ilin2 (947409), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Чтобы сформулировать еще одно следствие из теоремы 1,12 введем понятие ряда Лейбница. Определение 2. Назовем ряд знакочередующимся, если все его члены с нечетными номерами положительны, а все члены с четными номерами отрицательны. Определение 3. Знакочередующийся ряд, модули членов которого образуют невозрастающую сходящуюся к нулю последовательность, назовем рядом Лейбница. Следствие 2 из теоремы 1.12 (признаки Лейбница). Всякий ряд Лейбница сходится.
В самом деле, всякий ряд Лейбница можно записать в виде Х ( — 1) па=о! — он+ оа са+ ... ° а ! 1'я. !. Чвславые ряды 40 Так как 5г„! — 5ге=вгя, то каждая из сумм 5г н 5г„! отклоняется от 5 не более чем на ег„. Отсюда и из того, что сг„!ъ ~сея, вытекает, что для любого номера п справедлива оценка !5„— 5! (з„. Эта оценка играет важную роль для приближенного вычисления суммы ряда Лейбница с помощью его частичной суммы. Примеры. 1'. Выше с помощью формулы Маклорена для' функции 1п(1+х) мы уже доказали сходимость ряда 1 1 1 1 1 1 — — + — — +... + — — + 2 3 4 2я — ! 2я Заметим, что сходимость этого ряда сразу вытекает из признака Лейбница.
2'. Изучим вопрос о сходимости ряда 1 2 1 1 2 1 ! 2 1+ — — + — + — — +...+ + — — +.. 2 3 4 6 6 ЗЬ вЂ” 2 ЗЬ вЂ” 1 ЗЬ 1 Этот ряд является рядом вида (1.82) при ее= —, и!=1, иг ь =1, иг= — 2, и!=1, ив=1, ив=-2, ... Легко видеть, что последовательность частичных сумм ряда (1.81) с такими ия имеет вид 1, 2, О, 1, 2, О, ..., т. е. является ограниченной. Так как последовательность (1/Ц не возрастает и сходится к нулю, то исследуемый ряд сходится по признаку Дирихле— Абеля. Ъ~ с05 ях 3'.
Выясним вопрос о сходимости ряда ~ —, где х — нее в=! которое фиксированное вещественное число. Пользуясь обозначе- 1 пнями теоремы 1.13„псвдожиы ия — — созйх, од= —. Оценим последовательность частичных сумм (5„) ряда ~! им Поскольку галя в ! любого номера Й 3!п ()г+ — ) х — 3!п ( !г — — ) х = 2 3!п — соз лх, 2) 2) 2 то, суммируя это соотношение по !г от 1 до и, получим л 1! . 'я . хчч Х з)п (и+ — ) х — 3!п — = 2 з!п — ~ы сев йх= 25„6!п —. 2) 2 2 " 2 «-1 41. 4 5, Арифиетическив операции иад сходяшимися рядами Отсюда 1 1., К а!п (л+ — ~ к — я'и— 5„= К 2 ми 2 Таким образом, для любого х, не кратного 2п, последовательность частичных сумм (5„) ограничена: 15.1< ~ а!п По теореме 1.13 рассматриваемый ряд сходится для любого значения х, не кратного 2я.
Если же х кратно 2п, то рассматриваемый ряд превращается в гармонический и, как доказано выше, расходится. $5. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД СХОДЯЩИМИСЯ РЯДАМИ В зтом параграфе мы рассмотрим вопрос о возможности почленного сложения и перемножения сходящихся рядов. Теорема 1.14, Если два ряда ~ иа и ~1~ о„сходятся'и а=! а 1 имеют суммы, соответственно равные с!' и У, то и ряд ~ (и ~о ) сходится и имеет сумму, равную (!'~У. а-1 До к азател ьство. Обозначим и-е частичные суммы рядов П Ф (иа~ оа), у иа и ~ оа . соответственно через 5„, (1„и У„. а=! а=! а=! Тогда, очевидно, 5„=с!'„ + У„. Так как 1пп с1„ =К 1!и! У„ = 1', то П Ф П согласно теоремам 3.9 и 3.10 ч.
1 существует предел 1!и!5„= П-П П =У ~ У. Теорема доказана. Таким образом, любые сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать. Переходя к вопросу о возможности почленного перемножения рядов, докажем следующее утверждение. Теорема 1.13. Если два ряда ') иа и ~ оа сходятся абсоа=! а=! лютно и имеют суммы, соответственно равные (У и У, то ряд, составленный из всех произведений вида иао! (й 1, 2, ...; =1, 2, ...), занумерованных в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна (кУ. Гл. 1.
Чиелоиые ряды Доказательство. Обозначим через игь игг, гог, ... произведения вида иеог ()г=1, 2, ...; 1=1, 2, ...), занумерованные в каком угодно порядке. Докажем, что ряд ~ !иг! сходится. ! аи Пусть 5„— и-я частичная сумма этого ряда. Сумма 5„состоит из членов вида !иеог!. Среди индексов й и 1 таких членов, входящих в сумму 5„, найдем н а и б ол ь ш и й индекс, который мы обозначим через гп.
Тогда 5 <(!и !+!иг!+".+!и !)(!о !+!ог!+".+!о. !). (1.89) В правой части неравенства (1.89) стоит произведение пг-х частичных сумм рядов Я (ие! и ) (ое!. В силу сходимости ука. е-1 е-1 ванных рядов с неотрицательными членами все их частичные суммы (а следовательно, и их произведение) ограничены. Поэтому ограничена и последовательность частичных сумм (5„), а это доказывает сходимость ряда Я !игг!, т.
