ilin2 (947409), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Гл. 1. Числовые ряды 34 Фиксируем произвольное е>0. Так как ряд (!.64) сходится абсолютно и имеет сумму, равную 5, то для выбранного е>0 можно указать номер Лта такой, что будут справедливы неравенства зте ~-и ) из)С вЂ” (р — любое натуральное число) (1.67) 2 Ас же+ ! же ! ~~ из — 5~(— з=! (1.68) ) из — 5=()' из — ~'из)+(~из — 5). (1.69) Так как модуль суммы двух величин не превосходит суммы их модулей, то из (1.69) получим и и Ле ° з' ° ~ ~~'из — 5~<~ ~~' из — '~ из~+ ~ ) из — 5!.
(1.70) з=! з=! з=! з=! Из неравенств (1.68) и (1.70) очевидно, что для доказательства неравенства (1.66) достаточно доказать, что при п)Ж и де» из — ~ из~( —, (1.71) Для доказательства неравенства (1.71) заметим, что при п>еу" первая из сумм, стоящих в его левой части, содержит все Ме первых членов ряда (1.64). Вследствие этого разность и Лее из — ~' и„ з=! з=! (1.72) "! Номер йее в неравенствах (1.67) н (1.66) можно взять один и тот же. В самом деле, предварительно записав указанные два неравенства с разными номерами йее, мы затем можем взять наибольший из двух номеров йее. "! Такой номер й! выбрать можно, ибо ряд (1.66) получается нз ряда (1.64) посредством некоторой перестановки членов. Выберем теперь номер М столь большим, чтобы любая частичная сумма 5 ' ряда (!.66) с номером п, превосходящим М, содержала все первые Уе членов ряда (1.64) 'з!.
Оценим разность, стоящую в левой части (1.66), и докажем, что при п>-М для этой разности справедливо неравенство (1.66). В самом деле, указанную разность можно представить в виде и и и, !те $ 4. Признаки сходнмости произвольных рядов л ст зс*+р ~ ), иа — ~~ из~~ ч), ссс ~ (1.73) а=! а=! а=лс,+! Из неравенств (1,73) и (1.67) вытекает неравенство (1.71).
Тем самым доказано неравенство (1.66), т. е. доказано, что ряд (1.65) сходится и имеет сумму, равную 3. Остается доказать утверждение 2) о том, что ряд (1.65) сходится абсолютно. Доказательство этого утверждения следует из утверждения 1), если его применить к рядам ),' !иа~ и 1 ссса~. е=! з=! (1 74) При этом мы докажем сходимость второго из рядов (1.74), т. е. докажем абсолютную сходимость ряда (1.65). Теорема 1.11 пол- ностью доказана. $4. пРизнАки сходимости пРОизВОльных РЯДОВ В $2 мы установили ряд признаков сходимости для рядов с неотрицательными членами. Здесь мы изучим вопрос о признаках сходимости для рядов с членами любого знака. Итак, пусть и а=! (1.
75) ряд, члены которого имеют какие угодно знаки. Прежде всего заметим, что для установления абсолютной сходимости этого ряда, т. е. для установления сходимости ряда с положительными членами '~" 1иа~, а=! (1.76) можно применить любой из признаков $2 (прнзнак Даламбера, Коши, Раабе или интегральныйпризнак). Однако ни одинизуказанных признаков не дает возможности выяснить более топкий вопрос об условной сходимости ряда (1.75) "!. "! Заметим, что признаки Даламбера и Коши можно применять для установления расходи мости ряда с членами любого знака (175).
и са- 2* представляет собой сумму и — Асо членов ряда (1.64) с номерами, каждый из которых превосходит Асо, Если выбрать натуральное р столь большим, чтобы номер Уо+ +р превосходил номера всех и — Уо членов только что указанной суммы, то для разности (1.72) во всяком случае справедливо не- равенство Гл. 1. Числовые ряды зб Ниже мы и займемся отысканием более тонких признаков, позволяющих устанавливать сходнмость ряда (!.78) и в тех случаях, когда этот ряд не является абсолютно сходящимся. Начнем рассмотрение с вывода одного важного тождества, представляющего собой основной инструмент для установления формулируемых ниже признаков. Утверждение.
