ilin2 (947409), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Естественно, возникает вопрос о том, не существует ли такой универсальный (предельно медленно!) сходятцийся (или расходящийся) ряд, сравнение с которым позволило бы сделать заключение о сходимости (или расходимости) любого наперед взятого ряда с неотрицательными членами. Докажем, что такого универсального ряда не существует. Ш ь Пусть даны два сходящихся ряда ~ Рй " ~~~ РМ й=! й ! символами т„и т„' соответственно их я-е остатки. Будем гово- О С рить, что ряд ~т Рй сходится м е д л е н н е е, чем ряд !' Рй, если й=! й-! та 1!гп — = 0 л с л Утв ер ж де н не.
Для каждого сходящегося ряда существует ряд, сходящийся медленнее этого ряда, Ф В самом деле, пусть ~ р„— любой сходящийся ряд, тм й-! (я~О) — его я-й остатоке!, Докажем, что ряд ~~~рй, где рй= й-! ='Р'т~ ! — )ттй сходятся медленнее, чем ряд Яра.В самом дел ! ле, если т„' — и-й остаток ряда т Рь то й 1 ! пп —, = 1пп = = О. тл т» Теперь докажем отсутствие универсального сходящегося ряда, сравнение с которым позволило бы сделать заключение о сходнмости любого наперед взятого сходящегося ряда.
В самом '! За та принимаем всю сумму ~ рй. й ! Гл. !. Числовые ряды деле, если бы такой универсальный сходящийся ряд ) р» су » ! Ю ществовал, то взяв для него построевный выше ряд ~,'р», ми »-1 получили бы, что Пш Р» Вш %-з — ~» В, (Ятх,, +1х- ) » > к~~1 — т!»» Таким образом, из сравнения с рядом ~, р„нельзя сделать »-1 < заключении о сходимости ряда ~ р». Аналогично доказывает- » 1 ся отсутствие универсального расходящегося ряда, сравнение с которым позволило бы сделать заключение о расходимости любого наперед взятого расходящегося ряда.
ф 3. АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ 1. Понятия абсолютно и условно сходящихся рядов. Теперь мы перейдем к изучению рядов, члены которых являются вещественными числами любого знака. Определение 1. Будем называть ряд ),' и» »=1 (1.49) абсолют н о сходя и( имея, если сходится ряд (1,50) Заметим, что в этом определении ничего не сказано о том, предполагается лн при этом сходимость самого ряда (1.49). Оказывается, такое предположение оказалось бы излишним, ибо справедлива следующая теорема.
Теорема 1.9. Оз сходимости ряда (1.50) вытекает сходимость ряда (1.49). Доказательство. Воспользуемся критерием Коши для ряда (т. е. теоремой 1.1). Требуется доказать, что для любого з> >О найдется номер А! такой, что для всех номеров л, удовлетворяющих условию п>.А!, н для любого натурального р справедливо неравенство 4 3. Абсолютно н услонно сходяшнеся ряды л1-р 1 Х и»)(е.
» л+! (1.51) Фиксируем любое н>0. Так как ряд (1.50) сходится, то в силу теоремы 1.1 найдется номер А! таьой, что для всех номеров я, удовлетворяющих условию я>Ж, и для любого натурального р справедливо неравенство л+р л+р ~~' и»! ~ ), 1и»1. »=л+1 »=-л+! (1.53р Сопоставляя неравенства (1.52) и (1.53), получим неравенство (1.51). Теорема доказана. Определение 2. Ряд (!.49) называется условно сходящимсяя, если этот ряд сходится, в то время хах соответствующий ряд из модулей (1.50) расходится.
Примером абсолютно сходящегося ряда может служить ряд. л Е ( — 1)»! 1 1 1 =1 — — + — — + ..., где а) 1. л~ 2« 3 4 »-! Этот ряд сходится абсолютно, ибо при а>1 сходится ряд (1.33). Приведем пример условно сходящегося ряда. Докажем условную сходимость ряда ( — 1)»! 1 1 1 +.. (! .54у Е а 2 3 4 » ! Так как соответствующий ряд из модулей (гармонический ряд), как мы уже знаем, расходится, то для доказательства условной сходнмости ряда (1.54) достаточно доказать, что этот ряд сходится. Докажем, что ряд (1.54) сходится к числу 1п2. В п. 2 $9 гл.
