ilin2 (947409), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Эта последовательность сходится к /(х) =0 в каждой точке сегмента 0 -х(п, но не сходится на этом сегменте равномерно, так как 1/"„(х,) — /(х„) ~ =1 при х„=п/2п для дсех номеров и. Приведем эквивалентную формулировку теоремы Дини в терминах функциональных рядов. Т е о р е м а 2.4 *, Если все члены функционального ряда непрерывны и неотрицательны (или неположительны) на замкнутом ограниченном множестве (х) и если в каждой точке множества (х) этот ряд сходится и сумма его является непрерывной на множестве (х) функцией, то его сходимость является равномерной ма множестве (х).
Гл. 2. Функциональные последовательности н ряды тз В качестве примера применения признака Дини изучим вопрос о характере сходнмости последовательности (( '+уз) н) ]Ц„(х) ~(М. О п р е д е л е н и е 2. Функциональная последовательность (о„(х)) называется последовательностью, о б л а да ю щ е й н и множестве (х) равномерно ограниченным изменением, если функциональный ряд ~ ]ел+~ (х) — о,(х)] л-~ (2. 19г сходится равномерно на множестве (х). Отметим сразу же, что всякая последовательность, обладающая на множестве (х) равномерно ограниченным изменением, сходится равномерно на множестве (х) к некоторой предельной функции.
В самом деле, из равномерной на множестве (х) сходи- мости ряда (2.19) и из критерия Коши вытекает равномерная нв множестве сходимость ряда ~ ' (ел+1 (х) — о„(х)], л-1 (2.19') и-я частичная сумма 5„(х) которого имеет вид Я„(х) =о„+,(х)— — о, (х). Из последнего равенства вытекает равномерная сходимость последовательности (о„(х)) к предельной функции о(х), равной Б(х)+о,(х), где Я(х) — сумма ряда (2.19'). Теперь мы можем сформулировать и доказать следующие два признака. в круге хе+у'(1/4 радиуса 1/2 с центром в точке (О, О). Сходимость является равномерной в этом круге, так как рассматриваемая последовательность сходится в каждой точке этого круга к предельной функции /(х, у) =О, не возрастает в каждой точке круга и состоит из функций, непрерывных в нем.
Чтобы сформулировать еще два признака равномерной сходи- мости функциональных рядов, введем некоторые новые понятия. Определение 1. Последовательность (/,(х)) называется равномерно ограниченной на множестве (х), если существует такое вещественное число М)0, что для всех номерогэ и и всех точек х множества (х) справедливо неравенство $2. Достать !иые ириаиаки равномерной сходииости Т е о р е м а 2.5 (первый признак Абеля). Если функциональлчый ряд (2.1) ')," ил(х) л=! обладает равномерно ограниченной на множестве (х) последовательностью частичных сумм, а функциональная последователь,ность (о„(х)) обладает равномерно ограниченным на множестве (х) изменением и имеет предельную функцию, тождественно рав,чую нулю, то функциональный ряд ~ [ил(х) ол (х)[ л=! (2.20) (ол(х)! (— ЗМ (2.21) «+р — ! [оа+!(х) — оа(х)! ч.— ЗМ (2.22) а л+1 а(Здесь мы воспользовались равномерной на множестве (х) схо.днмостью последовательности (о„(х)) к нулю и равномерной на множестве (х) сходнмостью ряда (2.19).) В силу тождества Абеля (1.77) и в силу того, что модуль суммы трех величин не превосходит сумму их модулей, имеем л+р л+р [и, (х) о, (х)[ ~ < ~ )~ 5, (х) [о, (х) — оам! (х)[ ~ + «=л+! а=л+! + )5«+р(х)! 1Ол+р(х)! + ~5« (х)~.