Пусть (и») и (о») — две произвольные последовательности, З,=и,+из+...+и», и и р — два произвольных номера (п~О, За=О), Тогда справедливо тождество «+р «+р-! и»о» = ~,' 5»(о» вЂ” о»+ ) + 3„+ро„.ьр — 5«о„!.„ , (1.77) »=«+! » «+! называемое преобразованием А беля. Так как для любого )!~1 справедливо равенство и,=5» — 5» !, то левой части (1.77) можно придать внд «-1-р «+р «+р и»о» =- ) ' 5»о» — 2 5» !о».
(1.78) »=«+! » «+1 » «+1 В последней сумме правой части (1.78) заменим индекс суммиро- вания !г на !г+1. В результате получим «+р — ! «+р — 1 «Ч.р «-1-р и»о»= )," 5»о — ),' 5»о„+,—— ~,' 5»(о — о„1.,)+ » «+! »=«-', ! » « » «+! + 5«+ро«+р 5«о«+х. Таким образом, тождество Абеля (1.77) доказано. мом деле, всякий раз, когда признан Даламбера или Коши констатирует расхо- О дикость ряда из модулей ~~ !«»1, й-й член ряда (1.76) !и«! не стремится »=! к нулю при» ь««, т. е.
ряд (1.7б) расходится. В качестве примера установим, О к-! /х!» что ряд 7 'И ~ — ! расходится для любого фиксированного значения х, 7! »=1 удовлетворяющего неравенству !х!>е. Отметим, что непосредственная проверка того, что»-й член рассматриваемого ряда не стремится к нулю при»-««, является затруднительной. Применим к рассматриваемому ряду признан Дв!а»+ ! ламбера. Обозначая й-й член этого ряда через а«, будем иметь !а»! !х! !«»Ы! !х! », откуда 1пп — .= — ) 1. Расходнмость ряда доказана. » (а»! е й / 37' $4.
Признаки сходимости произвольных рядов Определение 1. Последовательность (оа) назовем последовательностью с ограни ченным изменением, если сходится ряд 7 1оа+! оа! ° (1.79) Л-1 Очевидна следующее Утверждение 2, Всякая последовательность с ограничен ным изменением является сходящейся. В самом деле, нз схадимости ряда из модулей (1.79) вытекает сходимость ряда без модулей Я 1ал+ — оа1. л 1 (1.80) Обозначив сумму ряда (1.80) через 5, а п-ю частичную сумму этого ряда через 5л и учитывая, что 5„о„+! — а1„получаем, что 1пп ал = 11!и о„+! существует и равен 5+о!. Это означает, что по. л л л-»ш следавательность (ол) сходится к пределу 5+оп Т е а р е м а 1.12 (первый признак Абеля) .
Если ряд 1' иь Л 1 (1.81) обладает ограниченной последовательностью частичных сумм, а (ол) представляет собой последовательность с ограниченным измгнением, сходящуюся к нулю, то ряд (1.82) а 1 1о„! С— ЗМ л+р-1 (1.84) Л л+1 (здесь мы воспользовались сходимостью к нулю последователь» ности (оа) н сходимостью РЯда (1.79) ). сходится. Доказательства. По условию существует число М>0 такое, что последовательность частичных сумм (5 ) ряда (1.81) удовлетворяет условию ~5 ~ м:М. Фиксируем произвольное н>0 и по нему номер 1ч' такой, что при п,ьИ и для любого натурального р справедливы неравенства зв Г«.