6 ч. 1 мы получили разложение по формуле Маклорена функ- ции х' хл х' ! хл 1п(1+х)=х — — + — — +... +( — 1)"-' — +Р,+!(х) 2 3 4 л Там же для всех х нз сегмента О~х;а1 получена следующая оценка остаточного члена: л+р 1и» ! <е. (1.52р » «.!.1 Так как модуль суммы нескольких слагаемых ие превосходит суммы их модулей, то Гл. 1. Числовые ряды ~Я„+1(к) ~ <1/(и+1). Полагая в двух последних соотношениях х=1, будем иметь ( ! )л-1 1п 2 = 1 — — + — — — + ... + + /~„+! (1), 2 3 4 где !Я +!(1) !<1/(а+1), или (1 — — + — — — +...
+ ~ — !п2~< —. (1.55) ! ( 1)и-ь ! 2 3 4 я ~ ~ л+! Обозначая через Я„п-ю частичную сумму ряда (1.54), мы можем переписать последнее неравенство (1.55) в виде ~ 5„-1п 2 ! <1/(и+1). (1.56) Из (1.56) следует, что разность о — 1п2 представляет собой бесконечно малую последовательность. Это и доказывает сходимость ряда (1.54) к числу 1п 2. 2. О перестановке членов условно сходящегося ряда. Одним из важнейших свойств суммы конечного числа вещественных слагаемых является переместительное свойство. Естественно, возникает вопрос, остается ли справедливым это свойство для суммы сходящегося ряда, т. е. может ли измениться сумма сходящегося ряда от перестановки членов этого ряда.
В этом пункте мы выясним этот вопрос в отношении условно сходящегося ряда. Начнем рассмотрение с изучения некоторой конкретной перестановки членов ряда (1.54). Для удобства запишем ряд (1.54) в виде 1) (! 1) ( 1 1 ) В конце предыдущего пункта мы доказали, что ряд (1.54) сходится условно и имеет сумму 1п2. Переставим теперь члены ряда (1.54) так, чтобы после одного положительного члена стояли два отрицательных члена. В результате такой перестановки членов получим ряд 1) (1 1 !)+ + +( — — — )+.... 1 1 1 2Я вЂ” 1 4А — 2 42 (1.57) Докажем, что ряд (1.57), полученный в результате указанной перестановки членов ряда (1.54), сходится и имеет сумму, вдвое меньшую, чем ряд (1.54). Будем обозначать и-е частичные суммы рядов (1.54) и (1.57) символами 5 и 5 ' соответственно.
Можем записать: $3. Абсолютно я условно сходящиеся ряды яз яз ~~ ~( 1 1 1 ) ~~~~( 1 1 ) з 1 Итак, 53 = — 8,. ! 2 Далее, очевидно, что (1.58) 1 1 Взю з= 8 + 2 4м (1.59) 1 оз -г=озю-1 + —. 4яз — 2 (1.60) Поскольку 1!гпЗз =Е, в пределе при пз — з-оо из формул (1.58), (1.59) и (1.60) получим 1!шБ~ = — Е, 1!ш5з ! —— — 5, !!таво — г = — З. 1 . " 1 . 1 ю о 2 щ-~~з 2 яз;,~ 2 (1.6! ) произвольный условно сходящийся ряд. Обозначим через рь рг, Рз, ...
положительные члены ряда (1.61), выписанные в таком порядке, в каком они стоят в этом ряде, а через дь Чг, чз, ° модули отрицательных членов ряда (1.61), выписанные в таком же порядке, в каком они стоят в этом ряде. Ряд (1.61) содержит бес- Таким образом, ряд (!.57) сходится и имеет сумму, равную 1 — 3. Так как Е=!п2ФО, то — ЯФЗ. Следовательно, в ре- 2 2 зультате указанной выше перестановки членов сумма условно сходящегося ряда (1.54) изменилась.
Рассмотренный нами пример показывает, что условно сходящийся ряд не обладает перемести- тельным свойством. Полную ясность в вопрос о влиянии перестановок членов на сумму условно сходящегося ряда вносит следующее замечательное утверждение, принадлежащее Риману. Теорема 1.10 (теорема Римана). Если ряд сходится условно, то, каково бы ни было наперед взятое число 7., можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд сходился к числу Е. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть Гл. И Чяелавые ряды 32 конечное число как положительных, так и отрицательных членов, ибо если бы членов одного знака было конечное число, то, отбросив не влияющее на сходимость конечное число первых членов, мы бы получили бы ряд, состоящий из членов одного знака, для которого сходимость означала бы абсолютную сходимость. Итак, с рядом (1.61) связаны два бесконечных ряда с полое М жительными членами » р» и ~ д». Будем обозначать первый »-1 »-1 из этих рядов символом Р, а второй — символом Я.
