедливость для некоторого номера и неравенства (2.37), то в силу интегрируемости на [а, Ь] функции [„(х) разбиение можно выбрать так, что будет справедливо неравенство 5 — з ц.
—, в л л нз которого в силу (2.37) следует 5 — з(е, что и завершает доказательство интегрируемости на [а, Ь] функции )(х).) Рассмотрим произвольное разбиение (ха] (В=1, 2,...,гп) сегмента [а, Ь] и обозначим символом юл([„) колебание4] на й-м частичном сегменте [хл ы хл] функции 7„(х), а символом юл([) колебание на том же частичном сегменте предельной функции [(х). м Напомним, что колебанием функции на любом сегменте называется разность между точной верхней и точной нижней гранями этой функции ма укаэанном сегменте. Гл, 2, Функциональные последовательности и рады 88 Неравенство (2.37) будет доказано, если мы установим, что для достаточно большого номера п справедливо неравенство (2.38) (В самом деле, умножая (2.38) на длину Лха=хе — ха, частичного сегмента [хл н хь] и суммируя получающееся при этом неравенство по всем й=1, 2,..., и, получим неравенство (2.37).) Установим для любого частичного сегмента [ха и хе[ и дли любого достаточно большого номера и справедливость неравенства (2.38).
Для любого номера и и любых двух точек х' и х" сегмента [ха ь хь[ справедливо тождество 1(х') — 7'(х") = [7 (х') — 7л (х')[+ [)„(х') — 7"„(х")[+ [7„(х") — 7'(хт)[, из которого вытекает неравенство [7(х') — 7(х")( < [7(х') — 7„(х')~ + [)„(х') — (л(х")! + )7„(хл) — 7(х")1. (2.39) В силу равномерной на сегменте [а, 8[ сходимости последовательности (1„(х)) к функции )(х) для фиксированного нами произвольного е>0 найдется номер и такой, что для всех точек х сегмента [а, Ь) У. (х) — ЙхП ( 4 (Ь вЂ” а) Используя в правой части (2.39) неравенство (2.40), нзятое для точки х=х' и для точки х=х", получим из (2.39) (2.
40) )~(х') — )(х")[ ~ [/о(х„') — 7'„(х")[+ (2 41) 1((х') — 7(х")[ <о>л(7„)+ 2 (о — а) (2.42) Заметим, что неравенство (2.42) справедливо при любом расположении точек х' и х" на частичном сегменте [хь ь ха[. Обозначая точную верхнюю и точную нижнюю грани функции 1(х) на указанном частичном сегменте соответственно через й4ь и тд, в силу определения точных граней найдем две последова- (для выбранного нами достаточно большого номера п и для любых двух точек х' и х" сегмента [хь н ха[).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
