ilin2 (947409), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Те о р е м а 1.17. Необходимым условием сходимости бесконечного произведения (1.90) является стремление к единице его А-го члена нри й-ьоо. Доказательство. Пусть бесконечное произведение (1.90) сходится и имеет значение Р, отличное от нуля. Тогда 1пп Ра,= =1!шра=рчь0. Поскольку аа=Рь!Рь-!, то 1!шпа существует и а м Й Ф равен единице. Заметим, что на сходимость бесконечного произведения не влияет удаление любого конечного числа членов этого произведения (если среди этих членов нет равных нулю). Поскольку бесконечное произведение, у которого хотя бы один член равен нулю согласно принятому выше определению считается расходящимся, то ич Тот факт, что при Р=О бесконечное произведение принято считать расходягдимся, хотя н носит условны» харахтер, но позволяет провестя -четкую аналогию между сходимостью рядов и беснонечных произведения.
Гл. 1. Числовые ряды 46 мы в дальнейшем вообще исключим из рассмотрения бесконечные произведения, у которых хотя бы один член равен нулю. П р и м е р ы. к х х Г. ! 1СОЗ вЂ” =СОЗ вЂ” СОЗ вЂ”...ССЕ— 2" 2 4 2" а=! (1.9!) х х х Р„=- соз — соз —... соз —. 2 4 2" (1.92) Умножая обе части (1.92) на яп — и последовательно исполь2п зуя формулу для синуса двойного угла з(п 2у=2з(п у соз у, полу- чим х 1 Р„з(п — = — яп х. 2" 2" Из последней формулы 'а! имеем Поскольку выражение в фигурных скобках стремится к единице при л-т.со (в силу первого замечательного предела), то 1пп Р„ Л Ф япх существует и равен — ', Тем самым доказано, что бесконечное к япх произведение (1.91) сходится и имеет значение — при любом х~иа.
2 1 Гт (а — 1)(а+2) 1 4 2 5 ' и'„— ма+И 1 П в(а+П 2 з з 4 (л — 1) (л+2) а ' (а+1) (1.9З) 'а! Мы считаем, что х~о. Если х=о, тв все члены (1,91) и его значение равны единице.' (х — любое фиксированное число). Докажем, что бесконечное произведение (1.91) при любом хе= в!пх чеяп сходится и имеет значение: Подсчитаем а-е частичное произведение 41 $ 6. Бесконечные крокзведеккк Докажем, что бесконечное произведение (1.93) сходится и имеет значение 1/3.
Подсчитаем частичное произведение Р»н 1 к+2 и 3 Таким образом 1пп Р„=1ип существует и равен 1/3. п+2 Зл 2. Связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов. Если бесконечное произведение (1.90) сходится, то в силу теоремы 1.17 все его члены см начиная с некоторого номера, положительны'е!. Поскольку конечное число первых членов вообще не влияет на сходимость бесконечного произведения, то при изучении вопроса о сходнмости бесконечных произведений можно, не ограничивая общности, рассматривать лишь такие бесконечные произведения, у которых все члены положительны.
Теорема 1.18. Для того чтобы бесконечное произведение (1.90) с положительными членами сходилось, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд (1.94) ~1' 1по„. А=! В случае сходимости сумма 5 ряда (1.94) и значение Р произве- дения (1.90) связаны формулой (1.95) Р=ек, Д о к а з а т е л ь с т в о.
Обозначив через Р„п-е частичное произведение бесконечного произведения (1.90), а через 5„ и-ю частичную сумму ряда (!.94), можем записать: 3„=1пР„» Р„=е ", В силу непрерывности показательной функции для всех значений аргумента и непрерывности логарифмической функции для всех положительных значений аргумента последовательность Р„ сходится тогда и только тогда, когда сходится 5„, причем если 1пп Як =Я, то 1пп Р„= ез. ТеоРема доказана.
Л"»» П б При исследовании на сходимость бесконечного произведения оказывается очень удобным представить его в виде "' Тек как Нш ое =! А-» Гл. 1. Числовые ряды П (1+и )=(! +и!)(1+и )... (1+ив) л=! (1. 96) При этом, конечно, в соответствии с принятым выше предположением будем считать, что все ив>-1. Теорема 1.18 утверждает, что вопрос о сходимости произведения (1.96) эквивалентен вопросу о сходимости ряда 'Я 1п(1+ил). А ! (!.97) Теперь мы можем доказать еще одно утверждение. Теорема 1.19.
Если все ие (по крайней мере начиная с некоторого номера) сохраняют один и тот зке знак, то для сходимости бесконечного произведения (1.96) необходимо и достаточно, чтобо! сходился ряд О им л ! (1.98) Доказательство. Поскольку условие 1ппил — — 0 является е в необходимым и для сходимости ряда (1.98), и для сходимости произведения (1.96), можно считать это условие выполненным как при доказательстве необходимости, так и при доказательстве достаточности. Но из указанного условия и из асимптотической формуль, ев! !п(!+у) =у+о(у) вытекает, что Д гп 1в(1+се) ил (1.99) (1.
100) в'! Сы. и. 6 $10 гл. 6 ч. 1. 1(ш " =1. л . 1П(1+ил) Поскольку по условию теоремы все члены рядов (1.97) и (1.98), начиная с некоторого номера, сохраняют один и тот же знак, условия (1.99) и (1.100) в силу следствия из теоремы сравнения 1,3 позволяют утверждать, что ряд (1.98) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд (1.97). Теорема доказана. Так же, как и для рядов, для бесконечных произведений вводятся понятия абсолютной и условной сходимостей. Бесконечное произведение (1.96) называется абсолютно сходящи м с я в том и только в том случае, когда сходится абсолютно Гл.