Докажем, что оба ряда Р и Я являются расходящимися. Обозначим символом 5„л-ю частичную сумму ряда (1.61), символом Р„сумму всех положительных членов, входящих в 5„, символом О сумму модулей всех отрицательных членов, входящих в 5„. Тогда, очевидно, 5„=Є— О„, и так как по условию ряд (1.61) сходится к некоторому числу 5, то (1.62) 1пп (Є— 1~„) = 5.
л-~в С другой стороны, так как ряд (1.61) не сходится абсолютно, то 1пп(Р„+(~„) = + аа. (1.63) Сопоставляя (1.62) и (1.63), получим !пиР„=- +ао, 1ппЯ„= В-но Л-> Ф = + ао, т. е. доказано, что оба ряда Р и О расходятся. Из расходимости рядов Р и Я вытекает„что даже после удаления любого конечного числа первых членов этих рядов, мы можем взять из оставшихся членов как ряда Р, так и ряда О столь большое число членов, что их сумма превзойдет любое наперед взятое число.
Опираясь на этот факт, докажем, что можно так переставить члены исходного ряда (1.6!), что в результате получится ряд, сходящийся к наперед взятому числу».. В самом деле, выберем из исходного ряда (1.61) р о в н о с т о л ь к о положительных членов Р„Р,, ..., Р»„чтобы их сумма р, + р, +... + Р»„превзошла Ь. Добавим к выбранным членам ровно столько отрицательных членов — дь — дв, ..., — д»„, чтобы общая сумма Р»+Р»+ +Р»,— Ч» — Дв — . — д», оказалась меньше 1.. Затем снова добавим ровно столько положительных членов Р»+ы Р»,.ь»,, р»„чтобы общая сумма Р,+ Р, +... +Р»,— у,— — Чв — ° ° — Ч», +Р»,+1+ .. + Р», оказалась больше Ь.
Продолжая аналогичнйе рассуждения далее, мы получим бесконечный ряд, в состав которого войдут все члены исходного ряда (1.61), так как каждый раз нам придется добавлять хотя бы один положительный или отрицательный член исходного ряда. Остается доказать, что полученный ряд сходится к Е. Заметим, что в полученном ряде последовательно чередуются группы по- зз й 3.
Лбсолютио и условно сходящиеся ряды ложительных и группы отрицательных членов. Если частичная сумма полученного ряда заканчивается полностью завершенной группой, то отклонение этой частичной суммы от числа Е не превосходит модуля последнего его члена 'сз. Если же частичная сумма заканчивается не полностью завершенной группой, то-отклонение этой частичной суммы от числа Е не превосходит модуля последнего члена предпоследней из групп.
Для установления сходи- мости ряда к Е достаточно убедиться в том, что модули последних членов групп образуют бесконечно малую последовательность, а это непосредственно вытекает из необходимого условия сходнмости исходного ряда (1.61). Теорема Римана доказана. 3 а меч ание, Аналогично можно было бы доказать, что если ряд сходится условно, то его члены можно переставить так, что последовательность частичных сумм преобразованного ряда будет бесконечно большой последовательностью, все элементы которой, начиная с некоторого номера, положительны (соответственно отрицательны).
3. О перестановке членов абсолютно сходящегося ряда. В предыдущем пункте мы доказали, что условно сходящийся ряд не обладает переместнтельным свойством. Докажем, что для всякого абсолютно сходящегося ряда справедливо переместительное свойство. Теорема 1.11 (теорема Коши). Если данный ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из данноео посредством некоторой перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и данный ряд. Доказательство. Пусть ряд иа е=-1 (1.64) сходится абсолютно и сумма ряда равна 5.
Пусть, далее, )" ие л=~ (1.65) ряд, полученный из ряда (!.64) посредством некоторой перестановки членов, Требуется доказать, что: 1) ряд (1.65) сходится и имеет сумму, равную 5; 2) ряд (1.65) сходится абсолютно. Докажем сначала 1). Достаточно доказать, что для любого е>0 найдется номер Аг такой, что при п~М л ~ ~~и — 5~< в. а=! (1.66) 2 зак, та ни Так как мы добавляем в данную группу члены ровно до тех пор, пока общая сумма «не перейдет» через число Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