!. Числовые рилы В силу тождества Абеля (1.77) и в силу того, что модуль суммы трех величин не превосходит сумму их модулей, получаем «+р л+р †! ~ ~ иьоь) < ! ~ 5,(о, — о,+!)~ + !5«+,!.!о„+,! + !5„! !о„~!!. р=«-~-! ь-л+! Так как для всех номеров и справедливо неравенство !5„! ~ ~М, то «+р «+р †! иьоь! < М ~ !ос+, †! + М!о„.ь ! + М !о„ ьс!. ь-«.~; ! !! л+! Сопоставляя последнее неравенство с (1,83) и (1.84), получаем, что при всех п~А! и для любого натурального р «ер ивов~ < в, Ф «-(-! (1.88) (5«о -5о) и (5„ол-ы — 5о) (1,86) является бесконечно малой.
Учитывая это и сходимость ряда (1.79) и фиксируя произвольное е>0, мы найдем номер !и' такой, что при всех пз И и для любого натурального р «+р — 1 в и ъ!! и !5о« вЂ” 5о!< —. !5.о+1 — 5о!< — Е !о — оь!< м.
ь л+! (1.87) Неравенства (!.87), оценка !5„! ~М и тождество Абеля (1.77), переписанное в виде а это и означает, что ряд (1.82) сходится (в силу критерия Коши). Теорема 1.12 доказана. Т е о р е м а 1.13 (второй признак Абеля) . Если ряд (1.81) сходится, а (оь) представляет собой совершенно произеольную последовательность с ограниченным изменением, то ряд (1.82) сходится.
Доказательство. Так как сходящийся ряд (!.81) заведомо обладает ограниченной последовательностью частичных сумм (5„), то существует постоянная М>0 такая, что !5„! (М для всех номеров п. Обозначим сумму ряда (1.8!) через 5, а предел последовательности (о«) через о. Тогда можно утверждать, что каждое из произведений (5„о„) н (5„о„+!) сходится при п-~со к пределу 5.о, а потому каждая из последовательностей $4. Прнзнахн сходнмостн произвольных рядов 89 (1.88) где (оь) — невозрастающая сходящаяся к нулю последовательность (все оь)0). Такой ряд представляет собой частный случай ряда (1.82) при иь=(-1)ь ' с рядом (1.8!), обладающим ограни. ченной последовательностью частичных сумм "!.
В таком случае справедливость признака Лейбница вытекает из уже доказанного чтризнака Дирихле — Абеля (следствия 1 из теоремы 1.12). 3 а меч ание. Легко убедиться в том, что для произвольного ряда Лейбница (1.88) последовательность (5з„) частичных сумм с четными номерами является неубывающей, а последовательность (5з„,) частичных сумм с нечетными номерами является не.
возрастающей. Отсюда и из замечания 3 к теореме 3.15 ч. 1 выте. кает, что сумма 5 ряда Лейбница (1.88) для любого номера и удовлетворяет неравенствам 52н~5~52н-!. "' Последовательность Б„частнчных сумм ряда (1.81) с членами нь =( — !)' — ' имеет внд 1, О, 1, О, .... л+р н+л — 1 ~„ иаоь = ~ 5ь(о — о +,) + 15.+,Р.+я — 5в1 + Р— 5.о.+ 1* ь л+1 а н+! позволяют нам утверждать справедливость неравенства (1.85) (прн всех п~У и для любого натурального р).
В силу критерия Коши теорема 1.13 доказана. Следствие 1 из теоремы 1.12 (признак Дирихле— Абеля). Если ряд (1.81) обладает ограниченной последовательностью частичных сумм, а (оь) представляет собой невозрастающую последовательность, сходящуюся к нулю, то ряд (1.82) сходится. Достаточно заметить, что невозрастающая сходящаяся к нулю последовательность является последовательностью с ограничен. ным изменением, нбо для нее и-я частичная сумма 5„ряда (1.791 ранна о! — о„ч! и имеет предел, равный о!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