~о«+!(х)~. :Учитывая, что для всех номеров и и всех х из (х) справедливо .неравенство ~5„(х)~а М, получим л+р л+р — ! [и (х)оа(х)[~ ~(М ),' 1оа+!(х) — оа(х)~ + Ь л+1 «=л+! +М ~олер(х)~ +М ~ол+!(х)! сходится равномерно на множестве (х). До к аз а тельство. По условию существует число М)0 такое, что последовательность 5 (х) частичных сумм ряда (2.1) для всех номеров и и всех точек х из множества (х) удовлетворяет неравенству ~5«(х) ~~М. Фиксируем произвольное е)0 и по нему номер М такой, что .для всех а, превосходящих А!, всех натуральных р и всех точек х множества (х) справедливы неравенства 80 Гл.
2. Функциональные последовательности н ряды Сопоставление последнего неравенства с '(2.21) н (2.22), позволяет записать неравенство л+р (и» (х) о» (х)) ~ ° г, »=л+! справедливое для всех номеров и, превосходящих Л», всех натуральных р и всех точек х множества (х), а это и означает, что ряд (2.20) сходится равномерно на множестве (х) (в силу теоремы 2.2).
Теорема доказана. Т е о р е м а 2.6 (второй признак Абеля). Если функциональный ряд (2.1) сходится равномерно на множестве (х) к сумме 5(х), ограниченной на этом множестве, а функциональная последовательность (сл(х)) обладает равномерно ограниченным на множестве (х) изменением и имеет ограниченную на этом множестве предельную функцию о(х), то функциональный ряд (2.20) сходится равномерно на множестве (х). Доказательство. Будем исходить из тождества Абели (1.77).
Это тождество можно переписать в виде л+р а+р — 1 и„(х) о„(х) = у 5„(х) (о» (х) — о»+! (х)) + » л+1 »=л+1 + (5л.~.р (х) — 5л (х)] о„+р (х) + 5л (х) (вл.!р (х) — он+! (х)). (Здесь символом 5»(х) обозначена я-я частичная сумма ряда (2.1).) Из последнего тождества вытекает неравенство о+р л.1-р — 1 и,(х)о,(х)~ < Я 15»(х)( 1о»+1(х) — о»(х)(+ »=л+! » л+! + ~ 5л+1 (х) — 5л (х) ( ~ Ол+р (х) ~ + ~ 5л (х) ~ ° ) ол+р (х) — Ол+ ! (Х) ) .
(2. 2 3) Так как по условию сумма 5(х) ряда (2.1) и предельная функция о(х) последовательности (в„(х)) ограничены на множестве (х), то найдутся постоянные М! и М» такие, что для всех х из множества (х) 15(х) ~<М1, !о(х) ~<Ма 12. 24) Из неравенств (2.24) н из равномерной на множестве (х) сходимости последовательностей (5„(х)) и (о„(х)) к предельным функциям 5 (х) и в (х) соответственно вытекает существование такого номера Л'1, что для всех точек х множества (х) и всех номеров и, удовлетворяющих условию п)Л!1, будут справедливы нсравенства )5„(х) )(М!+1, ~о„(х) ~(М»+1. '(2.25), 5 2. Лестаточные признана равномерной сходнмостн Далее, из равномерной на множестве (х) сходимости функциональных рядов (2.1) и (2.19) и из критерия Коши равномерной сходимости вытекает, что для произвольного е)0 найдутся: номера Мз(е) и Мз(е) такие, что неравенство )Я„.~ (х) — Я„(х)) с.
3(М,+ 1) будет справедливо для точек х множества (х), всех натуральных р и всех номеров п, удонлетворяющнх условию п)Уз(з), а нера- венство (2.26) «+р-! (озч!(х) — оз(х)( ( Х 3(Мт+!) з «+! (2.27) «+р — 1 о„.с (х) — о„ (х) = ~ (оьь!(х) †(х)), 3 «+! из вытекающего из него неравенства «-1-р — ! (о„~.р(х) — о„(х)( «. т (оз !(х) — о„(х)( з=«+! и из неравенства (2.27) получаем ,!з (о«.зр(х) — о„(х) ) ( 3(М + 1) (2.28): для всех точек х множества (х), всех натуральных р и всех номеров п, удовлетворяющих условию п)Мз(е).