е. абсолютную сходимость г=! ряда ~," гоь г=! Остается доказать, что последний ряд имеет сумму 5, равную УУ. Так как этот ряд сходится абсолютно, то в силу теоремы 1.11 его сумма 5 не зависит от порядка, в котором мы его суммируем. Какую бы мы ни взяли последовательность (или подпоследовательностьни) частичных сумм этого ряда, она сходится к 09 числу 5. Но в таком случае сумма 5 ряда 1, го! заведомо равг=! на 0(г, так как именно к этому числу сходится подпоследовательность йу частичных сумм этого ряда вида йу =(и,+иг+...+ит) (ог+ог+...+о, ), Теорема доказана.
О О Произведение рядов чр ие н ~ ое для многих целей удобФ=! е=! но записывать в специальном виде: Ю Ю Д ие) Д ог) =и,о +(ирг+иго,)+... +(и!ох+и,ое !+ .. и-! и-1 ... +иго„)+.... ии См. утверждение 1' и. 1 $ 3 гл. 3 ч. !. $5. Арифметические операции над сходящимися рядами 43 Теорема 1.16 (теорема Мертенса "!). Ряд, полученньсй перемножением двух рядов указанным специальным способом, сходится к произведению сумм перемножаемых рядов в случае, когда один из перемножаемых рядов сходится абсолютно, а другой — сходится хотя бы условно. Пусть, например, ряд т~ иа сходится абсолютно, а ряд а-! ),оа сходится хотя бы условно. Обозначим и-е частичные «=-! суммы указанных рядов соответственно через суммы соответственно через У и У.
Положим У„и У„,а их и!„=и!и„+и,п„,+...+и„оь (ря= и'!+ и'2+ ° +и'я Достаточно доказать, что 1нп )У„=(!'У. Элементарно проверя. я а ется, что Ф'„=и!У„+итУ„з+...+и„У!. В силу сходимостн ряда ~ оа его остаток а =У вЂ” У„яв. а-! ляется бесконечно малой, а следовательно, и ограниченной последовательностью, т. е. существует постоянная М такая, что (а ~ (М для всех номеров и.
Заметим, что Му„=и! ( У вЂ” а я) +ия ( У вЂ” а„-!)+...+и„( У-а!) =(1„У-р, и выбрав по найденному номеру пз номер и! настолько боль. м! Мертенс Франц Карл Иозеф — иемецкив математик (1840 †19). где (1 =и!а„+иза !+...+и а!. Так как 1нп У„ =',1!, то достаточно доказать, что последовая-~" а тельность (б„) является бесконечно малой. Так как ряд ~' и» а=! сходится абсолютно, то, фиксировав произвольное г)0, найдем е для него такой номер пз, что т !иа!с. —, Кроме того, 2М а-т+! можно утверждать существование постоянной М! такой, что ) (иа(к М, для любого номера и.
а ! Представив теперь б„в виде суммы двух сумм бя=(и!ая+...+и„а е!- )+(и +за„-м+...+ияа!) Гл. !. Числовые ряды в шим, что !а»(( — при Й>п! — т (это можно сделать в си- 2М! лу бесконечной малости (ав)), с помощью четырех неравенств !и ]< —, ~»~ !и»[~М„!!х„~ ч. М и !а»~(— ! » а+1 »-1 (при й) л — и!) убедимся в том, что прн л~п! каждая квадратная скобка в выражении для ()„по модулю меньше числа е/2. Отсюда следует, что !р ~<е при пъ и1. В силу произвольности е>0 сформули. рованное утверждение доказано.
Замечание. В случае, если ряды ~ и» и ~' и» оба схо. » 1 »-! дятся только условно, почленное перемножение этих рядов даже указанным специальным способом приводит, вообще говоря, к расходящемуся ряду. О~ Достаточно в качестве каждого из рядов ~ и» и ~ и» »-1 »-1 взять условно сходящийся (по признаку Лейбница) ряд Е,— ! — !)1-! и убедиться в том, что для таких рядов опреде. гсГ »-1 ленные выше величины 1и„имеют вид ! ! ! 1)ГГ~» (Г2 Рп — ! й'л ~ ! ~ Так как в фигурных скобках стоит п положительных слагаемых, каждое из которых не меньше числа 1/а, то !!и,1ъ1, а это означает, что нарушено необходимое условие сходимости ряда Е ° н1„— стремление к нулю его и-го члена.
в 1 $6. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ и!и»ив ' . и» . ' ' П и» » 1 (1.90) 1. Основные понятия. К понятию числового ряда близко примыкает понятие бесконечного числового произ веде. н и я. Пусть дана бесконечная числовая последовательность и„и», ..., и», .... Записанное формально выражение вида $6. Бесконечные произведения принято называть б е с ко н е ч н ы м п р о и з в е д е н и е м. Отдельные элементы о, принято называть ч л е н а м и данного бесконечного произведения. Произведение первых п членов данного бесконечного произведения принято называть п-м ч а с т и ч н ы м п р он з в ед е н и е м н обозначать символом Р„= охра... о„= П о„. Ь-! Бесконечное произведение (1.90) называют с х о д я щ и м с я, если последовательность частичных произведений Р„ имеет конечный предел Р, отличный'т! от нуля. В случае сходимости бесконечного произведения (1.90) указанный предел Р называют значением этого бесконечного произведения и пишут: Отметим, что последнее равенство имеет смысл лишь для сходящегося бесконечного произведения.
Ясно, что рассмотрение бесконечных произведений по существу представляет собой новую форму изучения числовых последовательностей, ибо каждому данному бесконечному произведению однозначно соответствует последовательность его частичных произведений и каждой числовой последовательности (Ра), все элементы которой отличны от нуля, однозначно соответствует бесконечное произведение, для которого эта последовательность является последовательностью частичных произведений (достаточно положить члены бесконечного произведения равными па=Ра!Ра-! при й>! и и!=Р!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