1. Числовые ряды Так как ряд '~ — сходится, то в силу теорем 1.19 и 1.20 бес%~ 1 йа а 1 конечное произведение (1.101) сходится абсолютно для любого фиксированного значения х, отличного от 1п (где 1=0, + 1, ...). В и. 3 мы докажем, что это произведение сходится к значению з)п х. Тем самым будет обосновано разложение функции 3!и х в бесконечное произведение (1.102) 4'.
Из разложения (1.102) с помощью соотношения с!вх= 5!П 2х — элементарно получается следующее разложение: 2в1п х (1. 103) Абсолютная сходимость произведения, стоящего в правой части (1.103), для любого х, отличного от — (21 — 1) (1= О, ~ 1, ...), 2 О 1 вытекает из теорем 1.19 и 1.20 и из сходимости ряда (2й — 1')а 2-1 5'.
Полагая в разложении (1.102) х= — ", получим 2 О и 1 1 (2й)2 2 2 4 4 2й 2й 2 (2й — 1)(2й+1) 1 3 3 5 (2й — 1) (2й-1-1) а 1 (1.105) Путем несложных преобразований формулу Валлиса можно привести к виду и 1 ' 222(ц)в 2 — = 1нп 2 а, 2й+1 ~ 12й)! 1 (1.106) 2" Да!он Валлис — английский математик (1613 — 1703). С ы Э вЂ” — П ~~1 — — )=П =П ! )( ), (1.104) 4йа / 4й* (2й)2 2-1 2=1 Е 1 Из (1.104) получается так называемая формула Валлис а 21) й 8.
Бесконечные произведения Первоначально формулу Валлиса использовали для приближенного вычисления числа и. В настоящее время для вычисления числа и существуют более эффективные методы. Формула Валлиса как в виде (1.105), так и в виде (!.106) представляет интерес для ряда теоретических исследований ">. 3. Разложение функции япх в бесконечное произведение. Для удобства разобьем вывод формулы (1.102) на отдельные этапы.
1) Пусть и> — любое положительное нечетное число: т=2п+1. Прежде всего докажем, что для любого отличного от йп (й=0, -ь1, ...) значения 0 "> справедлива формула гл — 1 и= 2 (1.107» Для вывода формулы (1.107) будем исходить из формулы Муавра "> соз >пО+(яп гпО=(сов О+тяп О) Расписывая правую часть этой формулы с помощью бинома Ньютона и сравнивая мнимые части, получим япп>О=п>соз — 'ОяпΠ— ( ( )с>и — 'Ояп'О+.. 3! Учитывая, что гп=2п+1, будем иметь =с!>зза 0 — ( ) ( ) созга з ОяпзО-1-... (1.108) лз ив В 3> В правой части (1.108) все показатели при косинусах и синусах четные, так что если заменить соззО на 1 — япз0, то в правой части (1.108) получится многочлен степени и относительно яп'8.
Положив з=япзО, обозначим этот многочлен символом Г(з), а его корни символами а>, аз, ..., а,. Так как "> В частности, она может быть использована для вывода так называемой формулы Стирлинга (см. $8 гл. 7). джемс Стирлинг — английский математик (1692 †17). "> В дальнейшем нас будут интересовать значения О лишь из интервалов 0<(В(<п. "> Эта формула получается из определения произведения двух комплексных чвсел (хь у,) (хз, уз) =(хзхз — узуз хзуз+хзуз) (см. п. 1 $3 гл. 8 ч. Ц. В самом деле, с помощью этого определения по индукции легко установить, что (соз О, з>п 6) " = (соз л О, мп а 6) .
б б. Бесконечные произведения 53 ли 51П— 2т х 5!П О( — т( дп 51П'— 1 1 Ап 2 4сое— 2т ли Мпз— 1П йп П лп и 2йп 1 так как — ( †, т. е. — ( †, и поэтому созе в ) — ). т 2' 2т 4' 2т 2/ Для любого р нз интервала 0<р<1/2 справедливы неравенства 1>1 — р>е-м 251, ПОэтОму для ВСЕХ НОмеРов Й, превосходящих р, Х 2мп*— Пз х 5!Пз— т еп ып'— )и (1.112) 1)1— лп 5!ПЗ зи Почленно перемножая неравенства (1.112), записанные для й=р+1, р+2, ..., п, получим следующую опенку для Лр(х): л -2з!аз — 'Чз лп Так как аргумент — лежит в первой четверти и для лю- 51П 1! 2 25! бого р из первой четверти 1 > — )~ — , то Р П (1.113) 1 1 тз т' ! 1 1 Ди 2 2 ап 5 4аз 4 )а — 1 а 1 5!Пз ( ) ( ) Таким образом, е'.
и и ! 1 з!Пз ~ ~~ ) ез а р+! 2р т и 25!язв 5 я+11! '— )е очередь вытекает из того, что интервале 0<р<и/2. з'! Правое из этих ие~авеиств злемектарио вытекает из формулы Маклорена: е З=! —.2р+ — —... <1 — 2р+2рз<1 — !1, так как 2рз<р. — 2 , !2 ) 2 51П !1 "1 Эти неравенства вытекают из того, что отношение — при измеие51п !1 иии Р от 0 до и/2 убывает от 1 до 2/л. Факт убивания функции — в свою )'=— 51П(1 '!' со5!! 1 = — (р — !ай) <о 1!3 54 Гл. 1. Чнсловые ряды Последнее неравенство позволяет следующим образом усилить оценку (1.113): 1 ) )515 (х) ) е (1.114) (1.115) 1) РГ (х) > е Формула (1.110) в пределе при т-~со дает Р— ""„' = П (1 — — „'„*, ) Ю ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