Обозначим через У(е) наибольший из трех номеров У!, Мз(е), и Л!з(з). Тогда при и вМ(з) для всех точек х множества (х) и всех натуральных р будет справедливо каждое из четырех неравенств (2,25) — (2.28). Из этих неравенств и из (2.23) вытекает, что «+р иа (х) оз (х) (( с з=«н! прн всех и Л!(з), всех натуральнь:х р и для всех точек х множества (х).
В силу критерия Коши ряд (2.20) сходится равномерно на множестве (х). Теорема доказана. — для всех точек х множества (х), всех натуральных р и всех номеров п, удовлетворяющих условию п~)Мз (а). Наконец, из тождества Гл, 2. Функциональные последовательности и рвлы Следствие из те о р е м ы 2.5 (прнзнак Дирихле — Абеля). Если функциональный ряд (2.1) обладает равномерно ограниченной на множестве (х) последовательностью частичных сумм, и функциональная последовательность (о„(х)) не возрастает в каждой точке множества (х) и равномерно на этом множестве сходится к нулю, то функциональный ряд (2.20) сходится равномерно на множестве (х).
Достаточно заметить, что невозрастающая в каждой точке множества (х) и сходящаяся равномерно на этом множестве к нулю последовательность (о„(х)) заведомо обладает на множестве (х) равномерно ограниченным изменением, так как для нее .и-я частичная сумма о„(х) ряда (2.19) равна о!(х) — о„+!(х). .Поэтому существует равномерный на множестве (х) предел 1пп 5„ (х) = 1пп 1о,(х) — о,+!(х)1 = о,(х). В качестве примера изучим вопрос о равномерной сходимости (нида Х в!и лх х+ !1+ )х!)а л-! (2.29) Так как последовательность о„(х) = 1 л+!1+ )х!)а не возрастает в каждой точке бесконечной прямой — еь<х(ьо и равномерно на этой прямой сходится к нулю, то в силу признака Дирихле — Абеля ряд (2.29) сходится равномерно на любом мно- жестве, на котором ряд яп ях а 1 (2.30) 2 яп — япйх=-соз ~й — — ) х — сои (!и + — ) х х l 1 2 ! 2 ) 2) по всем номерам й от 1 до и.
При этом получим соотношение х х / 1 2 яп — 3„(х) = сон — — соз !1п + — ) х, 2 2 1 2 ) обладает равномерно ограниченной последовательностью частичных сумм. Для вычисления и-й частичной суммы Я„(х) ряда (2.30) просуммируем тождество $3. Почленный переход н пределу из которого вытекает равенство х / 1 е05 — соей (и+ ) х 5„(х)— 2 е1п 2 Следовательно, для всех номеров и справедливо неравенство (5„(х)! ~~ ~ ерл которое означает, что последовательность частичных сумм ряда (2.30) равномерно ограничена на любом фиксированном сегменте, не содержащем точек х =-2пт, где т=О, ~1,... (так как на любом таком сегменте ~гбп — ~ имеет положительную точ- 2 ную нижнюю грань).
Итак, ряд (2.29) сходится равномерно на любом фиксированном сегменте, не содержащем точек х =2пие, я=О, .е1,... В силу второго признака Абеля можно утверждать, что ряд ~ ((й+(!+! !)е1 й+! ! 1 также сходится равномерно на любом сегменте, не содержащем точек х =2пт, ги=О, + 1,..., поскольку ряд (2.29) равномерно сходится на таком сегменте, причем к ограниченной сумме, а пой+1+ (х! следовательность ол — — обладает равномерно ограний+ !х! ченным на любом сегменте изменением (так как ряд !ое+! — ое! = — р' 1 л 4 (й+ !х!)(й+ (х! + 1) ии е=! на всей прямой мажорнруется сходящимся числовым рядом Х вЂ” ) и на всей прямой сходится равномерно к ограниченной 1 йе е-! функции о(х) ==1. й 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
